CCP Maths 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Éléments propres de M ↦ AM-MA dans Mn(R)
Principaux outils utilisés calcul matriciel, réduction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012

MPM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
____________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

3p  1

p

n
3n+2012 - 9 × 52n

n
Mn (R)
1in

(Ei,j )
E i,j

n
1j n
i

In
j

R [X]
Mn (R)

A
P =

d
P

A
ak X k  R[X]

k=0

P  R[X]

P (A) =

d
P

ak A k

u

Rn
P (A)

k=0

R[A]

Tournez la page S.V.P.

P

P (A) = 0

A
A

P (u) = 0
u

A
Mn (R)

A

Mn (R)
A (M ) = AM - M A.
A
A

n=2
n=2
A
a b
c d

A=

I2
!

(A )

A
 M2 (R)

(E1,1 , E2,2 , E1,2 , E2,1 )

A

M2 (R)

A 6= 0

A 6= I2

R
A

A

(d - a)2 + 4bc > 0

A

A

Rn

c = (c1 , . . . , cn )
A
e = (e1 , . . . , en )
i

P

u
1  i  n i

c

(i, j)

1 0

 0
e D=

0 ···
1in 1jn

Bi,j = P Ei,j P -1 .

···

0

ei 
0

0 
n

(i, j)
Ei,j

i

DEi,j - Ei,j D

j
(i, j) Bi,j

A

A
A
Mn (R)
(Pi,j ) 1in

(i, j) i,j

A

1jn

Pi,j
A

A  Mn (R)  Mn (C)
A (M ) = AM - M A

Mn (C)

A
M  Mn (C)
A

zC

z
t

z

A

zC
t

A

z

z
X  Mn,1 (C) X =
6 0

A
AX = zX

Y  Mn,1 (C) Y 6= 0

AY = zY
A (X t Y )

z - z

A

A

AX = X

i,j

A

X  Mn,1 (R) X 6=

(i, j)
APi,j X = µi,j Pi,j X

µi,j

A

A
m

A
(In , A, . . . , Am-1 )
R [A]

(A )

R [A]
dim (

(A ))

Tournez la page S.V.P.

u
un-1 6= 0
1in

un = 0
i

y

(A )

v

Rn

ei = un-i (y)

(e1 , e2 , . . . , en )
B

n
un-1 (y) 6= 0

Rn
B

Rn

v(y) =

n
P

v=

i ei i  R)

i=1

n
P

i un-i

i=1

(A )
u
1 , 2 , . . . , p 1  p  n)
1  k  p Eu (k )

u
u

k
k

p

mk

B  Mn (R)
B
(A )
v

Rn

v

B
1  k  p Eu (k )

k
v (Eu (k ))  Eu (k )
(A )

B
R

v

n

u
(A )

n=7
p

mk

B  Mn (R), B =
6 0).

B

A
B

B
d

k  N A (B k ) = kB k
A (P (B))

P  R[X]

B
Bd = 0

XB - dB
B

 B

P  (B)
B

B

IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1233 ­ D'après documents fournis

A

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (ENS Cachan) ; il a été relu par
Jean Louet (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

L'énoncé se compose d'un court exercice et d'un problème à quatre parties.
· L'exercice propose d'étudier un problème de congruence modulo 11.
Le problème étudie l'endomorphisme :
(
Mn (R) - Mn (R)
A :
M 7- AM - MA
et en particulier son noyau, qui est le commutant de la matrice A. Notons que
A (M) = [A, M], où [·, ·] est le crochet de Lie. Les quatre parties peuvent 
être traitées
séparément mais il est préférable de les aborder dans l'ordre.
· Les deux premières parties proposent de montrer qu'une matrice réelle est 
diagonalisable si et seulement si A l'est. La première étudie le cas où A est 
une
matrice de taille 2, la seconde traite le cas général.
· La troisième partie est consacrée à l'étude du noyau de A : les polynômes en A
forment un sous-espace vectoriel de ce noyau ; si A est une matrice nilpotente
d'indice maximal, le commutant est exactement l'ensemble des polynômes en A.
· Dans la dernière partie, on montre qu'une matrice propre de A pour une valeur
propre non nulle est forcément nilpotente.
Ce sujet est plutôt facile et très classique, ce qui en fait un bon problème de 
révision
sur la réduction des endomorphismes et les matrices. Il requiert néanmoins une 
certaine dextérité dans les calculs : il convenait donc d'être particulièrement 
soigneux et
précis lors de la rédaction.

Indications
Exercice
1 Calculer tout simplement les premiers termes. Au moins jusqu'à 5...
Problème
Partie I
I.4 Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme 
caractéristique est scindé et si, pour chaque valeur propre, la dimension de 
l'espace
propre associé est égale à la multiplicité de la valeur propre en tant que
racine du polynôme caractéristique.
Partie II
t

t

t

II.7.a.iii La relation A Y = zY implique par transposition Y A = z Y.
II.7.b Les valeurs propres de A sont réelles, et pourtant 2i Im z = z-z 
appartient
au spectre...
II.7.c Remarquer que APi,j = A (Pi,j ) + Pi,j A.
II.7.d À partir de (Pi,j X)16i,j6n , extraire une base de vecteurs propres de A.
Partie III
III.8 (In , A, . . . , Am-1 ) est une base si et seulement si elle est libre et 
génératrice.
Si la famille n'est pas libre, on peut exhiber un polynôme annulateur de
degré inférieur à celui du polynôme minimal. La famille est génératrice
grâce à une division euclidienne par le polynôme minimal.
III.10.a Montrer que la famille est libre par récurrence.
III.10.b Il y a égalité entre deux endomorphismes s'ils prennent les mêmes 
valeurs
sur une base, par exemple la base (e1 , e2 , . . . , en ).
III.11.a Utiliser le lemme suivant pour deux endomorphismes f et g de Rn :
Si f  g = g  f alors g(Ker f )  Ker f .
III.11.c On trouve

p
P

mi 2 en analysant chaque bloc.

i=1

III.11.d Pour chaque valeur de p allant de 1 à 7, il faut dénombrer l'ensemble 
des
p-uplets (m1 , . . . , mp ) tels que
m1 6 . . . 6 mp

et

m1 + · · · + mp = n = 7

Partie IV
IV.12 Procéder par récurrence avec A (Bk+1 ) = (ABk )B - Bk (BA). Puis utiliser
l'hypothèse de récurrence A (Bk ) = kBk et AB - BA = B.
IV.13 La question précédente donne le résultat pour les monômes Xk .

IV.14 Montrer que XB
-dB est un polynôme annulateur. Que dire de son degré ?

IV.15 En utilisant la question précédente, montrer que B = Xd .

Exercice
1 Calculons 3p pour p variant de 1 à 5 en utilisant les propriétés des 
congruences :
3  3 [11]
32  9  -2 [11]
33  27  5 [11]
34  (32 )2  (-2)2  4 [11]
35  3 × 34  3 × 4  12  1 [11]
donc

5 est le plus petit entier naturel p non nul tel que 3p  1 [11].

2 Pour tout n  N, on a la suite de congruences :
3n+2012 - 9 × 52n  3n 32012 - 32 (52 )n
 32 (3n 35×402 - 25n )

2012 = 5 × 402 + 2

 32 (3n (35 )402 - 3n )
2

n

n

 3 (3 - 3 )

car 25  3 [11]
car 35  1 [11]

3n+2012 - 9 × 52n  0 [11]
Finalement,

3n+2012 - 9 × 52n est divisible par 11.

Comme pour 2, 5, 9 et 10, il existe un critère simple pour savoir si un nombre
est divisible par 11. Si n = ap . . . a1 a0 est l'écriture en base 10 du nombre 
n,
ap . . . a1 a0 

p
P

ai 10i 

i=0

Ainsi, 11 divise n si et seulement si

p
P

ai (-1)i [11]

i=0
p
P

(-1)i ai  0 [11]. Par exemple,

i=0

9281708403  3 + 4 - 8 - 7 + 1 - 8 + 2 - 9  -22  2 - 2  0 [11]
donc 9281708403 est divisible par 11.

Problème
I.

Étude du cas n = 2

I.1 Pour tout (M, N)  M2 (R)2 et tout   R,
A (M + N) = A(M + N) - (M + N)A
= AM - MA + (AN - NA)
A (M + N) = A (M) + A (N)
donc

A est une application linéaire.

De surcroît, A (I2 ) = A.I2 - I2 .A = A - A = 0 et A (A) = A.A - A.A = 0 donc
2

(I2 , A)  (Ker (A ))

En particulier, si A n'est pas une matrice scalaire, le noyau est au moins de 
dimension 2.
I.2 Pour donner la matrice de A dans la base E = (E1,1 , E2,2 , E1,2 , E2,1 ), 
il faut
expliciter chaque élément A (Ei,j ) dans la base E :

a b
1 0
1 0
a b
A (E1,1 ) =
-
c d
0 0
0 0
c d

a 0
a b
=
-
c 0
0 0

0 -b
A (E1,1 ) =
= cE2,1 - bE1,2
c 0

a b
0 0
0 0
a
A (E2,2 ) =
-
c d
0 1
0 1
c

0 b
0 0
=
-
0 d
c d

0 b
A (E2,2 ) =
= bE1,2 - cE2,1
-c 0

b
d

a b
0 1
0 1
a b
A (E1,2 ) =
-
c d
0 0
0 0
c d

0 a
c d
=
-
0 c
0 0

-c a - d
A (E1,2 ) =
= (a - d)E1,2 + cE2,2 - cE1,1
0
c