Centrale Maths 1 MP 2009

Thème de l'épreuve Fonctions eulériennes et opérateur d'Abel
Principaux outils utilisés intégrales généralisées, intégrales dépendant d'un paramètre, suites et séries de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 23 fevrier 2009 13h45

MATHÉMATIQUES I

0

(n + 1) = n!

Comme (1) = 1, il en decoule que, pour tout entier naturel n,

(x + 1) = x(x).

De plus, pour tout x > 0, cette fonction verifie l'equation

0

MP

Partie I - Questions preliminaires

Filière

Prouver que :

h0,h>0

lim

h

n=0

+

(nh) =

 h(nh) converge.
n=0

Z

0

+

(t) dt.

(n-1)h

h(nh) =

n=0

[ ha ]

h(nh) +

n=[ ha ]+1

+

a
a
ou [ ] designe la partie entiere du nombre reel ).
h
h

n=0

+

h(nh)

(On pourra introduire un nombre reel a suffisamment grand et ecrire :

II.A.3)

b) Montrer que la serie

+

II.A - Soit  une application continue de l'intervalle [0, +[ dans R, integrable 
sur
l'intervalle [0, +[. On suppose de plus qu'il existe un nombre reel t0 > 0 tel 
que
la fonction  soit decroissante sur l'intervalle [t0 , +[.
II.A.1) Etablir que la fonction  est positive sur l'intervalle [t0 , +[.
(On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre reel strictement positif.
Z nh
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 6 h(nh) 6
(t) dt.

Partie II - Comportement asymptotique de la somme
d'une serie entiere au voisinage de la borne superieure
de son intervalle de convergence

I.1) Montrer qu'il existe un reel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que  (c) = 0.
I.2) En deduire que la fonction  est strictement croissante sur l'intervalle 
[2, +[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre reel  > 0,
 x = ((x)) au voisinage de +.

Page 1/4

Cette fonction est indefiniment derivable sur l'intervalle ]0, +[ et pour tout 
entier
naturel k et tout nombre reel x > 0,
Z +
(k) (x) =
(ln t)k e-t t x-1 dt.

La deuxieme fonction eulerienne notee  est la fonction reelle definie sur 
l'intervalle
]0, +[ par la formule suivante :
Z +
e-t t x-1 dt.
x  ]0, +[, (x) =

Rappels

Le probleme se propose d'etudier quelques proprietes d'un operateur appliquant
E dans lui-meme qui est introduit dans la troisieme partie. Pour ce faire, dans 
les
deux premieres parties, on met en place les outils necessaires a cette etude.

|| f ||61

applications lineaires continues de E dans lui-meme. Soient v un element de L(E)
et f un element de E ; l'image de f par v est notee v f . L'espace L(E) est 
muni de la
norme v 7 |||v||| = sup ||v( f )||.

06t61

On note E l'espace vectoriel norme des applications continues du segment [0, 1]
dans C muni de la norme f 7 || f || = sup | f (x)| et L(E) l'espace vectoriel 
des

Notations

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 23 fevrier 2009 13h45

MATHÉMATIQUES I

0

(n + 1) = n!

Comme (1) = 1, il en decoule que, pour tout entier naturel n,

(x + 1) = x(x).

De plus, pour tout x > 0, cette fonction verifie l'equation

0

MP

Partie I - Questions preliminaires

Filière

Prouver que :

h0,h>0

lim

h

n=0

+

(nh) =

 h(nh) converge.
n=0

Z

0

+

(t) dt.

(n-1)h

h(nh) =

n=0

[ ha ]

h(nh) +

n=[ ha ]+1

+

a
a
ou [ ] designe la partie entiere du nombre reel ).
h
h

n=0

+

h(nh)

(On pourra introduire un nombre reel a suffisamment grand et ecrire :

II.A.3)

b) Montrer que la serie

+

II.A - Soit  une application continue de l'intervalle [0, +[ dans R, integrable 
sur
l'intervalle [0, +[. On suppose de plus qu'il existe un nombre reel t0 > 0 tel 
que
la fonction  soit decroissante sur l'intervalle [t0 , +[.
II.A.1) Etablir que la fonction  est positive sur l'intervalle [t0 , +[.
(On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre reel strictement positif.
Z nh
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 6 h(nh) 6
(t) dt.

Partie II - Comportement asymptotique de la somme
d'une serie entiere au voisinage de la borne superieure
de son intervalle de convergence

I.1) Montrer qu'il existe un reel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que  (c) = 0.
I.2) En deduire que la fonction  est strictement croissante sur l'intervalle 
[2, +[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre reel  > 0,
 x = ((x)) au voisinage de +.

Page 1/4

Cette fonction est indefiniment derivable sur l'intervalle ]0, +[ et pour tout 
entier
naturel k et tout nombre reel x > 0,
Z +
(k) (x) =
(ln t)k e-t t x-1 dt.

La deuxieme fonction eulerienne notee  est la fonction reelle definie sur 
l'intervalle
]0, +[ par la formule suivante :
Z +
e-t t x-1 dt.
x  ]0, +[, (x) =

Rappels

Le probleme se propose d'etudier quelques proprietes d'un operateur appliquant
E dans lui-meme qui est introduit dans la troisieme partie. Pour ce faire, dans 
les
deux premieres parties, on met en place les outils necessaires a cette etude.

|| f ||61

applications lineaires continues de E dans lui-meme. Soient v un element de L(E)
et f un element de E ; l'image de f par v est notee v f . L'espace L(E) est 
muni de la
norme v 7 |||v||| = sup ||v( f )||.

06t61

On note E l'espace vectoriel norme des applications continues du segment [0, 1]
dans C muni de la norme f 7 || f || = sup | f (x)| et L(E) l'espace vectoriel 
des

Notations

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 23 fevrier 2009 13h45

MATHÉMATIQUES I

0

(n + 1) = n!

Comme (1) = 1, il en decoule que, pour tout entier naturel n,

(x + 1) = x(x).

De plus, pour tout x > 0, cette fonction verifie l'equation

0

MP

Partie I - Questions preliminaires

Filière

Prouver que :

h0,h>0

lim

h

n=0

+

(nh) =

 h(nh) converge.
n=0

Z

0

+

(t) dt.

(n-1)h

h(nh) =

n=0

[ ha ]

h(nh) +

n=[ ha ]+1

+

a
a
ou [ ] designe la partie entiere du nombre reel ).
h
h

n=0

+

h(nh)

(On pourra introduire un nombre reel a suffisamment grand et ecrire :

II.A.3)

b) Montrer que la serie

+

II.A - Soit  une application continue de l'intervalle [0, +[ dans R, integrable 
sur
l'intervalle [0, +[. On suppose de plus qu'il existe un nombre reel t0 > 0 tel 
que
la fonction  soit decroissante sur l'intervalle [t0 , +[.
II.A.1) Etablir que la fonction  est positive sur l'intervalle [t0 , +[.
(On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit h un nombre reel strictement positif.
Z nh
a) Prouver que pour n suffisamment grand, 0 6 h(nh) 6
(t) dt.

Partie II - Comportement asymptotique de la somme
d'une serie entiere au voisinage de la borne superieure
de son intervalle de convergence

I.1) Montrer qu'il existe un reel c de l'intervalle ]1, 2[ tel que  (c) = 0.
I.2) En deduire que la fonction  est strictement croissante sur l'intervalle 
[2, +[.
I.3) Montrer que, pour tout nombre reel  > 0,
 x = ((x)) au voisinage de +.

Page 1/4

Cette fonction est indefiniment derivable sur l'intervalle ]0, +[ et pour tout 
entier
naturel k et tout nombre reel x > 0,
Z +
(k) (x) =
(ln t)k e-t t x-1 dt.

La deuxieme fonction eulerienne notee  est la fonction reelle definie sur 
l'intervalle
]0, +[ par la formule suivante :
Z +
e-t t x-1 dt.
x  ]0, +[, (x) =

Rappels

Le probleme se propose d'etudier quelques proprietes d'un operateur appliquant
E dans lui-meme qui est introduit dans la troisieme partie. Pour ce faire, dans 
les
deux premieres parties, on met en place les outils necessaires a cette etude.

|| f ||61

applications lineaires continues de E dans lui-meme. Soient v un element de L(E)
et f un element de E ; l'image de f par v est notee v f . L'espace L(E) est 
muni de la
norme v 7 |||v||| = sup ||v( f )||.

06t61

On note E l'espace vectoriel norme des applications continues du segment [0, 1]
dans C muni de la norme f 7 || f || = sup | f (x)| et L(E) l'espace vectoriel 
des

Notations

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

On considere la serie entiere

n=0

 n-1 xn .

+

n=0

 g (-n ln x) = ().

+

B(, ) = B(, )
Z +
t-1
dt
B(, ) =
(1 + t)+
0

A,
.
2n

n=0

 un (, )n+-1 xn .

+

A,
S
(x).
2 +-1

En utilisant le comportement des fonctions (S )>0 au voisinage du point 1, 
conclure
que :
()() = B(, )( + ).

|S (x)S  (x) - B(, )S+ (x)| 6

Deduire de la question 2.b) que, pour tout reel x, 0 6 x < 1,

S (x)S  (x) =

c) On reprend les notations de la question (II.B.2).
Etablir que, pour tout nombre reel x de l'intervalle [0, 1[ :

|un (, ) - B(, )| 6

b) Prouver que, pour tout entier n strictement positif :

x, y  [0, 1], |, (x) - , (y)| 6 A, |x - y|.

a) Etablir que la fonction , : t 7 t-1 (1 - t) -1 est lipschitienne sur le 
segment
[0, 1].
On note A, un rapport de Lipschitz de cette fonction, c'est-a-dire tel que :

III.B.1) A l'aide de la relation (iii) montrer qu'il suffit de prouver 
l'assertion lorsque
les reels  et  sont strictement superieurs 2.
III.B.2) Soient  et  deux nombres reels strictement superieurs a 2. Pour tout
entier n strictement positif, on pose :

k -1
1 n-1 k -1
un (, ) = 
1-
n k=0 n
n

Filière MP

III.C - Formule des complements
III.C.1) Etablir que la fonction  7 B(, 1 - ) est continue sur l'intervalle ]0, 
1[.
III.C.2) Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q.
III.B - On se propose d'etablir pour tout reel  > 0 et tout reel  > 0 la formule
a) Verifier que :
suivante :

Z + 2p
()()
2p + 1
2p + 1
t
dt.
B(, ) =
.
,1-
= 2q
B
( + )
2q
2q
1
+
t2q
0
Page 2/4

t
(on pourra utiliser le changement de variable u =
.)
1-t

B(, ).
(iii)
B( + 1, ) =
+

(ii)

(i)

III.A.2) Prouver successivement pour tout couple (, ) de reels strictement 
positifs, les relations suivantes :

0

III.A III.A.1) Etablir que, pour tout couple (, ) de nombres reels strictement 
positifs,
la fonction t 7 t-1 (1 - t) -1 est integrable sur l'intervalle ]0, 1[.
Pour tout couple (, ) de nombres reels strictement positifs, on pose :
Z 1
t-1 (1 - t) -1 dt.
B(, ) =

Partie III - La premiere fonction eulerienne

a) Etablir que le rayon de convergence de cette serie entiere est egal a 1. On 
note S
la somme de cette serie entiere.
b) Prouver que, lorsque x tend vers 1 avec x < 1, alors :
()
.
S (x) 
(1 - x)

II.B.2)

x1,x<1

lim (- ln x)

II.B - Pour tout nombre reel  > 0, on note g la fonction definie sur 
l'intervalle
[0, +[ par la formule g (t) = e-t t-1 .
II.B.1) Verifier que la fonction g satisfait aux conditions du II.A.
En deduire que

MATHÉMATIQUES I

On considere la serie entiere

n=0

 n-1 xn .

+

n=0

 g (-n ln x) = ().

+

B(, ) = B(, )
Z +
t-1
dt
B(, ) =
(1 + t)+
0

A,
.
2n

n=0

 un (, )n+-1 xn .

+

A,
S
(x).
2 +-1

En utilisant le comportement des fonctions (S )>0 au voisinage du point 1, 
conclure
que :
()() = B(, )( + ).

|S (x)S  (x) - B(, )S+ (x)| 6

Deduire de la question 2.b) que, pour tout reel x, 0 6 x < 1,

S (x)S  (x) =

c) On reprend les notations de la question (II.B.2).
Etablir que, pour tout nombre reel x de l'intervalle [0, 1[ :

|un (, ) - B(, )| 6

b) Prouver que, pour tout entier n strictement positif :

x, y  [0, 1], |, (x) - , (y)| 6 A, |x - y|.

a) Etablir que la fonction , : t 7 t-1 (1 - t) -1 est lipschitienne sur le 
segment
[0, 1].
On note A, un rapport de Lipschitz de cette fonction, c'est-a-dire tel que :

III.B.1) A l'aide de la relation (iii) montrer qu'il suffit de prouver 
l'assertion lorsque
les reels  et  sont strictement superieurs 2.
III.B.2) Soient  et  deux nombres reels strictement superieurs a 2. Pour tout
entier n strictement positif, on pose :

k -1
1 n-1 k -1
un (, ) = 
1-
n k=0 n
n

Filière MP

III.C - Formule des complements
III.C.1) Etablir que la fonction  7 B(, 1 - ) est continue sur l'intervalle ]0, 
1[.
III.C.2) Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q.
III.B - On se propose d'etablir pour tout reel  > 0 et tout reel  > 0 la formule
a) Verifier que :
suivante :

Z + 2p
()()
2p + 1
2p + 1
t
dt.
B(, ) =
.
,1-
= 2q
B
( + )
2q
2q
1
+
t2q
0
Page 2/4

t
(on pourra utiliser le changement de variable u =
.)
1-t

B(, ).
(iii)
B( + 1, ) =
+

(ii)

(i)

III.A.2) Prouver successivement pour tout couple (, ) de reels strictement 
positifs, les relations suivantes :

0

III.A III.A.1) Etablir que, pour tout couple (, ) de nombres reels strictement 
positifs,
la fonction t 7 t-1 (1 - t) -1 est integrable sur l'intervalle ]0, 1[.
Pour tout couple (, ) de nombres reels strictement positifs, on pose :
Z 1
t-1 (1 - t) -1 dt.
B(, ) =

Partie III - La premiere fonction eulerienne

a) Etablir que le rayon de convergence de cette serie entiere est egal a 1. On 
note S
la somme de cette serie entiere.
b) Prouver que, lorsque x tend vers 1 avec x < 1, alors :
()
.
S (x) 
(1 - x)

II.B.2)

x1,x<1

lim (- ln x)

II.B - Pour tout nombre reel  > 0, on note g la fonction definie sur 
l'intervalle
[0, +[ par la formule g (t) = e-t t-1 .
II.B.1) Verifier que la fonction g satisfait aux conditions du II.A.
En deduire que

MATHÉMATIQUES I

1
X 2p
=-
2q
2q
1+X

k=0

q-1

.

2p+1
zk

i 2k+1
2q 

1
1
-
X - zk
X + zk

.

0

+

1

t2p
.
dt =
2q
2p+1
2q sin(
1+t
2q )

Partie IV - L'operateur d'Abel

.
  ]0, 1[, B(, 1 - ) = ()(1 - ) =
sin 

Deduire de (III.C.1) et (III.C.2) que :

Z

Filière MP

Z
0

1

f (xt)
dt.
(1 - t)

x n (())n
|| f ||.
(1 + n)

IV.B.2)

(())n
.
(1 + n)

n+

lim n

(())n
= 0.
(1 + n)

Pour tout nombre reel positif , montrer que :

|||An ||| 6

b) En deduire que, pour tout n > 1, An est un endomorphisme continu de E et que 
:

|An f (x)| 6

IV.B.1) On pose  = 1 - .
a) Pour tout entier n > 1, pour tout f element de E et pour tout x du segment 
[0, 1]
etablir l'inegalite suivante :

= A  An .
An+1

IV.B - On definit la suite (An )n>0 par la condition initiale A0 = id E 
(application
identite de E) et, pour tout n > 0, par la relation de recurrence suivante :

b) Montrer que, pour tout element f de E, la fonctionA f est une fonction 
continue
sur le segment [0, 1].
c) Etablir que l'application A : f 7 A f est un endomorphisme continu de 
l'espace vectoriel norme E et que :
1
|||A ||| = sup ||A f || =
.
1-
|| f ||61

A f (x) = x1-

a) Verifier que, pour tout f element de E et tout reel x du segment [0, 1],

A f (x) = 0 si x = 0
Z x
f (t)
A f (x) =
dt si 0 < x 6 1.
(x
- t)
0

IV.A.2) Pour tout element f de E, on note A f la fonction definie sur le segment
[0, 1] par les formules suivantes :

On pourra utiliser le resultat de la question preliminaire I.3.
Page 3/4

Etablir que pour toute fonction f de E et pour tout reel x de l'intervalle
f (t)
]0, 1], la fonction t 7
est integrable sur l'intervalle ]0, x[.
(x - t)

IV.A IV.A.1)

Dans toute cette derniere partie, on suppose que  est un nombre reel appartenant
l'intervalle ]0, 1[.

III.C.3)

En conclure que :

c) Apres avoir verifie que, pour tout nombre complexe c departie imaginaire
non

1 
t
-
Rec
est une prinulle, la fonction t 7 ln (t - Rec)2 + (Imc)2 + i arctan
2
Imc
1
mitive sur R de la fonction t 7
, prouver en utilisant judicieusement la relat-c
tion (*) que :
Z + 2p
q-1

t
2p+1
dt
=
-i
zk

2q
2q
1+t
0
k=0

(*)

Etablir que :

zk = e

b) Pour tout entier k compris entre 0 et q - 1, on note :

MATHÉMATIQUES I

1
X 2p
=-
2q
2q
1+X

k=0

q-1

.

2p+1
zk

i 2k+1
2q 

1
1
-
X - zk
X + zk

.

0

+

1

t2p
.
dt =
2q
2p+1
2q sin(
1+t
2q )

Partie IV - L'operateur d'Abel

.
  ]0, 1[, B(, 1 - ) = ()(1 - ) =
sin 

Deduire de (III.C.1) et (III.C.2) que :

Z

Filière MP

Z
0

1

f (xt)
dt.
(1 - t)

x n (())n
|| f ||.
(1 + n)

IV.B.2)

(())n
.
(1 + n)

n+

lim n

(())n
= 0.
(1 + n)

Pour tout nombre reel positif , montrer que :

|||An ||| 6

b) En deduire que, pour tout n > 1, An est un endomorphisme continu de E et que 
:

|An f (x)| 6

IV.B.1) On pose  = 1 - .
a) Pour tout entier n > 1, pour tout f element de E et pour tout x du segment 
[0, 1]
etablir l'inegalite suivante :

= A  An .
An+1

IV.B - On definit la suite (An )n>0 par la condition initiale A0 = id E 
(application
identite de E) et, pour tout n > 0, par la relation de recurrence suivante :

b) Montrer que, pour tout element f de E, la fonctionA f est une fonction 
continue
sur le segment [0, 1].
c) Etablir que l'application A : f 7 A f est un endomorphisme continu de 
l'espace vectoriel norme E et que :
1
|||A ||| = sup ||A f || =
.
1-
|| f ||61

A f (x) = x1-

a) Verifier que, pour tout f element de E et tout reel x du segment [0, 1],

A f (x) = 0 si x = 0
Z x
f (t)
A f (x) =
dt si 0 < x 6 1.
(x
- t)
0

IV.A.2) Pour tout element f de E, on note A f la fonction definie sur le segment
[0, 1] par les formules suivantes :

On pourra utiliser le resultat de la question preliminaire I.3.
Page 3/4

Etablir que pour toute fonction f de E et pour tout reel x de l'intervalle
f (t)
]0, 1], la fonction t 7
est integrable sur l'intervalle ]0, x[.
(x - t)

IV.A IV.A.1)

Dans toute cette derniere partie, on suppose que  est un nombre reel appartenant
l'intervalle ]0, 1[.

III.C.3)

En conclure que :

c) Apres avoir verifie que, pour tout nombre complexe c departie imaginaire
non

1 
t
-
Rec
est une prinulle, la fonction t 7 ln (t - Rec)2 + (Imc)2 + i arctan
2
Imc
1
mitive sur R de la fonction t 7
, prouver en utilisant judicieusement la relat-c
tion (*) que :
Z + 2p
q-1

t
2p+1
dt
=
-i
zk

2q
2q
1+t
0
k=0

(*)

Etablir que :

zk = e

b) Pour tout entier k compris entre 0 et q - 1, on note :

MATHÉMATIQUES I

(id E - A )g = f .

converge uniformement sur le seg-

n=0

 n An designe l'application f

+

7

n=0

 n An ( f ).

+

n=0

 n An

0

f (t) dt.

Pen .
sin 

(A1-  A ) =

P.
sin 

Etablir que pour toute fonction polynomiale ,

(A1-  A )en =

Ainsi, avec cette notation, pour tout entier naturel n,

x  [0, 1], P f (x) =

Formule d'inversion d'Abel.

Filière MP

P.
sin 

id E .
sin 

· · · FIN · · ·

d) En deduire que l'operateur A est injectif.

D  B =

Montrer que D  B est bien defini et que :

c) Soit D l'operateur qui a toute application continument derivable de [0, 1] 
dans C
associe sa derivee.

B =

b) On pose B = A1-  A . Montrer que :

|| f ||61

|||P||| = sup ||P f || = 1.

a) Montrer que l'endomorphisme P est un endomorphisme continu de E tel que :

IV.C.3)

Page 4/4

IV.C.2) Ce resultat suggere d'introduire l'operateur P defini sur E par la 
formule
suivante :
Z x

IV.C - Pour tout entier naturel n, on note en la fonction monomiale t 7 tn .
IV.C.1) Soit n un entier naturel.
a) Calculer A en .
b) En deduire que :
en+1

.
(A1-  A )en =
sin  n + 1

ou

(id E - A )-1 =

+

c) En deduire que, pour tout nombre complexe  non nul, l'operateur id E - A est
inversible et que :

b) Prouver que :

ment [0, 1].
On note g la somme de cette serie de fonctions.

n=0

 n An f

+

Soient  un nombre complexe non nul et f un element de E.

a) Prouver que la serie de fonctions

IV.B.3)

MATHÉMATIQUES I

(id E - A )g = f .

converge uniformement sur le seg-

n=0

 n An designe l'application f

+

7

n=0

 n An ( f ).

+

n=0

 n An

0

f (t) dt.

Pen .
sin 

(A1-  A ) =

P.
sin 

Etablir que pour toute fonction polynomiale ,

(A1-  A )en =

Ainsi, avec cette notation, pour tout entier naturel n,

x  [0, 1], P f (x) =

Formule d'inversion d'Abel.

Filière MP

P.
sin 

id E .
sin 

· · · FIN · · ·

d) En deduire que l'operateur A est injectif.

D  B =

Montrer que D  B est bien defini et que :

c) Soit D l'operateur qui a toute application continument derivable de [0, 1] 
dans C
associe sa derivee.

B =

b) On pose B = A1-  A . Montrer que :

|| f ||61

|||P||| = sup ||P f || = 1.

a) Montrer que l'endomorphisme P est un endomorphisme continu de E tel que :

IV.C.3)

Page 4/4

IV.C.2) Ce resultat suggere d'introduire l'operateur P defini sur E par la 
formule
suivante :
Z x

IV.C - Pour tout entier naturel n, on note en la fonction monomiale t 7 tn .
IV.C.1) Soit n un entier naturel.
a) Calculer A en .
b) En deduire que :
en+1

.
(A1-  A )en =
sin  n + 1

ou

(id E - A )-1 =

+

c) En deduire que, pour tout nombre complexe  non nul, l'operateur id E - A est
inversible et que :

b) Prouver que :

ment [0, 1].
On note g la somme de cette serie de fonctions.

n=0

 n An f

+

Soient  un nombre complexe non nul et f un element de E.

a) Prouver que la serie de fonctions

IV.B.3)

MATHÉMATIQUES I

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Juliette
Leloup (ENS Ulm) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Le sujet proposé a pour but l'étude de fonctions intégrales et d'un opérateur
intégral. On y démontre des résultats classiques sur les deux premières 
fonctions B
et  d'Euler
Z 1
Z +
B (, ) =
t-1 (1 - t)-1 dt
et
(x) =
e -t tx-1 dt
0

Z
et sur l'opérateur d'Abel A : f 7- x 7 x1-

0

1
0

f (xt)
dt
(1 - t)

.

· La première partie généralise une propriété séquentielle de la factorielle. 
Il s'agit
d'un court préliminaire à la suite du sujet.
· La deuxième partie montre que l'intégrale d'une fonction continue intégrable
et décroissante peut être vue comme la limite de la somme d'une série entière.
+
P -1 n
Ce résultat permet de donner un équivalent en 1 de la somme
n
x en
faisant intervenir la fonction .

n=0

· Dans la troisième partie, on établit une formule reliant la première fonction 
eulérienne, B, à la deuxième, , avant de démontrer la formule des compléments :

  ] 0 ; 1 [
() (1 - ) = B(, 1 - ) =
sin()
· Enfin, la dernière partie montre que l'opérateur d'Abel n'admet pas de valeur
propre en utilisant les parties précédentes.
Le sujet est plutôt long si l'on fait le choix de rédiger proprement toutes les
questions (ce qui, rappelons-le, rapporte des points !). Les questions II.A.3 
et III.C.2
demandent tout particulièrement un effort de rédaction.
Il est nécessaire, pour réussir ce sujet, de bien maîtriser les résultats sur 
les intégrales généralisées (conditions d'existence et de continuité des 
intégrales à paramètre,
critère de Riemann), ainsi que sur les suites et les séries de fonctions, dont 
on manipule
des équivalents. Des théorèmes généraux d'analyse sur les fonctions 
lipschitziennes,
continues, ou les théorèmes de Heine et de Weierstraß sont également des outils 
clés
pour traiter ce sujet. Il constitue un bon entraînement aux concours puisqu'il 
permet
de réviser une grande partie du programme d'analyse de prépa.
Le deuxième thème dominant du sujet est l'algèbre linéaire, employée pour 
étudier
l'opérateur d'Abel, défini sur l'espace vectoriel de dimension infinie C 0 ([ 0 
; 1 ] ; C)
muni de la norme k · k .
Remarquons enfin que les principaux résultats de ce sujet figurent au programme
de première année de bien des écoles d'ingénieur dans les chapitres de 
mathématiques
consacrés à l'intégration de Lebesgue et à l'analyse complexe.

Indications
I.1 Calculer (1) et (2) puis penser au théorème de Rolle.
I.2 Que dire de l'intégrande de  ?
I.3 Utiliser la question I.2 pour se ramener à étudier lim  n /(n).
n

II.A.2.a Utiliser la décroissance de  sur l'intervalle [ t0 ; + [ pour exhiber 
l'entier n
satisfaisant.
II.A.3 Raisonner de même qu'en II.A.2.a pour trouver un réel a convenable.
Commencer par étudier le reste de la somme à l'aide d'une comparaison
série-intégrale. Pour le premier terme, remarquer que la fonction  est
continue sur le compact [ 0 ; t0 ].
II.B.1 Il y a une erreur d'énoncé : il faut considérer  > 1, sinon la fonction g
n'est pas continue en 0. Utiliser la question II.A.3.
II.B.2.b Utiliser l'équivalent ln x  (x - 1), après avoir explicité g (-n ln x).
x1
x<1

III.B.2.b Remarquer que un (, ) est une somme de Riemann. Écrire ensuite la
différence un (, ) - B(, ) comme une somme d'intégrales et utiliser le
caractère lipschitzien de , .
III.B.2.c Comment multiplie-t-on deux séries entières ? Pour la dernière 
question,
établir de deux façons différentes la limite en 1 par valeurs strictement
inférieures du quotient S S /S+ .
III.C.1 Utiliser une majoration sur tout compact inclus dans ] 0 ; 1 [ pour 
vérifier
les hypothèses du théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
X2p
III.C.2.b Décomposer la fraction rationnelle 2q
en éléments simples.
X +1
2p + 1
III.C.3 Montrer que l'ensemble des quotients de type
, où 0 < p < q sont
2q
deux entiers naturels, est dense dans ] 0 ; 1 [.
IV.A.1 Si x > 0, alors la fonction t 7 f (t)(x - t)- est continue sur [ 0 ; x [.
IV.A.2.b Pour vérifier le théorème de continuité des intégrales à paramètre, 
utiliser
le fait que la fonction f est continue sur le compact [ 0 ; 1 ].
IV.A.2.c Utiliser la fonction constante égale à 1 pour obtenir une inégalité 
sur |||A |||.
IV.B.1.a Faire une démonstration par récurrence sur n et utiliser l'expression 
intégrale de A g pour une fonction g  E bien choisie.
IV.B.3.a Étudier le comportement à l'infini de k2n n A n f k pour montrer que la
série de fonctions proposée converge normalement.
IV.B.3.b Utiliser la continuité de A pour effectuer un passage à la limite dans 
une
suite de fonctions appropriée.
IV.B.3.c Montrer que l'opérateur id E -A est injectif et conclure avec 
l'existence
d'un inverse à droite.
IV.C.1.b Utiliser la formule des compléments et le résultat de la question 
III.B.2.c.
IV.C.2 Remarquer que P et A1-  A sont des opérateurs linéaires.
IV.C.3.b Utiliser le théorème de Weierstraß sur la densité des polynômes dans E
après avoir expliqué pourquoi il s'applique à une fonction de E.
IV.C.3.c Pf est une primitive d'une fonction continue.
IV.C.3.d La question IV.C.3.c montre que A possède un inverse à gauche.

Les conseils du jury
La conclusion du rapport du jury regorge d'informations : « les candidats
doivent s'attacher à présenter des copies lisibles, rédigées de façon claire et
précise et de donner des démonstrations en alignant des égalités que l'on
agrémente de « bulles » explicatives. Ils doivent respecter l'orthographe [...]
Ils ne doivent pas oublier que si ces divers aspects ne font pas l'objet de 
points
spécifiques dans le barème, ils peuvent entraîner des points de minoration
pour les copies ne présentant pas ces qualités. »
En outre, il est préférable d'adopter une stratégie qui met davantage en
avant les capacités de compréhension, de réflexion et de progression dans
une épreuve, et non de résolution ponctuelle de questions plus basiques.
À ce propos, le rapport du jury mentionne la tentative de « quelques candidats 
d'essayer de glaner des points en abordant quelques questions [de la
partie IV], au détriment des parties précédentes. Malheureusement, ils n'ont
pas toujours été récompensés... »

I. Questions préliminaires
I.1 Grâce à la formule fournie dans les rappels du sujet, on sait que
(2) = 1 × (1) = (1)
La fonction  est de classe C sur l'intervalle [ 1 ; 2 ], elle est donc continue 
sur ce
même intervalle et dérivable sur l'intervalle ] 1 ; 2 [. Le théorème de Rolle 
permet alors
de conclure que
1

Il existe un réel c dans l'intervalle ] 1 ; 2 [ tel que  (c) = 0.
Attention à ne pas démontrer de résultat inutile comme le souligne le rapport
du jury : « un assez grand nombre d'étudiants de lit pas ­ ou ne sait pas lire ­
attentivement l'énoncé ; comment peut-on, par exemple, expliquer le calcul
de (2) ­ alors que la valeur figure dans l'énoncé ­ ou l'étude de la continuité
et de la dérivabilité de la fonction  ? »
I.2 Pour tout x > 0, l'intégrale
 (x) =

Z

+

(ln t)2 e -t tx-1 dt

0

possède une intégrande positive pour tout t > 0 et non constamment nulle, donc 
pour
tout x > 0,  (x) > 0. On en déduit que  est une fonction strictement croissante
sur ] 0 ; + [. Comme de plus, grâce à la question I.1,  (c) = 0, on obtient que 
pour
tout x > c,  (x) > 0. Enfin, comme on a établi c < 2, on en déduit que pour
tout x > 2,  (x) > 0, ce qui permet de conclure que
La fonction  est strictement croissante sur l'intervalle [ 2 ; + [.

I.3 Comme  ne s'annule pas pour x > 2, on a

 x = o (x)

x+

x
=0
x+ (x)
lim

On tient désormais pour acquis le fait que
x > 0

(x) > 0

En effet,  est l'intégrale d'une fonction positive non constamment nulle
sur un intervalle non réduit à un point, c'est donc une fonction à valeurs
strictement positives.
Par ailleurs,  est strictement croissante au voisinage de l'infini. Elle admet 
donc
une limite. Celle-ci est donnée par (xn ) pour toute suite (xn ) tendant vers 
l'infini.
En particulier,
lim (x) = lim (n + 1) = lim n! = +

x+

n+

n+

On distingue alors deux cas :
· Si  6 1, alors la fonction x 7  x est bornée sur R+ , et il vient
x
lim
=0
x+ (x)
· Si  > 1, en écrivant que pour tout x  R, x 6 x 6 x + 1, il vient par
croissance des fonctions  et x 7  x (car  > 1)
x > 2
Cela fournit

 x 6  x+1
x > 2

et

(x) >  (x)

x
 x+1
6
(x)
 (x)

0<

Or,  (x) = (x - 1)!, donc par croissances comparées il vient,
x
=0
x+ (x)
lim

Ainsi,

 > 0

x =

o

x+

(x)

Le résultat obtenu n'a rien d'étonnant. En effet, il est déjà connu quand
on se restreint à une limite pour x  N, la factorielle l'emportant sur toute
puissance d'un réel. Comme la fonction  d'Euler généralise la factorielle aux
nombres réels, la comparaison obtenue est naturelle au sens où elle englobe
la comparaison séquentielle.
Par définition, et comme  > 0,
 x-1
Z +
(x)
t
-1
-t
=

e
dt
x

0
Après le changement de variable u =
(x)
=
x

Z

t
, l'égalité devient

+

e -u ux-1 du

0

La question fournit donc la limite en + de l'intégrale ci-dessus, à  > 0 fixé.