Centrale Maths 1 MP 2006

Thème de l'épreuve Problèmes asymptotiques relatifs à la longueur d'une ellipse
Principaux outils utilisés séries de Fourier, séries entières, équivalents, calcul matriciel

Corrigé

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n__>_ e......___... _ 8:95Ë5Ë ...ëä...

oeëw omäQ:OE - ÆOEÈoeQ oeÈoocoü

Notations et objectifs du problème

0 On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes a et b
(a>b>O), notée (anb) admet, dans un certain repère orthonormé, une
représentation paramétrique de la forme :

{x = a cost @)

y = b sint

(t décrit un segment de longueur 215 ).

? , . . . . , .
° 'ÎÉzn des1gne le C- espace vectoriel des fonctions continues sur IR, 2n- 
perm--
diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini
par :

(fig) = à flÎ(zfiÎg(t)dt.

' Pour le E 2 , n EUR IN et f E %)2n on rappelle les expressions des 
coefficients de
Fourier exponentiels et trigonométriques de f , utiles dans le problème :

1 ft _ 1 - 1 ft
Ck(f) : fi [_ f(t)e k tdt, an(f) : & f_fif(t)cos(nt)dt.
' Dans tout le problème r désignera un nombre réel appartenant à

l'intervalle ouvert 10, 1[ et f ,. l'élément de %}n défini par: tl----> ll 
--re"l

On désignera aussi par % l'ensemble des suites réelles (an)
tout entier naturel non nul n , la relation :

n > 0 vérifiant, pour

r(2n+3)a --(l+r2)2nan+r(2n--3)a

n+l n--l"

et % r le sous--ensemble de % constitué des suites (an) telles que le rayon de
convergence de la série entière de terme général anzn soit au moins égal à 1 .

0 Dans tout le problème (on)
_ (271)
on : -----L-- pourtout nEIN.
4"(2n _ 1)
(Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter C'Ën le coefficient 
binomial).

n 2 0 sera la suite réelle définie par :

° La partie entière du réel x est notée [x] .

° L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation JE ne sera
prise en considération que lorsque 2 est un nombre réel positif.

' L'objectif du problème est l'étude de quelques problèmes asymptotiques rela--
tifs à la longueur, notée L(a. b) , de l'ellipse (Ea_ b) .

Partie I - Préliminaires

I.A - Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre t inter--
venant dans le paramétrage (1).

I. B- Prouver rapidement que /, et /
ciser la dimension de J.

,_ sont des R- espaces vectoriels et pré-

I.C - Donner sans démonstration l'énoncé précis du théorème de Parseval
relatif à un élément f E Y;,, (les coefficients de Fourier intervenant dans la 
for--
mule seront les coefficients exponentiels).

_ "
;
« --'

Si f et g sont deux éléments de _,, , prouver, en justifiant d'abord la conver-

gence absolue de la série, la formule:

(fig)_ " £O(f) + É b > 0 . On pose r : Zlî .
Exprimer, en fonction de a , b et de constantes, le réel î(Î}.b)' .
0 r

Partie II - Comportement asymptotique de la suite (a,,(f,))

II.A - Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme géné--

ral ocnz" . On notera f(z) sa somme dans le disque ouvert complexe de centre 0
et de rayon R .

II.B - Soit x un réel appartenant à l'intervalle ouvert ]--R, RI, . Donner une 
rela--

tion entre (1 -- x) f '(x) et f (x) . En déduire une expression simple de la 
restriction
de f a l'intervalle ouvert ]--R, R[ .

II.C -- On choisit maintenant un complexe 2 tel que lzl  00 :

2 n
A/1--r r
[ 3/2 '

TEÏL

En quoi-ce résultat corrobore-t--il votre cours sur les séries de Fourier ?

an(fr)--

Partie III - Approximation de L(a, b)

HLA - Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satis-
faite par f ,.. En déduire que la suite (an( f r)) appartient à $,...

III.B - Pour tout réel rE ]0,1[, on définit deux suites (An(r))nzû et (Bn(r))
par : '

nzO

A0(r) ='1,B0(r) : O,Ai(r) = --%(1+r2),Bl(r) : 1

et les relations de récurrence, valables pour n a 2 : ,

_ 2n(l+rfl) 2n-+1

An") - mAn--l(r>--(zn_5)An--ZW
_ 2n(l+rg) 2n-+1

En... - mBn--llr)"(zn_5)Bn--2W

on définit également, pour n 2 1 , la matrice M n(r) par :

2n+3
A (T') -- A _ (T')
" 2n--3 "'
Aln(r) :
Bn(r) _2n+3Bn_l(r)

2n--3

Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que 
cela
leur paraîtra utile, les expressions An(r), Bn(r), Mn(r),par An, Bn, Mn .

Pour n a 1 , déterminer une matrice Tn , dont les coefficients dépendent de n et
r , telle que pour toute suite (an) appartenant à % on ait :

an--l
an

Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant 
en

argument l'entier n et retournant an, An, Bn ; ao, al et r seront considérés

comme des variables globales. Montrer que, pour tout entier ne l, on a:
Mn : M n--1T

nzO

n .

an

En déduire le produit matriciel M n( ) indépendamment de n

an+l

III.C - Soit (un)n EIN une suite réelle telle qu'existént une suite (en) tendant
vers 0 , un réel 1 , un réel le E JO, 1[ et un entier N vérifiant :

Vn >ÎV, --l

un--ll sklu

n--l +8n

Montrer que lim un : [.
n-->oc

III.D - Prouver que :
a0(fr)

l--r2

n-->oe

lim Anan(fr) :

Que dire de la suite de terme général Bnan( f ,.) lorsque n tend vers l'infini 
'?

a--b

\ a + b '
A l'aide des questions ILE et III.D, démontrer que la suite (ln) définie par :

III.E - Soient a et 1) deux réels tels que a > b > 0 . On pose r :

"> 3/2

l() : (a+b)n(l --r')

,)

ll : l0(1+"--) converge vers L(a, b).

r2(2n+ 1)(2n--3)

ln : (1+r2)ln--'_---ÂÎ(n_--l)_--_Z"_Ï

Partie IV - Étude de % et de %r

IV.A - Soit (an)n 2 0 un élément de % . Prouver l'égalité :
a1An--aan : a det Mn '

n+l

IV.B - Calculer det Tn puis det Mn . Donner un équivalent de det M n .

IV.C - Préciser la dimension et une base de %r. Soit (an) un élément de %
qui n'appartient pas à $,... Déterminer un équivalent simple de an lorsque

n ._ä oe .

ooo FIN ooo

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Centrale Maths 1 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Ismaël Soudères (ENS Cachan) ; il a été relu par Jean
Starynkévitch (Professeur en CPGE) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce problème est centré sur l'étude de la longueur d'une ellipse. En cherchant
à approcher cette longueur à l'aide d'une suite, on étudie la suite des 
coefficients
de Fourier d'une fonction fr 2-périodique ainsi que les propriétés d'un 
sous-espace
vectoriel de l'ensemble des suites réelles. Le problème est découpé en quatre 
parties.
· La première partie a pour objectif d'obtenir divers résultats utiles pour la 
suite
du problème. D'une part, il s'agit de vérifier que les espaces qui interviennent
dans le problème sont des espaces vectoriels. On y démontre une expression
du produit scalaire dans C2 en fonction des coefficients de Fourier. D'autre
part, un lien est établi entre la longueur d'une ellipse et le premier 
coefficient
de Fourier de la fonction t 7- |1 - reit | où r est défini à partir des 
longueurs
des axes de l'ellipse.
· Le but de la deuxième partie est d'étudier le comportement asymptotique de
la suite des coefficients de la fonction fr . Pour cela, une fonction 
auxiliaire f
définie par une série entière est utilisée. Après avoir fait le lien entre f et 
fr , les
coefficients de Fourier de cette dernière sont exprimés à l'aide des 
coefficients
intervenant dans le développement en série entière de f .
· L'objectif de la troisième partie est d'approcher la longueur d'une ellipse 
par
une suite récurrente. On commence par déterminer comment se traduit 
matriciellement la relation de récurrence vérifiée par les coefficients de 
Fourier de fr .
Ensuite, à l'aide d'une suite auxiliaire, une suite récurrente calculable (en ce
sens que les premiers termes sont « simples ») convergeant vers la longueur de
l'ellipse est exhibée.
· Enfin, la dernière partie revient sur l'espace des suites réelles 
satisfaisant la
même relation de récurrence que celle vérifiée par la suite des coefficients de
Fourier de fr . C'est un espace vectoriel de dimension 2. La suite tend vers 0
très rapidement en vertu des questions de la deuxième partie. Ce comportement
est, en fait, exceptionnel : parmi les suites de cet ensemble, les coefficients 
de
Fourier de fr sont les seuls (à multiplication de la suite par un scalaire près)
dont la valeur absolue ne tend pas vers +.
Ce problème comporte quelques passages assez délicats dans les preuves de 
convergence. Il impose de bien maîtriser tous les aspects de la théorie des 
séries de Fourier
d'un point de vue tant analytique que préhilbertien. Quelques équations 
différentielles
et du calcul matriciel jalonnent aussi le problème. Notons que les questions 
II.E, III.D
et III.E sont particulièrement difficiles.

Indications
I.A Une ellipse est l'image d'un cercle par une affinité.
I.B Montrer que Sr et Br sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel 
des
suites réelles.
1
I.C Utiliser le fait que |cn (f )cn (g)| 6 (|cn (f )|2 + |cn (g)|2 ) ainsi que 
l'identité de
2
polarisation |z1 z2 | = |z1 + z2 |2 - |z1 + z2 |2 + i|z1 + iz2 |2 - i|z1 - iz2 
|2 et son
équivalent hermitien.
I.D Utiliser la parité et le caractère réel de fr .
I.E Calculer | ((t)|, puis montrer que
a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t) =

(a + b)2
1 + r2 - 2r cos(2t)
4

II.A Utiliser la règle de d'Alembert.
II.B Commencer par calculer n+1 /n .
II.C Utiliser la question précédente, ainsi que le développement de Taylor d'une
série entière.
II.D Utiliser la question précédente.
II.E Pour la première partie utiliser z z = |z|2 . Ensuite il faut interpréter 
le produit sous l'intégrale comme un produit scalaire et utiliser la question 
I.C.
Puis, calculer les coefficients de Fourier d'une série entière. Enfin, utiliser 
le
théorème de convergence dominée et obtenir la convergence des intégrales.
II.F Utiliser les questions I.D et II.E puis la formule de Stirling.
III.A Utiliser z z = |z|2 . Calculer la dérivée de fr et enlever les racines 
carrées au
dénominateur. Multiplier l'équation par sin(nt) et intégrer.
III.B Utiliser la relation vérifiée par un élément de Sr .
III.C Il faut itérer la relation et faire apparaître une série convergente. 
Ensuite, en
deux étapes, il s'agit de trouver un rang assez grand à partir duquel on a
|un - l| < Cte
III.D Utiliser dans un premier temps la question III.B, puis se servir de la 
question II.F pour obtenir an+1 = an (r + o(1)). Enfin calculer la différence
|(1 - r2 )An+1 an+1 - a0 |
et se ramener à la question précédente.

III.E Montrer que (a + b)(1 - r2 ) An n rn = ln . Déterminer la limite de An n 
rn
à l'aide de la question précédente. Enfin, conclure à l'aide de la question I.E.

1
an
An a0
IV.A Vérifier et utiliser l'égalité Mn
=
.
0 an+1
B n a1
IV.B Utiliser la question précédente.
IV.C Utiliser la question IV.A avec a0 = 0 et a1 = 1. Il faut ensuite 
déterminer un
équivalent de An à l'aide des questions III.D et II.F. Trouver alors une suite
particulière de Sr qui n'est pas dans Br . Pour la seconde partie, décomposer
un élément de Sr sous la forme (un ) + (vn ) avec (un ) et (vn ) bien choisis.

I. Préliminaires
I.A Le point M(t) de coordonnées (x(t), y(t)) = (a cos t, b sin t) est le point 
courant
de l'ellipse dans sa représentation paramétrique donnée par (1). C'est également
la transformée du point M0 (t) = (a cos t, a sin t) du cercle de centre 0 et de 
rayon a
(formant un angle orienté t avec l'axe des abscisses) par l'affinité 
orthogonale d'axe Ox
(l'axe des abscisses) et de rapport b/a.

M0 (t)
b
M(t)
t

a

I.B Montrons que Sr est un espace vectoriel. Il est pour cela judicieux de 
montrer
qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles. Soient 
(an )nN
et (bn )nN dans Sr et   R. Posons pour tout n  N, cn = an + bn . Il s'agit de
montrer que la suite (cn )nN est dans Sr . Soit n  N . On a alors :
r(2n + 3)an+1 - (1 + r2 )2nan + r(2n - 3)an-1 = 0
et

r(2n + 3)bn+1 - (1 + r2 )2nbn + r(2n - 3)bn-1 = 0

En ajoutant la première égalité à la seconde multipliée par , on obtient
r(2n + 3) cn+1 - (1 + r2 ) 2n cn + r(2n - 3) cn-1 = 0
Ceci étant vrai pour n  N arbitraire, (cn )nN = (an + bn )nN est dans Sr . Sr 
est
donc un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles, et en 
particulier :
Sr est un espace vectoriel.
Montrons que Br est un sous-espace vectoriel de Sr , ce qui montre en 
particulier
qu'il s'agit d'un espace vectoriel. Soient (an )nN un élément de Br et   R. Soit
+

f (z) =

P

an z n

n=0

la série entière de rayon de convergence R > 1 définie par la suite (an )nN . 
Alors la
série entière z 7- f (z) a un rayon de convergence égal à R. La suite (an )nN
est donc dans Br . De même, si (bn )nN est un autre élément de Br définissant 
une

série entière g(z) de rayon de convergence R > 1, la série entière z 7- f (z) + 
g(z)
a un rayon de convergence R0 > Min (R, R ) > 1 et donc la suite (an + bn )nN est
dans Br . Br est donc un sous-espace vectoriel de Sr , en particulier :
Br est un espace vectoriel.

On a utilisé ici le fait que l'ensemble des séries entières est un espace 
vectoriel.
Montrons que Sr est de dimension 2. L'application  qui envoie une suite (an )nN
de Sr sur le couple (a0 ; a1 ) dans R2 est linéaire. Elle est surjective car la 
relation
de récurrence définit bien une suite pour toutes les valeurs de a0 et a1 
possibles.
Soit (an )nN  Sr tel que a0 = 0 et a1 = 0. Montrons que la propriété P(n) : an 
= 0
est vraie pour tout n > 2.
· P(2) : calculons a2 :
a2 =

1
(1 + r2 )a1 + ra0 = 0
5r

· P(n - 1) et P(n) = P(n + 1) : supposons que la propriété P(k) soit vraie
pour k = n - 1 et k = n. On a alors :
an+1 =

1
n(1 + r2 ) an + r(2n - 3) an-1 = 0
r(2n + 3)

c'est-à-dire que P(n + 1) est vraie.
· Conclusion : P(n) est vraie pour tout n > 2.
Comme a0 = a1 = 0, (an )nN est la suite nulle. Nous en déduisons que  est 
injective.
Comme  est surjective, on en conclut que :
dim(Sr ) = 2
La surjectivité et l'injectivité sont nécessaires pour obtenir la bijectivité et
donc l'égalité des dimensions. On ne peut pas utiliser un argument utilisant
l'égalité des dimensions tant qu'on n'a pas montré cette égalité.

I.C

Théorème de Parseval : Pour toute fonction f de C2 , la série
de terme général |cn (f )|2 converge et
Z
+
P
1 
2
2
2
|f (t)|2 dt = c0 (f ) +
cn (f ) + c-n (f )
2 -
n=1
ce que l'on écrit parfois, de manière un peu abusive, sous la forme
Z
+
P
1 
2
2
|f (t)| dt =
|cn (f )|
2 -
n=-

Soient f et g deux fonctions de C2 . Montrons que la série de terme général
cn (f )cn (g) + c-n (f )c-n (g) converge absolument. Pour tout n  Z, on a 
l'inégalité

1
|cn (f )cn (g)| 6
|cn (f )|2 + |cn (g)|2
2