Centrale Maths 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Théorème de Jörgens
Principaux outils utilisés fonctions de 2 variables, difféomorphismes, équations différentielles, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Mathématiques 1

"a «
--/ MP

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Dans tout le problème, R2 est muni du produit scalaire euclidien canonique noté 
{ , ) et de la norme H H associée.
Si il est un ouvert non vide de R2 et si (k, n) EUR (N*)2, on note CWQ,R") 
l'espace des fonctions de classe C'EUR de
il dans R".

Si f E C1(Q,Rn), la différentielle de f au point 19 de Q est notée dfp; sa 
matrice relativement aux bases
canoniques de R2 et de R" est appelée matrice jacobienne de f en p et est notée 
Jac f (19)

Si f est dans C2(Q,R), on dit que f vérifie (1) si et seulement si

82 82 82 2
V(OE,y) EUR @, Ô--;2Û(OE,y) >< Ô--yJQÛ(OE,y) -- (Ôoegy(oe,y)) = 1 ...

On note 792 l'ensemble des fonctions polynomiales de degré < 2 de R2 dans R 
c'est--à--dire les applications de R2
dans R de la forme

oe+-->aoe2+boey+cy2+doe+ey+f où (a,b,c,d,e,f)EURRô.

Le but principal du problème est de montrer que les solutions de (l) sur R2 
appartiennent a 792.

I Les équations de Cauchy-Riemann
Soient f et g dans C1(R2,R) vérifiant les équations, dites de Cauchy--Riemann,

Ôf_@ et OE_ @

Ôoe_Ôy Ôy__Ôoe

On définit deux fonctions sur Rï >< R par

V(r, @) EUR Rï >< R, Î(r, @) : f(r cos 9, rsin @) et ÿ(r, @) : g(r cos 9, rsin 
@)
Pour n EUR Z, on note &, l'espace des fonctions f de C2(Rï, @) telles que

W 6 Rï, t2 f"(t) +tf'(t) -- n2 f(t) : 0

LA --

I.A.1) Exprimer â--î(r,9) et â--£(r,9) en fonction de 7°, 9, Ê--ï(r cos 9,rsin 
@) et â--£(r cos 9,rsin EUR).
* af _ 1 ag ag _ 1 af

I.A.2) Pour tout (7°,9) EUR R+ >< R, montrer Ê(r,9) _ 7° >< ÔH(r,9) et Ôr(r,9) 
_ 7° >< 89 (7°, ).

I .B -- Pour oz E R, soit g0a la fonction de Rï dans R définie par

W EUR Rï, g0a(t) : t"'

I.B.1) Pour tout n EUR Z*, déterminer les réels oz tels que g0a appartienne a 
En.

I.B.2) Déterminer En pour n EUR Z. On discutera séparément le cas n = O.

I. C' -- Pour n EUR Z, soient cn,f et cn,g les fonctions de Rï dans @ définies 
par
0 (7°) : L " Î(r @) e_...9 d9
n,f 27T _71- 7
VT EUR Rï,

1 77 .
cn,g(r) / ÿ(r, @) e_...9 d9

I.C.1) Montrer que cn,f est de classe C1 sur Rï et vérifie
in

V7° EUR Rï, (Cn,f)l (7°) : ? Cn,g('°)

2013-04--16 13:54:48 Page 1/3 GC) BY-NC-SA

1.C.2) Montrer que cn,f appartient a En et que cn,f est bornée au voisinage de 
0. En déduire l'existence de
an E @ tel que

V?" E Rï, cn,f(r) : an r'"'
1.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir

N

p
V(7°79) EUR RÎÎ_ >< R, f(7",9) : li_)m î: anrlnl eine
p oo

n=--p
. . ôf af , 2
I .D -- Dans cette question, on suppose que les fonctions 8-- et 8-- sont 
bornees sur R .
95 y
1.D.1) Si n EUR Z, montrer que la fonction (cn,f)' est bornée sur Rï.
. Ôf Ôf
I.D.2) Montrer que les fonctions 6_ et 6_ sont constantes.
95 y

11 Quelques solutions de (1)

Si 1 est un intervalle de R, on dit que U E C1(I , R) vérifie (11.1) sur 1 si 
et seulement si

Vt EUR [, u(t) (u(t) + 275 u'(t)) : --1 (11.1)
II .A -- Déterminer les fonctions de 772 vérifiant (1) sur R2.
II.B -- En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si (t0,uo) est 
dans (R*)2, l'existence d'un

intervalle ouvert 1 de R contenant to et d'une fonction U E C1(I , R) telle que 
u soit solution de (11.1) sur I et
vérifie u(t0) : u0.

II. C' -- Soit ] un intervalle ouvert non vide de R. Existe--t--il une fonction 
polynomiale solution de (11.1) sur
] ?

II.D -- Soient ] un intervalle ouvert non vide de R, Q(J) : {(oe,y) EUR R2, oey 
E J}, w dans C2(J, R) et W la
fonction définie par

V(OE,y) EUR QU)» W(OEvy) = w(OEy)

11.D.1) Montrer que Q(J ) est un ouvert non vide.

11.D.2) Montrer que W est dans C2(Q(J),R) et que l'on a équivalence entre

i. W vérifie (1) sur Q(J),

ii. w' vérifie (11.1) sur J.

11.D.3) Montrer que W est la restriction a Q(J ) d'une fonction de 792 si et 
seulement si w est affine.

II.E -- Soient il un ouvert non vide de R2, f dans C2(Q,R) vérifiant (1) sur Q, 
(a, 19) EUR R2, Qa,b l'image de Q
par la translation de vecteur (a, b) et fa,b la fonction définie sur Qa,b par

V(OE,gj) EURQa,bv fa,b(oeay) =f(OE--OE,y--b)

Montrer que fa,b vérifie (1) sur Qa,b.

II.F -- Si (9607 yo) est dans R2, montrer qu'il existe un ouvert U de R2 
contenant (oeo,yo) tel que l'ensemble
des fonctions de C2(U, R) vérifiant (1) sur U et ne coïncidant sur U avec aucun 
élément de 772 soit infini.

111 Un critère de difiéomorphisme

III.A -- Rappeler la définition d'un C1--difiéomorphisme de R2 sur R2 et le 
théorème caractérisant un tel
difiéomorphisme parmi les applications de classe C1 de R2 dans R2.

Dans la suite de cette partie, on considère oz EUR Rï et F E C1(R2, R2). On 
suppose que pour tout (1), h) E R2 >< R2
 > allhll2

Le but de cette partie est de montrer que F est un C1--difiéomorphisme.
III.B -- Soient }) et q dans R2.

111.B.1) Vérifier

F (cz) -- F (19) = [; de+t(q--p)(q -- p) dt

2013-04--16 13:54:48 Page 2/3 GC) BY-NC-SA

III.B.2) Montrer

> 0 +oo quand HpH --> +oo.

III.C.3) En déduire que Ga atteint un minimum global sur R2 en un point pg.
III.C.4) Montrer que F(pO) : &.

III .D -- Montrer que F réalise un C1 --difiéomorphisme de R2 sur R2.

IV Le théorème de J ôrgens
Soit f dans C2(R2,R) vérifiant (1) sur R2.

Ï(oe,y) et F(oe,y) :  0 pour tout (ac, 
y) EUR R2.
96

I V.A -- Si (ac, y) EUR R2, montrer que J ac F (ac, y) --I2 (où 12 désigne la 
matrice identité d'ordre 2) est symétrique
positive. En déduire que F est un C1--difiéomorphisme de R2 sur R2.

2 2 2
â_æ f(oe, y) 8OE( ,y) = Ôoegy(oe,y) et t(oe,y) : a--yJ2Û(OE79) de sorte

que, pour tout (oe,y) EUR R2, r(oe, y) > 0 et r(oe, y) toe(, y)-- s(ac,y)2 : 1.

Dans la suite, soient, pour (ac, y) EUR R2, r(,æ y)=

IV.B --
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux fonctions @ et 

,v<æ, :... Ë--ÎÊ<<< > et ä--Ï,v>

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexei Tsygvintsev (Enseignant-chercheur à 
l'université) ; il a été relu par Clément Mifsud (ENS Cachan) et Vincent 
Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Le but de ce sujet est d'étudier l'ensemble des solutions de l'équation aux 
dérivées
partielles
 2
2
2f
2f
 f
 (x, y)  
(x,
y)
×
(x,
y)
-
(x,
y)
=1
(1)
x2
y 2
x y
Bien qu'elle soit majoritairement portée sur les fonctions de plusieurs 
variables, cette
épreuve couvre un ensemble assez large du programme d'analyse puisque sont 
notamment utilisées, outre les outils du calcul différentiel, les équations 
différentielles
linéaires et non linéaires ainsi que les séries de Fourier. Le problème est 
divisé en
quatre parties.
· La première partie est consacrée à l'étude des couples (f, g) solutions des 
équations dites de Cauchy-Riemann
f
g
=
x
y

f
g
=-
y
x

On démontre notamment via le développement en série trigonométrique de
fe : (r, ) 7- f (r cos , r sin )

que si les dérivées partielles de f et g sont bornées, alors elles sont 
constantes.
· Dans la deuxième partie, on étudie quelques solutions particulières de 
l'équation (1). Il s'agit notamment de montrer qu'il existe au voisinage de 
chaque
point de R2 un ouvert sur lequel l'ensemble des solutions de l'équation (1) qui
ne sont pas polynomiales est infini.
· La troisième partie est indépendante des autres. On établit une condition 
suffisante pour qu'une application de classe C 1 soit un difféomorphisme de R2
dans R2 .
· La quatrième partie consiste à démontrer le théorème de Jörgens selon lequel
l'ensemble des solutions de l'équation (1) définies sur R2 est constitué des 
fonctions polynomiales de degré 2.
Cette épreuve est en définitive un excellent moyen de mettre à l'épreuve sa 
compréhension des fonctions de plusieurs variables.

Indications
Partie I
I.A.1 Appliquer la formule de dérivation d'une application composée.
I.A.2 Utiliser les équations de Cauchy-Riemann et le résultat de la question 
I.A.1.
I.B.2 Montrer que En est un espace vectoriel de dimension 2 et utiliser la 
question
précédente.
I.C.1 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre. Utiliser 
ensuite le résultat de la question I.A.2 dans l'expression de la dérivée obtenue
par la formule de Leibniz puis intégrer par parties.
I.C.2 Pour montrer que cn,f appartient à En , établir des résultats similaires 
à ceux
de la question I.C.1 pour cn,g . Pour le caractère borné, justifier que la 
fonction f , et donc fe, est bornée au voisinage de 0. Enfin, utiliser la forme 
des
solutions de En établie à la question I.B.2.
I.C.2 Fixer r > 0 puis appliquer les résultats sur les séries de Fourier à  7- 
fe(r, ).

I.D.1 Majorer grossièrement (cn,f ) .

I.D.2 Utiliser l'expression de la question I.C.2.
Partie II
II.B Appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz à une équation différentielle non
linéaire du premier ordre bien choisie.
II.C Utiliser le fait qu'un polynôme ayant une infinité de racines est nul.
II.D.2 Calculer le membre gauche de l'équation (1) lorsque W est de la forme 
donnée
par l'énoncé, puis traiter les deux implications séparément.
II.D.3 Remarquer qu'avec la forme de W, on obtient W(x, y) = W(rx, y/r) pour
tout (x, y)  R2 et tout r > 0.
II.F Distinguer les deux cas x0 y0 = 0 et x0 y0 6= 0 et utiliser la question 
II.D.2.
Partie III
III.B.1 Introduire  : t 7- p + t(q - p).
III.B.2 Utiliser la question III.B.1 et la linéarité à gauche du produit 
scalaire.
III.C.1 Penser à la formule de la différentielle d'une fonction composée.
III.C.2 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et le résultat de la question 
III.B.2.
III.C.3 À l'aide du résultat de la question III.C.2, ramener la recherche du 
minimum
global à un compact de R2 .
III.C.4 Remarquer qu'un point en lequel un minimum global est atteint est 
nécessairement un point critique.
III.D Justifier à l'aide de l'hypothèse de l'énoncé que la différentielle de F 
en tout
point est inversible.

Partie IV
IV.A Déterminer le signe du produit et de la somme des valeurs propres de la
matrice Jac F(x, y) - I2 .
IV.B.1 Sachant que F est un C 1 -difféomorphisme, écrire les fonctions  et  
comme
les fonctions coordonnées d'une composée de fonctions C 1 .
IV.B.2 Utiliser les relations entre les matrices jacobiennes de fonctions 
composées.
IV.B.3 Montrer que  et  vérifient les équations de Cauchy-Riemann et appliquer
la question I.D.
IV.B.4 Utiliser la question I.D.2.
IV.B.5 Noter A et B les valeurs constantes de /u et /v. Exprimer ensuite r
et t comme les racines d'une équation du second degré à coefficients constants
qu'on exprimera en fonction de A et B.
IV.C Commencer par utiliser le fait que  2 f /x2 soit constante pour en déduire
une forme simple de f . Dériver ensuite deux fois par rapport à y et utiliser
le fait que  2 f /x2 soit constante.

I. Les équations de Cauchy-Riemann
I.A.1 Soit (r, )  R+ × R. La fonction fe est définie comme une fonction composée
de f et de (r, ) 7 (r cos , r sin ) qui sont des applications de classe C 1 . 
On en
déduit que fe est de classe C 1 par composition. D'après la formule de la 
chaîne,
 fe
(r cos ) f
(r sin ) f
(r, ) =
(r cos , r sin ) +
(r cos , r sin )
r
r
x
r
y
soit

 fe
f
f
(r, ) = cos  (r cos , r sin ) + sin  (r cos , r sin )
r
x
y

De même,
(r cos ) f
(r sin ) f
 fe
(r, ) =
(r cos , r sin ) +
(r cos , r sin )

x

y
et

 fe
f
f
(r, ) = -r sin  (r cos , r sin ) + r cos  (r cos , r sin )

x
y

I.A.2 En dérivant la fonction ge au point (r, )  R+ × R, on retrouve les 
formules
analogues à celles obtenues dans la question I.A.1 :
e
g
g
g
(r, ) = cos  (r cos , r sin ) + sin  (r cos , r sin )
r
x
y
e
g
g
g
(r, ) = -r sin  (r cos , r sin ) + r cos  (r cos , r sin )

x
y
Il suffit maintenant de remplacer dans les égalités précédentes les dérivées 
partielles
de g en fonctions des dérivées partielles de f grâce aux équations de 
Cauchy-Riemann
f
g
f
g
=
et
=-
x
y
y
x
Ainsi,
 fe
g
g
(r, ) = cos  (r cos , r sin ) - sin  (r cos , r sin )
r
y
x
 fe
g
g
(r, ) = -r sin  (r cos , r sin ) - r cos  (r cos , r sin )

y
x
En comparant ces expressions avec les formules pour ( fe/r)(r, ) et ( fe/)(r, )
de la question I.A.1, il vient
(r, )  R+ × R

 fe
1 e
g
(r, ) = ×
(r, )
r
r

et

e
g
1  fe
(r, ) = - ×
(r, )
r
r

I.B.1 Soit   R. L'application  est de classe C  sur R+ avec pour tout réel t,
  (t) =  t-1

et

  (t) = ( - 1) t-2

et par conséquent,
t2   (t) + t   (t) - n2  (t) = t2 ( - 1) t-2 + t  t-1 - n2 t
= (2 - n2 )t