Centrale Maths 2 MP 2001

Thme de l'preuve tude des cnes isotropes de formes quadratiques et de leurs sections planes
Principaux outils utiliss algbre bilinaire et euclidienne, coniques, quadriques, systmes linaires

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 MP 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Jean Starynkvitch (ENS Cachan) ; il a t relu par
Sbastien Gadat (ENS Cachan) et Olivier Schmitt (cole Polytechnique).

Ce problme dveloppe certains aspects gomtriques de la thorie des formes
quadratiques sur R3 . C'est un excellent sujet de rvision sur les quadriques ; 
il est
assez classique.
 La premire partie tudie quelques proprits de cnes isotropes contenant 
cinq
vecteurs donns.
 La deuxime partie montre algbriquement qu'une section plane d'un tel cne
est une conique.
 La troisime partie donne une condition algbrique, ncessaire et suffisante,
pour qu'une telle section soit un cne.
 La quatrime partie montre gomtriquement que l'intersection d'un cne de
rvolution et d'un plan est une conique, celle-ci tant caractrise par la 
donne
d'un couple foyer-directrice et d'une excentricit.
 La cinquime partie donne des conditions pour que la conique soit une conique
 centre.

Indications
Partie I
I.B.1 Construire  canoniquement  une application linaire  7 q de R3 vers
l'ensemble Qi,j,k des formes quadratiques q telles que Cq contienne i, j, k.
Remarquer alors que l( ) = q (e). . .
I.B.3 Traduire la condition (2) sur les coordonnes de e  e et remarquer que
{e  e } = Vect (e, e ). Traduire ensuite le fait qu'une forme q appartient 
Qe,e par un systme linaire puis rsoudre ce systme.
Partie II
II.A Dans toute base (en particulier une base orthonormale) de P0 , la matrice 
de
q est symtrique, donc diagonalisable en base orthonormale. . .
II.B.1.a On a ncessairement |z0 | = d(P0 , P1 ).

II.B.1.c Utiliser la forme de la matrice de q relativement  B crite  la 
question
II.B.1.b.
Partie III
III.A Rechercher explicitement le couple (, l) qui peut convenir, puis vrifier 
qu'il
convient bien.
III.B Calculer explicitement x , y  et z  et se servir d'une expression de q 
obtenue
avant le calcul de la forme linaire l de la question III.A.
Partie IV
-- --
kOa  OMk
.
IV.A Utiliser la formule d (a , (OM) ) =
--
kOMk
IV.C Commencer par chercher un scalaire  tel que
(x + y + z - a)2 =  d(M, Pa )2
Partie V
V.B Utiliser le fait que H = Vect (V).
V.C Commencer par dcrire le supplmentaire F potentiel  l'aide de la question 
V.B. Rechercher ensuite  quelle condition il s'agit effectivement d'un
supplmentaire.
V.D Utiliser  la  formule sur la comatrice. . .
V.E Se ramener  un systme linaire  rsoudre. Pour la fin de la question,
remarquer que SP1 est une symtrie centrale et laisse Cq stable.
V.F Utiliser (galement) la question II.B.1.c.

Question prliminaire A
Comme le suggre l'nonc, faisons une disjonction de cas portant sur le signe 
de
det M = rt - s2 .
Premier cas : rt - s2 = 0
La forme quadratique q est dgnre et non nulle (par hypothse), donc q est de
rang 1. Le thorme d'inertie de Sylvester dit qu'il existe un rel non nul a 
et une
forme linaire non nulle l sur R2 tels que
x  E

q(x) = a l(x)2

Ncessairement, l'un des deux rels r ou t est non nul (sinon, s serait 
galement nul
et q serait donc la forme quadratique nulle). De plus, r et t sont de mme 
signe : c'est
le signe de a tant donn que r = q(i) = a l(i)2 et t = q(j) = a l(j)2 . Il 
nous faut
maintenant discuter selon ce signe, qui est d'aprs ce qui vient d'tre dit, le 
signe
(strict) de r + t :
 si r + t > 0, q a pour signature (1, 0) ;

 si r + t < 0, la signature de q est (0, 1).

Dans les deux cas,

Cq = {x  E | q(x) = 0} = {x  E | l(x) = 0} = Ker l

Cq est donc un hyperplan de E, c'est--dire une droite.

Second cas : rt - s2 6= 0
Dans ce cas, q est non dgnre et il existe deux rels non nuls a1 , a2 , 
ainsi que
deux formes linaires indpendantes sur R2 , l1 et l2 tels que
x  E

q(x) = a1 l1 (x)2 + a2 l2 (x)2

Dans la base duale de (l1 , l2 ) que l'on note B , q a donc pour matrice
!
a1 0
Mat B (q) =
0 a2
Comme le signe du dterminant dans une base de la matrice de q ne dpend pas de
la base, a1 a2 est du signe de rt - s2 .

 Si rt - s2 est ngatif, a1 et a2 sont de signe oppos. Quitte  intervertir 
les
couples (a1 , l1 ) et (a2 , l2 ), on peut supposer a1 strictement positif et a2 
strictement ngatif. On a en notant (x, y) les coordonnes d'un vecteur X  R2 
dans
la base B ,

X  Cq 
( a1 x - -a2 y)( a1 x + -a2 y) = 0

a1 x - -a2 y = 0 ou
a1 x + -a2 y = 0
Cq est donc runion de deux droites.

 Si rt-s2 est positif, a1 et a2 sont de mme signe, qui est le signe de r = 
q(i) = a1 l1 (i)2 + a2 l2
Deux sous-cas se prsentent :
 si r > 0, q est dfinie positive et est donc un produit scalaire ; alors Cq =
{0} et q a pour signature (2, 0) ;

 si r < 0, q est dfinie ngative. Dans ce cas, Cq = {0} et q a pour signature
(0, 2).

L'nonc suggre de faire une discussion. Pour rpondre prcisment  la
question, la discussion doit se faire jusqu'au bout sur les donnes de l'nonc,
c'est--dire sur r, s et t (et non pas sur des quantits introduites dans la
rponse, comme ici a, a1 . . .)

I.

Cne contenant cinq vecteurs donns

I.A Notons M la matrice de q relativement  Bc

a11 a12

M = Mat Bc (q) = a12 a22
a13 a23

de sorte que

a13

a23 
a33

q ((x, y, z)) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2 a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz
Ainsi, il vient

q(i) = 0  a11 = 0

Donc i  Cq si et seulement si le premier coefficient de la matrice de q 
relativement
 Bc est nul.
De mme, j et k sont dans Cq si et seulement si les coefficients diagonaux de M
sont nuls, si bien que, en notant a23 = 2, a13 = 2, a12 = 2, il vient que :
Cq contient i, j et k si, et seulement si, il existe des rels ,  et  tels que
X = (x, y, z)  R3

q(X) =  yz +  xz +  xy

I.B.1 Pour un triplet  , notons q la forme quadratique qui  X = (x, y, z)  R3
associe q (X) =  yz +  xz +  xy. Notons galement Qi,j,k l'ensemble des formes
quadratiques telles que Cq contienne i, j et k. L'application  7 q est 
visiblement
linaire de R3 dans Q. D'aprs la question prcdente, son image est exactement
Qi,j,k . Elle est galement injective : si q = 0,

0  
1
Mat Bc (Q ) =  0  = 0
2
  0
et donc

 =0

De plus, nous avons, pour   R3
q (e) = l( )
q (e ) = l ( )