Centrale Maths 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Solutions d'équations différentielles et études de fonctions définies par une intégrale
Principaux outils utilisés suites de fonctions, séries de Fourier et polynômes interpolateurs de Lagrange

Corrigé

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% Ë... _ m...:QÈËEË ëä...

.ÊQN ooeäQ:OE - ÆOEÈOEO mÈQËQU

\r\lu.l).n. | . L\V\I.l.lvll

Dans tout le problème 1 désigne un intervalle non majoré de IR.
Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle
Ef= y'--y+f(x) = 0
où f est une application continue définie sur I et à valeurs réelles ou 
complexes.

On verra que l'espace des solutions contient une solution ['1 ayant un compor-
tement particulier en +00 .

Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place 
l'appli-
cation (D: f +---> f1 dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent 
diverses
propriétés de la fonction f et sont largement indépendantes.

Les symboles IR et C désignent respectivement les corps des nombres réels et
des nombres complexes.

Partie I - Étude d'un premier exemple

I.A- Pour xe IR, montrer l'existence et donner la valeur des expressions
suivantes :

+c>o _ +oo _
exJ e tcost dt, exJ e tsint dt
x x '

I.B - On considère l'équation différentielle
y'--y+cosx=0, xe IR
Déterminer une fonction Y0 bornée et une fonction g telles que la solution 
géné--

rale sur IR de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme
YÀ(x) : Àg(x) + Yo(x) , Où ?» EUR IR

Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différen-
tielle y' --y + sinx : 0 .

I.C - Soit H le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans
l'espace vectoriel des fonctions de IR dans IR, c'est-à-dire l'ensemble des 
fonc-
tions de la forme

x l---> occosx + Bsinx

où oc et B sont des nombres réels. Pour tout f G H , on définit f1 par la 
formule

Vx & IR, f1(x) : exJ+oee_tf(t)dt

I.C.1) Montrer que la transformation f |--> f1 définit une application
(I) :HeH. La linéarité de (D étant considérée comme évidente, donner la
matrice de (D dans la base de H constituée des fonctions cosinus et sinus.

I.C.2) On munit H de la norme

IlfIloo = SUP lf(x)l

erR

Déterminer une constante la > 0 telle que, pour tout f EUR Il , on ait

ufllloe5knfuoe

Pour f e H, on définit par récurrence la suite ( f n)
tout ne ]N', fn+1 = 'D(fn)-

nelN* où f1= CD(f) et pour

Étudier l'existence de la limite de cette suite relativement àla norme définie 
sur
H et déterminer la valeur de cette limite.

Partie II - Étude d'un deuxième exemple

On donne, pour x > 0 , l'équation différentielle

1
'-- +--=0.
y y x

II.A - Montrer qu'il existe sur l'intervalle J0+oe [ une unique solution Yo 
bornée
quand se tend vers l'infini et exprimer Yo(x) sous forme d'une intégrale.

Quelle expression donner àla solution générale Ya , où x & IR , l'indexation 
étant
telle que pour ?» = 0 , on ait la solution bornée Yo ? Étudier le comportement 
de
Y,(x) lorsque x tend vers () par valeurs positives.

On note %;, la courbe représentative de la solution Y,.

II.B - Pour tout point m(x ) du demi-plan x > 0 , on note Ym la solution de

m'ym

l'équation vérifiant Ym(xm) : ym et %m sa courbe représentative.

H.B.1) Déterminer l'ensemble % des points m tels que Y'm (xm) : 0. Même
question pour l'ensemble f des m tels que Y"m(xm) : 0 . Donner sans démons-
tration une interprétation géométrique pour chacun des ensembles % et f .

II.B.2) Quelle est la place de la courbe %0 représentative de la solution Yo
par rapport aux courbes % et QÎ '?

00 --t
(on pourra faire des intégrations par parties sur Y0(x) : exf e--t--dt ).
X

II.B.8) Tracer sans explication sur un même dessin des ébauches des courbes

% , .Î , %0 , %M , %M ,ou 7*1 et M sont des réels respectivement négatif
et positif.

Partie III - La transformation c1>

On suppose maintenant que I est un intervalle ouvert de la forme ]a, + oo[ , a
pouvant être égal à --oo .

Dans le C-espace vectoriel %0(1, @) des fonctions continues sur I à valeurs
complexes, on considère le sous--ensemble

8={f la...--:La, lim f...:o}

x++oo x°'

Autrement dit, 8 est l'ensemble des fonctions f négligeables en + oo devant une
certaine fonction puissance x r--> ac°t (oc dépendant de f).

III.A - Montrer que 8 est un sous-espace vectoriel de %O(l , @)

Étant donné f EUR EUR et x e I , on considère l'équation différentielle
Efï y'--y+f(x) = 0

III.B - Montrer que E f admet une unique solution f1 & EUR définie par la 
formule

Vxe 1R,f1(x) = exfoee_tf(t)dt.

On définit l'application (I): 8 + EUR par (D( f ) : f1 ; elle est évidemment 
linéaire.

III.C - Soit (I)" la composée n fois de (I) avec elle-même. Pour f EUR 8, on 
pose
fn : ° f1

est--elle injective ? Montrer que l'image de (D est l'ensemble des applications
1
ge % (I. @) telles que ge EUR et g'e 8.

Partie IV - Fonctions bornées

Soit % l'espace des fonctions continues bornées sur IR à valeurs complexes.

% étant un sous espace vectoriel de EUR (défini au III), l'application (D est
définie sur % . '

IV.A - Montrer que pour tout ;" e% , l'équation différentielle E f a une unique
solution bornée f1 .

IV.B - On munit % de la norme
Hfll.. = Sllp{lf(t)l,îfEUR IR}

L'application (D est--elle continue pour cette norme ?

IV.C - Soit 3 (resp. % ) le sous-espace de % des fonctions ayant une limite
(resp. une limite nulle) en +oo, % le sous--espace des fonctions constantes.
Montrer que % et % sont des sous-espaces supplémentaires de $ .

Montrer que ces sous--espaces sont stables par (I) .

IV.B - Montrer, à l'aide du HID, que pour tout f e 3 , la suite ( f n) converge
uniformément sur tout intervalle [a, +oe[ vers une constante que l'on précisera
(couper l'intervalle d'intégration en exprimant que f a une limite en +00 ).

IV.E - Montrer que l'application linéaire CD: f +--> f] est une injection de % 
dans
le sous-espace des fonctions bornées de classe C1 sur [R.

L'application x +--> sin(x2) est--elle dans l'image de CD ? Préciser l'image de 
(I).

Partie V - Fonctions périodiques

Soit @ l'espace des fonctions continues 27t -périodiques.

V.A - Montrer que pour tout ;" e @ , l'équation différentielle E f a une unique
solution périodique f1 .

Cette fonction f1 est-elle somme de sa série de Fourier ?
V.B - Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexes 0 k( f ) et 
c k( f 1) ?

V.C - Soit @@ le sous-espace des f EUR @ dont la valeur moyenne
27t
Co(f) = à]Û f(t)dt

est nulle et % le sous--espace des fonctions constantes. Montrer que @@ et %
sont des sous-espaces supplémentaires de @ .

Montrer que pour tout ;" e @ ,la suite ( f n) converge uniformément sur IR vers
une constante que l'on précisera.

V.D - Montrer que l'application linéaire CI) : f l--à f1 est une bijection de @ 
sur le

. , . . 1
sous-espace fil des fonct10ns 2n-per10d1ques de classe C .

V.E - On considère sur @ et @] les normes N1 et N 2 suivantes :

Zn , 27I 2
N1(f) = JO 1f(t>ldt. N2(f) = /jÛ If(t)l dt

Les applications CD et (I)--1 sont--elles continues pour la norme N1 ? Même 
ques-
tion pour la norme N 2 .

Partie VI - Fonctions polynomiales

Soit d un entier naturel et Wd le C-espace vectoriel de dimension d + 1 des
fonctions polynomiales de IR dans C à coefficients complexes de degré inférieur
ou égal à d .

VI.A - Soit une famille & : (ë0, ëd) de d + 1 nombres réels distincts. Pour tout
f & .ÿÿd , on pose

Në = sup \f<ë.-->1

OSi£d

Montrer que c'est une norme sur Wd .

VI.B - Soit une suite de fonctions polynomiales de Wd

d d--l
xi-->fn(x)=adnx +ad_lnx +...+a0n

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite ( ;" n) converge simplement sur @,
(ii) la suite ( f n) converge uniformément sur tout compact de (L',

(iii) il existe d + 1 nombres réels distincts &... ëd tels que, pour tout indice
0 S i sd , la suite (fn(&i)) converge.

(1V) chacune des d + 1 su1tes numer1ques (ai, n)n EUR 1N' pour () s i s d 
,converge.

VLC - Pour tout f e Wd , montrer que l'équation différentielle E f a une uni-
que solution f1 : CD(f) dans Wd.

On note encore (1): f r--> f 1 ; (D est considéré ici comme un endomorphisme de

f%"@d .

VI.D - Pour f fonction polynomiale de degré d, on forme la suite de fonctions

polynomiales ( ;" n) où fn : "( f ) . Cette suite vérifie-t--elle les 
conditions équiva-
lentes de VI.B ?

ooo FIN ooo

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Centrale Maths 1 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à 
l'Université) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et 
Thomas Chomette
(Professeur en CPGE).

Cette épreuve propose d'étudier des solutions g de l'équation différentielle
g - g + f = 0

Ef

où la fonction f est donnée. Les deux premières parties concernent l'étude de 
cas
particuliers lorsque la fonction f est connue explicitement, et les parties 
suivantes
étudient des solutions lorsque f appartient à des espaces vectoriels 
particuliers.
· En fin de première partie, on introduit une suite de fonctions, qui sera vue 
dans
la suite de l'énoncé comme un cas particulier.
· La deuxième partie aboutit à la vérification de propriétés géométriques des
solutions.
· La troisième partie élargit le sujet : f appartient à l'ensemble des fonctions
négligeables devant une fonction puissance lorsque x tend vers l'infini.
· Dans les dernières parties, on traite le cas des fonctions bornées, 
périodiques
puis polynomiales.
La difficulté de ce problème est progressive et les questions s'enchaînent 
assez bien.
Notons tout de même que les questions III.C, IV.D et V.E sont assez délicates. 
Enfin,
une question relativement classique et délicate apparaît en fin d'énoncé sur 
les suites
de fonctions polynomiales de degré constant. Il est donc intéressant de prêter 
une
attention particulière à la résolution de cette question.

Indications
Partie I
I.B L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 
est un
espace affine.
I.C.1 Calculer l'image par  des fonctions cos et sin.
I.C.2 Déterminer
 la boule unité de , puis démontrer que la norme de l'application
2
 vaut
. En déduire la limite de la suite de fonctions.
2
Partie II
II.A S'inspirer de la formule intégrale donnée en I.A.
II.B.1 Remarquer que Ym est solution de Ef .
II.B.3 Utiliser les propriétés géométriques trouvées dans la question 
précédente pour
tracer convenablement les courbes C .
Partie III
III.B Décrire toutes les solutions de Ef pour conclure.
III.C Commencer par démontrer que la suite (fn )nN est définie. Expliquer 
ensuite
pourquoi la dérivée de la limite de (fn )nN est nulle.
III.D Faire un raisonnement par récurrence en utilisant l'équation 
différentielle
vérifiée par f1 .
III.E Pour montrer la surjectivité de , trouver un antécédent à tout élément de 
C 1.
Partie IV
IV.C Revenir à la définition de la limite pour démontrer que L0 est stable par .
IV.D Utiliser le résultat de la question III.D pour démontrer que la suite de 
fonctions
(fn )nN converge vers la limite de f en +.
Partie V
V.B Exprimer les coefficients de Fourier de f1  en fonction de ceux de f1 et
utiliser Ef .
V.C Utiliser l'expression des coefficients de Fourier des fonctions gn = fn - 
c0 (f )
et majorer la norme infinie de chaque fonction gn .
V.E Démontrer que  est continue pour N1 et N2 . Chercher un contre-exemple
pour -1 .
Partie VI
VI.B Utiliser les polynômes interpolateurs de Lagrange.
VI.C Faire un raisonnement par récurrence pour démontrer la stabilité de F Pd
par .
VI.E Démontrer que la suite des coefficients (ad-1,n )nN diverge.

I.

Étude d'un premier exemple

I.A Remarquons tout d'abord que
|e-t cos t| 6 e-t

t  R

et

|e-t sin t| 6 e-t

t  R

Comme la fonction t 7 e-t est intégrable sur R+ et que les fonctions t 7 e-t 
cos t
et t 7 e-t sin t sont continues sur R, on peut conclure que
Les deux intégrales convergent sur tout intervalle [ x ; + [.
Pour calculer explicitement les deux fonctions
Z +
x
x  R F(x) = e
e-t cos t dt
et

G(x) = e

x

x

F(x) + iG(x) = e

+

e-t sin t dt

x

on calcule la valeur de la fonction F + iG,
x  R

Z

x

Z

+

e(i-1)t dt

x

1+i
2
ce qui permet de conclure que les expressions proposées valent

On trouve alors

x  R

x  R

F(x) =

F(x) + iG(x) = eix

cos x - sin x
2

et

G(x) =

cos x + sin x
2

(1)

I.B En dérivant la fonction F précédente, on trouve que F = -G. Ainsi,
x  R

F(x) - F (x) = F(x) + G(x) = cos x

Par conséquent, F est une solution de l'équation différentielle proposée. De 
plus,
on remarque que F est bornée, car
x  R

|F(x)| =

cos x - sin x
61
2

On peut donc prendre comme solution de l'équation différentielle y  - y + cos x 
= 0
la fonction Y0 , bornée, suivante :
Z +
cos x - sin x
x
x  R
Y0 (x) = e
e-t cos t dt =
2
x
Les solutions de l'équation différentielle homogène associée sont les x 7 ex ,
avec  réel. Pour respecter les notations de l'énoncé, il suffit alors de poser
x  R

g(x) = ex

pour conclure que la solution générale sur R de cette équation différentielle 
est de la
forme
x 7- ex + Y0 (x)
De manière tout à fait similaire, on démontre que les solutions de l'équation 
différentielle y  - y + sin x = 0 sont de la forme
x 7- ex +

cos x + sin x
2

I.C.1 L'application  est bien définie sur , plan vectoriel engendré par les 
fonctions
cos et sin, car si f s'écrit comme une combinaison linéaire de ces deux 
fonctions,
f =  cos + sin, on a
x  R

|f (x)| 6 | cos x +  sin x| e-x 6 (|| + ||)e-x

et la fonction x 7 (|| + ||)e-x est bien intégrable sur R+ .
La linéarité de l'application  étant considérée comme évidente, il reste à 
démontrer que  est stable par . Par linéarité de , il suffit de vérifier que 
l'image d'une
base de  appartient à , ce qui découle en réalité de (1) :
(cos) =

cos sin
-
2
2

et

(sin) =

cos sin
+
2
2

L'application  est linéaire de  dans .
En outre, la matrice de  dans la base (cos, sin) du plan  est

1 1 1
M()(cos, sin) =
2 -1 1
Remarquons que la matrice M()(cos, sin) est inversible, ce qui assure que la
restriction de l'application  à  est elle-même inversible.
I.C.2 L'application  est un endomorphisme de l'espace vectoriel  muni de
la norme k · k . Donnons-nous une fonction réelle f dans , elle s'écrit
x  R

f (x) =  cos x +  sin x

Si l'on note  l'angle de [ 0 ; 2 [ vérifiant

cos  = p
2 +  2

on a

x  R

On en conclut que
En outre,

sin  = p
2 +  2

et

f (x) =

kf k =

p
2 +  2 cos(x - )
p
2 +  2

(f ) = (cos) + (sin) =

et par conséquent,

k(f )k =

s

+
2

+
-
cos +
sin
2
2

2

+

-
2

2

2 +  2
2
soit encore
k(f )k =
=
kf k
2
2

2
La norme subordonnée de  vaut donc
et le meilleur choix pour k demeure
2

2
kk = k =
2
r