Centrale Maths 1 MP 2002

Thme de l'preuve Analyse numrique
Principaux outils utiliss polynmes, sries de fonctions, sries entires, sries de Fourier, espaces vectoriels norms
Mots clefs approximation par des polynmes, polynmes de Tchebychev, interpolation de Lagrange, espace fonctionnel

Corrig

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MA Sujets 2()()2:Bon  tirer:MP Math ] -- 9.09.()1--5 version du 26 mars 2002 
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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 1 MP 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par Jean Starynkvitch (ENS Cachan) ; il a t relu par
Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) et ric Ricard (Enseignant-chercheur 
l'Universit).

Ce sujet tudie certains espaces de fonctions (sur un intervalle compact) qui 
sont
des limites de suites  rapidement convergentes  de polynmes. Le but du 
problme
est de donner une caractrisation de ces fonctions  l'aide de types de 
rgularit
mieux connus (notamment  tre de classe C  ).
 La premire partie est trs classique. Elle traite des polynmes de 
Tchebychev,
de leurs proprits les plus classiques, ainsi que de leurs proprits  
numriques . On y utilise les formules de trigonomtrie, ainsi que des 
rcurrences.
Il faut savoir la traiter rapidement.
 La deuxime partie utilise les rsultats de la premire pour donner des 
majorations explicites (en norme) des polynmes, ainsi que de leurs drives. 
Les outils utiliss sont lmentaires et cette partie est plus calculatoire que 
thorique :
le raisonnement type est une majoration et une tude de signe de polynmes.
Les polynmes interpolateurs de Lagrange interviennent.
 La troisime partie caractrise l'espace des fonctions f sur [ -1 ; 1 ] pour 
lesquelles il existe une suite (Pn )nN de polynmes (Pn tant de degr au plus 
n)
convergeant vers f et telle que la suite de terme gnral kf - Pn k soit 
dcroissance rapide. En particulier, on montre que cet ensemble concide avec
l'espace des fonctions de classe C  sur [ -1 ; 1 ]. On utilise dans cette 
partie les
sries de Fourier, ainsi que les sries de fonctions (sries de polynmes).
 La quatrime partie tudie les fonctions f pour lesquelles on peut trouver une
suite de polynmes (Pn )nN (Pn tant de degr au plus n) telle que la suite
(kf - Pn k )nN soit  dcroissance exponentielle. Les techniques utilises sont
les mmes que prcdemment, mais il faut y ajouter l'tude d'un dveloppement
en srie entire.
Dans l'ensemble, le sujet est assez classique et d'une difficult moyenne ; la 
longueur de l'nonc est elle aussi raisonnable : ce problme constitue donc 
une excellente
occasion de rviser.

Indications
Partie I
I.A.3 Utiliser la formule 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a - b).
I.B.2 Cette question peut se rsoudre de plusieurs manires. Si l'on prfre 
utiliser l'analyse relle, montrer d'abord qu'il suffit de vrifier l'galit 
pour
u  [ 0 ; Arcsin (1/n) ]. Une autre mthode consiste  montrer que
n-1
P i(-n+2p+1)u
sin(nu) = sin u
e
p=0

I.C.1 Effectuer une rcurrence, ou alors constater d'abord que le rsultat est 
dj
montr pour r  U = {z  C | |z| = 1}. . .
I.D.1 Ne pas oublier de montrer que Tn est solution de l'quation sur R tout 
entier.
I.D.2 Utiliser la formule de Leibniz, puis raisonner par rcurrence.
Partie II
II.A.2 Montrer que les deux membres sont gaux sur n + 1 points particuliers.
II.A.3 tudier le signe de Li en tudiant le signe de chacun des termes du 
produit
du dnominateur.
II.A.4 Utiliser la question I.C.2.b et le fait que P est gal  son interpol 
aux
points ai .
II.B Raisonner comme  la question II.A.
(k)

II.C.1 Calculer P .
II.C.2 Appliquer l'ingalit de la question II.B.2  P et x = 1.
II.C.3 Utiliser la question I.D.2.
Partie III
III.C.2
III.C.4
III.D.1
III.D.2
III.D.3

Remarquer que ck [L(Qk-1 )] = 0 et utiliser l'ingalit de Cauchy-Schwarz.
Utiliser la question III.A.1.
Utiliser la question III.C.2.
Utiliser la question III.C.4.
Vrifier les hypothses du principal thorme du cours tablissant la 
drivabilit de la somme d'une srie de fonctions (commencer par bien le 
mmoriser,
ce thorme est vraiment trs important), en utilisant la question III.C.3.
III.E.1 Utiliser la question III.A.3.
III.E.2 Utiliser la question III.C.4, en montrant au pralable que la suite des 
restes
d'une srie dont le terme gnral est  dcroissance rapide est elle-mme 
dcroissance rapide.
Partie IV

IV.A.1 Raisonner comme  la question III.E.2 pour un sens de l'quivalence et 
comme
 la question III.D.1 pour l'autre sens.
IV.B.2 Utiliser la question II.C.3 et dvelopper en srie entire le second 
membre de
l'ingalit.
IV.C Utiliser la question prcdente.
IV.D Utiliser la question prcdente, ainsi que la question III.E.
IV.E Considrer la srie de Taylor de f en 0.

Prliminaires
a Soient (n )nN une suite  dcroissance exponentielle, et r et M les constantes
intervenant dans la dfinition de cette dcroissance. Ainsi, pour k entier 
positif donn,
on a :
n  N

n nk 6 Mnk rn

Or (par croissance compare), la suite (nk rn )nN tend vers 0 et est en 
particulier
borne par une constante Nk . La suite (n nk )nN est donc borne par MNk , et 
ceci
pour tout entier naturel k. On a ainsi montr que (n )nN est  dcroissance 
rapide.
b Cas de E : remarquons d'abord que E n'est pas vide puisqu'il contient la
fonction nulle ; en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a 
bien 0  Cn [X]
1
pour tout n et, pour tout k et tout n, on a k0 - 0k 6 k .
n
Soient f et g deux fonctions de E . Il existe donc des suites de polynmes
(Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que des suites de rels (Mk (f ))kN et (Mk 
(g))kN
telles que, pour h  {f, g},
Mk (h)
k  N n  N
kh - Qn (h)k 6
nk
Fixons galement   C. Alors
k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + ||  kg - Qn (g)k
Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynme Qn (f + g) est bien dans Cn 
[X],
ceci pour tout n.
Cette dernire phrase permet au correcteur de se convaincre, ds le dbut du
problme, que votre copie est rigoureuse.
Mk (f ) + ||Mk (g)
nk
Donc, la suite (kf +g-Qn(f +g)k)nN est  dcroissance rapide et f +g appartient
 E , pour toutes fonctions f et g, et tout , donc :
kf + g - Qn (f + g)k 6

E est un sous-espace vectoriel de C ([ -1 ; 1 ] , C).
Cas de E exp : cet ensemble n'est pas vide puisqu'il contient la fonction nulle 
;
en effet, si l'on prend la suite nulle pour (Qn )nN , on a bien 0  Cn [X] pour 
tout n
et k0 - 0k 6 1/2n .
Soient f et g deux fonctions de E exp . Il existe donc des suites de polynmes
(Qn (f ))nN et (Qn (g))nN , ainsi que deux constantes M(f ) et M(g), et deux 
rels de
] 0 ; 1 [ r(f ) et r(g), tels que, pour h  {f, g} :
n  N

kh - Qn (h)k 6 M(h) r(h)n

Fixons galement   C. Alors
k(f + g) - (Qn (f ) + Qn (g))k 6 kf - Qn (f )k + ||kg - Qn (g)k

Posons Qn (f + g) = Qn (f ) + Qn (g). Le polynme Qn (f + g) est bien dans Cn 
[X],
ceci pour tout n. De plus,
kf + g - Qn (f + g)k 6 M(f )r(f )n + ||M(g)r(g)n
6 (M(f ) + ||M(g)) max(r(f ), r(g))n
Et, comme max(r(f ), r(g)) < 1, la suite (kf +g -Qn (f +g)k)nN est  
dcroissance
exponentielle. Ceci tant vrai quels que soient les fonctions f et g, et le 
complexe ,
il vient :
E exp est un sous-espace vectoriel de C ([ 0 ; 1 ] , C).
Inclusion entre les deux sous-espaces : si f est dans l'ensemble E exp , la 
suite
(kf - Qn (f )k )nN est  dcroissance exponentielle, donc (d'aprs la question 
a) 
dcroissance rapide et, en consquence, f appartient  E . Ainsi,
E exp  E
c.i Soit x fix dans [ -1 ; 1 ]. L'ingalit de Taylor-Lagrange nous donne :
f (x) -

n f (k) (0)
P
|x|n+1
kf (n+1) k
xk 6 kf (n+1) k
6
k!
(n + 1)!
(n + 1)!
k=0

de sorte que, si Qn (f ) =

n f (k) (0)
P
Xk , on a :
k!
k=0

kf - Qn (f )k 6

M
(n + 1)!

Il nous reste  montrer que cette ingalit permet de conclure que la suite
(kf - Qn (f )k )nN est  dcroissance exponentielle. Mais, par croissance 
compa2n
re, la suite de terme gnral
tend vers 0, donc est borne ; il en est de
(n +

1)!
kf - Qn (f )k
mme de la suite
, ce qui montre bien (avec r = 1/2) que la
(1/2)n
nN
suite (kf - Qn (f )k )nN est  dcroissance exponentielle.
c.ii
 La fonction exponentielle est un lment de E exp : en effet, quel que soit 
l'entier n, k exp(n) k = k exp k 6 e, donc le rsultat de la question prcdente
c.i s'applique.
 Toute fonction polynme P est un lment de E exp : en effet, la suite de ses
drives (P(n) )nN stationne  0, donc est uniformment borne, et le rsultat
de la question prcdente s'applique galement.
 Plus gnralement, toute fonction dveloppable en srie entire avec un rayon
de convergence strictement suprieur  1 est dans E exp (la preuve de cette
affirmation constitue la dernire question du problme).