Centrale Maths 1 MP 2015

Thème de l'épreuve Autour de la transformation de Radon
Principaux outils utilisés géométrie du plan, intégrales à paramètre, changement de variable, fonctions de deux variables
Mots clefs transformation de radon, action de groupe, formule d'inversion, fonctions radiales, radiographie, groupe des isométries affines

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, % Mathématiques 1 L0

%, FI
_/ MPQ

cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Autour de la transformation de Radon

L'objectif de ce problème est l'étude d'un certain opérateur intégral agissant 
sur les fonctions du plan, appelé
transformation de Radon. On se propose d'établir une formule d'inversion et 
d'interpréter la transformation en
termes de fonctions invariantes sur un groupe de matrices. Enfin on étudiera 
une application du procédé dans
le domaine de l'imagerie médicale.

Notations

On note [R le corps des nombres réels et M3([R) l'algèbre des matrices carrées 
de taille 3 >< 3 à coefficients dans
[R. Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de M3([R) est noté GL3([R) 
et son élément neutre, 13.

Les éléments du plan vectoriel [R2 seront notés en colonne, pour tout réel 9 on 
notera Üe = (ïrîä ).

Le plan est muni de sa structure euclidienne canonique, donnée par le produit 
scalaire

% oe2
, =:coe +
<(y1) (y2)> 1 2 91312

L'ensemble des matrices des rotations vectorielles planes est appelé groupe 
spécial orthogonal et noté SO(2), son
cos 9 -- sin 9 )

élément neutre, 12. On écrira R9 = .
s1n9 cos9

I Préliminaires géométriques

51
a A
Soit G le sous-ensemble de M3([R) des matrices de la forme M (A, b) = b2 où A 
est un élément du

001

51

b ) est un vecteur quelconque du plan euclidien [R2.
2

groupe spécial orthogonal SO(2) et Î) = (

I.A -- Isométries afiines directes du plan euclidien
I.A.1) Déterminer un couple (A,Î)) dans SO(2) >< [R2 tel que l'on ait M(A,Î)) : 
13.
I.A.2) Soient (A,Ë) et (A',Î)') dans SO(2) >< [R2. Montrer que M(A,Î))M(A',ÎJ') 
: M(AA',AÏ)' +Ë).

_,

I.A.3) Montrer que les éléments de G sont inversibles et expliciter l'inverse 
de M (A, b).

I.A.4) Démontrer que G est un sous-groupe de GL3([R).

G -->[R2

I.A.5) L'application  : {M(A,ÎJ) |--> Î) est-elle surjective ? Est-elle 
injective ?

I.B -- Droites a_fiines du plan
"1
"2
(qu1,qu2) et orthogonale à ü.

Pour q EUR [R et ü = ( ) vecteur unitaire de [R2, on note A(q, &) la droite 
affine du plan passant par le point

I.B.1) Représenter graphiquement A(O, %) et A (2, 61 + 62 ).

\/ë

I.B.2) Déterminer une équation cartésienne de A(q, fig).

x(t) = qcos9-- tsin0

1 -
y(t) : q Sin9 + t cos 9 Orsque t par

I.B.3) Montrer qu'une paramétrisation de A(q, %) est donnée par {

court [R.
I.B.4) À quelle condition les droites A(q, 11) et A(r, Ü) sont--elles 
confondues ?

I.C -- Action de G sur les droites

On note 2) l'ensemble des droites affines du plan et on considère l'application 
\I/ : { --

2015-01-29 10:24:43 Page 1/4 [_

I.C.1) Représenter Q(M(A,Ë)) dans le cas A = Rfi/6 et Î) : (à).

1.0.2) Déterminer \1: (M(12,Ô)).
I.C.3) Vérifier que \I! (M (R9,qüg)) : A(q, üg) ; en déduire que \Il est 
surjective.
I.C.4) Soit H l'ensemble des matrices M(A,ÎJ) de G telles que OE(M(A,ÎJ)) : 
A(O, ë1).

a) Décrire les éléments de H.
I) ) Montrer que H est un sous-groupe de G.
0) Montrer que pour tout g de G, et tout h de H, on a OE(gh) : OE(g).

Pour tout entier n, on note B,, l'ensemble des fonctions f de classe C1 sur [R2 
à valeurs dans [R telles que
(a:,y) l--> (932 + y2)"f(oe,y) est bornée sur [l?2.

Si f est une fonction continue sur [R2 on appelle transformée de Radon de f la 
fonction f définie, là où c'est
possible, par

+oo
f(q,9)=/ f(qcos9--tsin9,qsin9+tcosû)dt

II Fonctions radiales

II.A -- Étude d'un exemple
1
On considère, dans cette sous-partie seulement, la fonction f définie par : 
V(oe,y) E W, f (a:, y) = m.

II.A.1) Établir que f est dans 231.

II.A.2) Montrer que f est définie sur [R2 avec f (q, 9) = F

JÎ--q2'

1 2" A , R'(q)
II.A.3) On pose R(q) = -- f(q,9) d9. Demontrer que q l-->

27r 0
__1 +00 R'(q)
f(0,0)-- «], q dq

est intégrable sur ]0, +00[ et que

On pourra, pour calculer cette dernière intégrale, procéder au changement de 
variable q = sh(u).

II.A.4) La fonction % est-elle dans 232 ?

II.B -- Fonctions radiales : cas général
On suppose dans le reste de cette partie qu'il existe une fonction 

O, de A +oo Vq 5 [W, va 6 [R f(q,9) = LO") dr q ?"2 _ q2 1 277 A +oo _ II.B.4) En déduire que Vq E [W, --/ f(q,9) d9 : 2 rf(r) dr. 27r 0 q ?...2 _ q2 III Transformée de Radon d'une fonction de 291 On considère dans cette partie une fonction f appartenant à 231 et on rappelle que A +oo f(q,l9)= f(qcos9--tsin9,qsin9+tcos9)dt --OO III.A -- Vérifier que f est définie sur [RZ. 2015-0139 10:24:43 Page 2/4 [_ III.B -- Justifier que pour tout q et tout «9 on a f(--q,9 + 7r) : Î(q,9). 1 277 111.0 -- On pose encore f(r) : 2-- f(r cos t,rsin t) dt. 7r 0 III.C.1) Démontrer que Î est de classe C'1 sur [R. III.C.2) Démontrer que la fonction 7" l--> r2 f (r) est bornée sur [R. 8f ôf III.C.3) Montrer que si on suppose de plus que & et 874 sont dans 82, alors 7" l--> r4Î'(r) est bornée sur [R. Sous ces hypothèses, on peut démontrer en manipulant des intégrales doubles que la formule du II.B.4 reste vraie. Nous admettrons donc dans la suite que 1 27r ,. +oo 7'Î(7") VG[R+ --/ ,9d9=2/ _dr IV Formule d'inversion On souhaite retrouver la fonction f a partir de sa transformée Î . À cet effet on pose pour (oe,y) EUR [R2, 1 27r ,. Ram/(q) : % f(xcos9+ysin9+q,9)dû 0 . . , . . 2 --1 +°° @@ L'ob3ect1f est de demontrer la formule d'inversion de Radon : V(oe, y) E [R , f (a:,y) : ? [q dq. 0 I V.A -- Résultats préliminaires dt 7r +oo IV.A.1) Justifier l'existence de l'intégrale / t et montrer que sa valeur est 5. 1 Vt2--1 IV.A.2) Soient 5 et ?" fixés tels que 0 < 5 < 7". Avec le changement de variables q = ?" cos @, établir que /r dq _ 7'2--62 5 q2 r2--q2 7"25 I V.B -- Étude d'une fonction définie par une intégrale +oo t [1 t Soit h une fonction de classe C 1 sur [R+. On suppose que r l--> r2h(r) est bornée et on pose H (q) = / t2(q )1 1 _ IV.B.1) Montrer que H est continue sur ]0, +oo[. 1 IV.B.2) Montrer qu'au voisinage de +00 on a H(q) : O ((I--2). IV.B.3) Démontrer que si on suppose de plus que ?" +--> r4h'(r) est bornée, alors la fonction H est de classe C'1 sur ]0, +oo[. I V.C -- Vers la formule d'inversion 8 8 On considère une fonction f de 231 dont les dérivées partielles 8--20 et ô--î: sont dans 232. 1 2" - +°° rf(r) On pose, avec les notations de la partie III : Vq EUR [R+, F(q) : 2--/ f(q,9) d9 : 2 ? dr. 71' 7" _ 0 q IV.C.1) Justifier que F est de classe C'1 sur ]0, +00[ et qu'au voisinage de +00 on a F(q) OG)- +oo / +00 1 +00 _ IV.C.2) Démontrer: Ve > o, / F @ dq= _F(E' +2 / -- ( rf(r' dr) dq. 6 q 5 q 8 q2 \/7"2--q2 IV.C.3) On admet que l'on peut intervertir les deux intégrales ci dessus et donc que +00 1 +00 7'Î(7') +oo r 'I"Î('I") Ve>0 [ (q_2 _Wdr) dq=/EUR ([; --q2 r2--q2 dq) dr '] +°° F '(Q) +°° Î(?") En déduire ue Ve > 0,/ d = --28 _ dr. q 5 Q q 5 rV r2 -- 62 2015-0139 10:24:43 Page 3/4 [_ I V.D -- La formule d'inversion ôf ôf On considère une fonction f dans 231 telle que 8_ et 8_ sont dans 232. 55 y IV.D.1) Établir la formule d'inversion de Radon pour cette fonction f au point (ac, y) = (0,0). IV.D.2) Les hypothèses faites sur f sont--elles nécessaires pour que la formule d'inversion de Radon soit vérifiée au point (a:,y) = (0,0) ? IV.D.3) Proposer une démarche pour obtenir la formule d'inversion de Radon en tout couple (a:, y) à partir de la formule en (0,0). V Interprétation et application à la radiographie La transformation de Radon peut être introduite dans le cadre plus général de l'analyse sur les groupes. Le but de cette partie est d'interpréter l'opérateur étudié plus haut en termes de fonctions invariantes sur G. V.A -- Fonctions invariantes sur G Si f est une fonction définie sur [R2, on note f * la fonction f o, définie sur G par f *(g) = f (©(g)) où @ : G --> [R2 est la fonction introduite dans la question I.A.5. V.A.1) Démontrer que pour tout g dans G et r tel que (r) = 0 on a f*(gr) = f*(g). On dit alors que f * est invariante par les rotations du plan, vues comme des éléments de G. V.A.2) On suppose a présent que f vérifie les hypothèses permettant de définir sa transformée de Radon et on va démontrer que f peut également être vue comme une fonction sur G, sujette à un autre type d'invariance. Démontrer que si deux droites A(Q1,ügl) et A(q2,üg2 ) coïncident, alors f(q1,01) = f(q2,92). Ce résultat permet de faire l'abus de notation f (A (q, û6))= f (q, EUR)) sans qu'il en résulte d'ambiguïté. V. A. 3) On définit a présent f* sur G en composant f par \II: on pose, pour tout g E G, f*(g )- -- f (OE(g)). Démontrer que f* est H-- --invariante, c 'e-st à--dire que pour tous g E G et h E H, f*(gh)= f*(g ). V.B -- Reconstruction en radiographie Une technique courante en imagerie médicale consiste à mesurer l'intensité d'un faisceau de rayons X avant et Ïs après la traversée d'une certaine zone, l'objectif étant de déterminer la densité des tissus dans la zone. L'ob-- jectif des dernières questions du problème est d'illus- trer, dans un modèle de dimension deux, comment la formule d'inversion de Radon peut être utilisée dans ce cadre. On modélise la densité des tissus, exprimée dans des unités convenables, par une fonction inconnue f nulle Ïe en dehors de la zone à étudier et dont on suppose qu'elle vérifie des hypothèses assurant l'existence de f. En supposant que chaque faisceau de rayons X incident est porté par une droite affine A, et en notant 1 son intensité mesurée de part et d'autre de la zone visée, un raisonnement heuristique donne n<ï--:>=/,f où le membre de droite désigne l'intégrale de f sur la droite A dans un sens a préciser. Figure 1 V.B.1) Proposer une définition rigoureuse du membre de droite de (V.1) dans le cas où A = A(q, üg). V.B.2) Expliquer comment la formule d'inversion de Radon permet en principe de connaître la densité des tissus dans la zone radiographiée. oooFlNooo 2015-0139 10:24:43 Page 4/4 [_

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Centrale Maths 1 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthias Moreno (ENS de Lyon) ; il a été relu par
Guillaume Batog (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur 
à l'université).

Ce sujet étudie la transformation de Radon, qui associe à une fonction f de R2 
une
fonction fb définie par
Z +
(q, )  R2
fb(q, ) =
f (q cos  - t sin , q sin  + t cos ) dt
-

L'objectif du problème est d'établir une formule d'inversion qui permet de 
retrouver f
à partir de fb.
Les trois premières parties sont complètement indépendantes. La quatrième 
reprend les résultats montrés dans la partie III, et la cinquième dépend de la 
partie I.
· La première partie ne comporte que des questions très élémentaires sur la 
notion
de groupe et sur la géométrie plane. On y introduit le groupe G des isométries
affines directes du plan euclidien (c'est-à-dire les composés d'une rotation de
centre O et d'une translation du plan) ainsi que l'ensemble des droites affines
du plan.
· La deuxième partie, également facile, permet de définir la transformée de 
Radon
dans le cas particulier des fonctions du plan qui sont invariantes par rotations
vectorielles. On y définit une moyenne radiale f , et on établit une équation
faisant le lien entre fb et f . Les principaux outils utilisés sont les 
intégrales
généralisées et le théorème de changement de variable.

· La troisième partie s'attaque au cas général de fonctions qui satisfont 
certaines
hypothèses de décroissance à l'infini. On y étudie la régularité de la fonction 
f ,
ce qui fait intervenir le théorème de dérivation sous le signe intégral.

· La quatrième partie est la plus longue et la plus difficile du problème. On y
démontre la formule d'inversion de Radon. Tous les théorèmes d'intégration
sont utilisés, ainsi que les résultats des parties précédentes.
· La cinquième et dernière partie est élémentaire et fait la synthèse du 
problème.
On y étudie une application de l'opérateur f 7- fb dans le domaine de 
l'imagerie médicale. Des points pouvaient aisément y être glanés.

Ce problème permet de travailler de manière approfondie les intégrales à 
paramètre. Sa teneur géométrique le rend particulièrement intéressant et permet 
de
comprendre toutes les formules abordées de façon intuitive.

Indications
Partie I
-

I.A.3 Chercher un inverse de la forme M(A, b ).
--

I.B.3 Écrire une relation du type PM = t-
u , où -
u dirige (q, -
u  ) et P  (q, -
u  ).

-
I.B.4 Injecter les formules de la question I.B.3 pour (q, u ) dans l'équation 
car
tésienne de (r, -
v ) donnée par la question I.B.2.

I.C.3 Montrer que toute droite affine peut s'écrire sous la forme (q, -
u  ).

I.C.4.a Utiliser la question I.B.4.
Partie II
II.A.2 Faire apparaître la dérivée de Arctan dans le calcul de fb.

II.A.3 Calculer explicitement la fonction R.
p

II.B.2 Au voisinage de q, décomposer r2 - q 2 = r + q r - q et minorer. Au voir
pour r > 2q > 0.
sinage de +, majorer p
r2 - q 2
p
II.B.3 Effectuer le changement de variable r = q 2 + t2 .
Partie III

III.B Exploiter les symétries de cos et sin.
III.C.1 Utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
III.C.2 Utiliser le fait que f  B1 .

III.C.3 La question III.C.1 permet de dériver sous l'intégrale.
Partie IV

IV.A.1 Effectuer le changement de variable u = t2 - 1.

1 - 2
IV.A.2 On a tan(Arccos ) =
pour   ] 0 ; 1 ].

IV.B.1 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre. Utiliser 
la
question IV.A.1 pour la domination.
IV.B.2 Après majoration de l'intégrande, utiliser la question IV.A.1 pour 
simplifier.
IV.B.3 Utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
IV.C.1 Effectuer le changement de variables r = qt. Utiliser les parties III.C 
et IV.B.
IV.C.2 Faire une intégration par parties sur ]  ; + [.
Z
Z
1 + F (q)
2 + f (u)

IV.D.1 Établir que -
dq = lim
du, puis calculer cette
0  1
 0
q
u u2 - 1
limite à l'aide du théorème de convergence dominée.
IV.D.2 Regarder l'exemple de la sous-partie II.A.
IV.D.3 Utiliser la formule d'inversion de Radon au point (0, 0) pour la fonction
(x, y) 7- f (x + x0 , y + y0 )

I. Préliminaires géométriques
 -
-

I.A.1 Prenons A = I2 et b = 0 =

c'est-à-dire
Ainsi,

-

0
. Alors A  SO(2) et b  R2 . Il vient
0

0
-

I2
0
M(A, b ) = 
00 1

1 0 0
= 0 1 0
0 0 1

-
M(A, b ) = I3

-
(I2 , 0 )  SO(2) × R2

-
et M(I2 , 0 ) = I3

-

-
-

I.A.2 Soient (A, b ) et (A , b ) dans SO(2) × R2 . Notons b =

Alors

-

-

A
M(A, b ) · M(A , b ) = 
00

AA
=
00
=

-
b1
b
et b = 1 .
b2
b2

b1
 b1
A
b2  · 
b2 
00 1
1
    
b
b
A 1 + 1
b2
b2 
1

 -
-
!
AA A b + b
00
1

-
 -
-
-

M(A, b ) · M(A , b ) = M(AA , A b + b )

-
-

I.A.3 Soit (A, b )  SO(2) × R2 . Cherchons un inverse de M(A, b ) de la forme

-

-
 -
-

-

M(A , b ). D'après la question I.A.2, on a M(A, b ) · M(A , b ) = M(AA , A b + 
b ).
 -
-

Pour que M(AA , A b + b ) = I3 , d'après le résultat trouvé à la question I.A.1,
il suffit d'avoir

AA = I2
 -
 -

A-
b + b = 0
Puisque A  SO(2) est inversible, prenons

A = A-1

-
-
b = -A-1 b

-

-
Vérifions que M(A-1 , -A-1 b ) est bien l'inverse de M(A, b ). En utilisant la
question I.A.2, on a
-

-

-

-
M(A, b ) · M(A-1 , -A-1 b ) = M(AA-1 , A(-A-1 b ) + b )
 -
-

= M(I2 , - b + b )

-
= M(I2 , 0 )
-

-
donc
M(A, b ) · M(A-1 , -A-1 b ) = I3
avec le résultat de la question I.A.1. On a montré que

-

-

-
Tout M(A, b )  G est inversible avec M(A, b )-1 = M(A-1 , -A-1 b ).
Pour une matrice carrée, être inversible, avoir un inverse à gauche et avoir
un inverse à droite sont équivalents. Les inverses à droite et à gauche sont
toujours égaux lorsqu'ils existent.
I.A.4 Vérifions les quatre conditions pour être un sous-groupe de GL3 (R).
· Non vide : d'après la question I.A.1, I3  G, donc G est non vide.
· Inclusion dans GL3 (R) : d'après la question I.A.3, les éléments de G sont des
matrices carrées inversibles, donc G est un sous-ensemble de GL3 (R).
-

· Stabilité par passage à l'inverse : pour tout M(A, b )  G, on a
-

-
M(A, b )-1 = M(A-1 , -A-1 b )

-
et si A  SO(2), alors A-1  SO(2). Comme -A-1 b  R2 , il vient

-

M(A, b )-1  G
-

-

· Stabilité par produit : soit (A, b ) et (A , b ) dans SO(2) × R2. D'après la 
question I.A.2 on a

-
 -
-
-

M(A, b ) · M(A , b ) = M(AA , A b + b )
 -
-

Comme SO(2) est un groupe, AA  SO(2). On a également A b + b  R2 d'où
-

-
M(A, b ) · M(A , b )  G

Conclusion :

G est un sous-groupe de GL3 (R).

-

-

-

-
I.A.5 Soit b  R2 . Alors M(I2 , b )  G et (M(I2 , b )) = b , donc
 est surjective.
-

Soient deux matrices A et B dans SO(2) distinctes. Alors M(A, b )  G et

-
M(B, b )  G avec
-

-
M(A, b ) 6= M(B, b )
-

-

-
et
(M(A, b )) = b = (M(B, b ))
donc

 n'est pas injective.