CCP Maths 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Quelques utilisations des projecteurs
Principaux outils utilisés projecteurs, exponentielle d'endomorphismes, polynômes d'endomorphismes, espaces euclidiens

Corrigé

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SESSION 2010 MPM2006

A

CONCOURS (OMMUNS POIYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* >|< *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce', il le signalera sur
sa copie et devra poursuivre sa composition en eapliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené
à prendre.

QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS

Notations et objectifs :

Dans tout le texte E désigne un R--espace vectoriel de dimension finie n > 1. 
On note id
l'endomorphisme identité de E, MAR) le R--espace vectoriel des matrices réelles 
carrées de
taille n.

Si E1 et E2 sont des sous--espaces vectoriels de E supplémentaires, 
c'est--à--dire E : El @ E2,
on appelle projecteur sur El parallèlement à EZ l'endomorphisme p de E qui, a 
un vecteur a:
de E se décomposant comme a: = 331 + 332, avec (331, 332) EUR El >< E2, associe 
le vecteur 331.

On rappelle que si A est une matrice de MAR), la matrice exponentielle de A est 
la matrice :
+oo Ak

exp(A) : Ü'
k=0 '

De même si u est un endomorphisme de E , l'exponentielle de u est 
l'endomorphisme :
+oo uk

exp(u) : --.
k=0 k!

1/4

SESSION 2010 MPM2006

A

CONCOURS (OMMUNS POIYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
* >|< *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce', il le signalera sur
sa copie et devra poursuivre sa composition en eapliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené
à prendre.

QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS

Notations et objectifs :

Dans tout le texte E désigne un R--espace vectoriel de dimension finie n > 1. 
On note id
l'endomorphisme identité de E, MAR) le R--espace vectoriel des matrices réelles 
carrées de
taille n.

Si E1 et E2 sont des sous--espaces vectoriels de E supplémentaires, 
c'est--à--dire E : El @ E2,
on appelle projecteur sur El parallèlement à EZ l'endomorphisme p de E qui, a 
un vecteur a:
de E se décomposant comme a: = 331 + 332, avec (331, 332) EUR El >< E2, associe 
le vecteur 331.

On rappelle que si A est une matrice de MAR), la matrice exponentielle de A est 
la matrice :
+oo Ak

exp(A) : Ü'
k=0 '

De même si u est un endomorphisme de E , l'exponentielle de u est 
l'endomorphisme :
+oo uk

exp(u) : --.
k=0 k!

1/4

Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d'exponentielle 
de matrice a l'aide
de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable Dans 
la dernière
partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances 
a des parties.

Les quatre parties sont indépendantes.

I. Questions préliminaires

. . 0 1 0 0
l. 801t les matrices A -- 0 0 et B _ 1 0 .
Calculer exp(A), exp(B), exp(A) exp(B) et exp(A + B) (pour exp(A + B), on 
donnera la
réponse en utilisant les fonctions ch et sh).

2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices 
A et B de
MAR) vérifient l'égalité exp(A) exp(B) : exp(A + B).

II. Un calcul d'exponentiefle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas
diagonalîsable

Soit A E Mn(lR) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont :
À1<À2<"'<À...
où 7° désigne un entier vérifiant 1 { 7° { n.

3. Polynôme interpolatcur de Lagrange : on note IRT_1[X] le R--espace vectoriel 
des polynômes
a coefficients réels de degré inférieur ou égal a 7° -- 1.

On considère l'application linéaire çb de RT_1[X] dans IR" définie par :
P '_> (P(À1),P(À2),. ' ' 7P(À7'))'

Déterminer le noyau de çb, puis en déduire qu'il existe un unique polynôme L de 
IRT_1[X] tel
que pour tout 7 EUR {I, . . . ,7°}, L(Ài) : eÀ'L'.

4. Pour 7' EUR {I, . . . ,7°}, on définit le polynôme ZZ- de RT_1[X] par :

" X--Àk
k=1 " '"
k7£75

(a) Calculer Zi(Àj) selon les valeurs de 7' et j dans {l, . . . ,7°}.

(13) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des 
polynômes

ZZ- avec 7 EUR {l,...,7°}.
5. Une propriété de l'emponcntz'cllc : soit P une matrice inversible de MAR) et 
D une matrice
de MAR).

(a) Justifier que l'endomorphisme de MAR) défini par M |--> PM P_1 est une 
application
continue.

(13) En déduire que :

exp(PDP_l) : Pexp(D)P_l.

2/4

Déduire des questions 3. et 5. que exp(A) : L(A).

On suppose que E est munie d'une base 13 et on désigne par ?} l'endomorphisme 
de E dont la
matrice par rapport a B est A. Soit A une valeur propre de v, et a: un vecteur 
propre associé.
Démontrer que pour tout polynôme P E R[X], on a :

P(v)(a:) : P(À)æ.

Soit 2' EUR {1, . . . ,7°}, on note E, : Ker(v -- À,-- id) le sous--espace 
propre de ?} associé a À,--.
(a) Démontrer que l'endomorphisme de E, p,-- : Z,-(v) est le projecteur sur E,, 
parallèlement

a @ E;, (on dit que les p,-- sont les projecteurs spectraux de v).
k = 1
k #75
(b) En déduire une expression de exp(A) comme une combinaison linéaire de 
matrices de
projecteurs.

III. Un calcul d'exponentiefle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, 
cas
non diagonalîsable

Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme minimal est (X -- 1)2(X -- 2).

9.
10.

11.
12.
13.

14.

15.

16.

L'endomorphisme u est--il diagonalisable ? Justifier la réponse.
Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de M3(R) dont 
l'endomorphisme
canoniquement associé a pour polynôme minimal (X -- 1)2(X -- 2).
Démontrer, sans aucun calcul, que E : Ker(u -- id)2 @ Ker(u -- 2 id).
On considère les endomorphismes de E : p = (u -- id)2 et q = u 0 (2 id --u). 
Calculer p + q.
Démontrer que l'endomorphisme p est le projecteur sur Ker(u -- 2 id), 
parallèlement a
Ker(u -- id)? Que dire de l'endomorphisme q ?
Soit {L' un élément de E.

(a) Préciser (u -- 2 id) (p(a:)).

(b) Déterminer un nombre réel oz tel que pour tout entier naturel k, uk @ p : 
oz""p.

(c) En déduire que exp(u) @ p : fip où @ est un réel a déterminer.
Que vaut pour tout entier [EUR > 2, (u -- id)'EUR 0 q?
Démontrer que exp(u) oq : yuoq où y est un réel a déterminer (on pourra écrire 
en justifiant
que exp(u) : exp(id) @ exp(u -- id) ).

Ecrire enfin l'endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u.

IV. Calcul de distances à l'aide de projecteurs orthogonaux

Dans cette artie on su ose en lus ue l'es ace E est muni d'un roduit scalaire < 
- - > ce
7 7 7
qui lui confère une structure d'espace euclidien. On rappelle que la norme 
euclidienne associée,

notée H - H, est définie par :
Va: E E, Ha:H : \/< a:,a: >.

Si F est un sous--espace vectoriel de E, on note F L son orthogonal, et on 
appelle projecteur
orthogonal sur F, noté 191: le projecteur sur F, parallèlement a F i.

Enfin, si a: est un vecteur de E, la distance euclidienne de a: a F, notée 
d(a:, F) est le réel :

d<æ. F) = inf{Hæ -- yH \ y e F}.

3/4

17.

18.

19.

20.

Théorème de la projection orthogonale : soit F un sous--espace vectoriel de E 
et a: un vecteur
de E. Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer d(a:, F) a 
l'aide du
vecteur pF(a:).

Cas des hyperplan5 : soit n un vecteur non nul de E et H l'hyperplan de E 
orthogonal a
n, c'est a dire H : (Vect {n})% Exprimer pour a: E E, la distance d(a:, H) en 
fonction de
< a:,n > et de Un....

Une application : dans cette question uniquement, E : M,,(R) muni de son 
produit scalaire
canonique : si A et B sont dans M,,(R), en notant Tr la trace,

< A, B > : Tr('AB).

Enfin on note H l'ensemble des matrices de M,,(R) dont la trace est nulle.

(a) Justifier que H est un hyperplan de M,,(R) et déterminer H i.
(b) Si M est une matrice de M,,(R), déterminer la distance d(M, H).

Et pour une norme non euclidienne ? Dans cette question E = R2 est muni de la 
norme infinie
notée NOO : si a: : (331,332) EUR R2, Noe(a:) : max{loefl, 13:21}. On pose F : 
Vect{(1,0)} et
a: = (1, 1). Déterminer la distance «infinie» du vecteur a: a F, c'est--à--dire 
le réel :

doe<æ. F) = inf{Noe
			

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CCP Maths 2 MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en 
CPGE).

Ce sujet porte sur le thème très classique de l'utilisation des projecteurs 
pour le
calcul d'exponentielle de matrice et d'endomorphisme, puis pour le calcul de 
distances
dans le cadre euclidien. Les quatre parties sont indépendantes à une exception 
près :
la partie III utilise un critère demandé dans la partie I.
· Les questions préliminaires en première partie servent à se fixer les idées et
à rappeler que les propriétés de l'exponentielle réelle ou complexe ne sont pas
transportées telles quelles dans Mn (R).
· La deuxième partie propose d'exprimer l'exponentielle d'une matrice 
diagonalisable comme combinaison linéaire de matrices des projecteurs spectraux.
La démarche consiste à écrire l'exponentielle comme un polynôme en la matrice
en s'appuyant essentiellement sur les polynômes interpolateurs de Lagrange et
sur la continuité d'applications linéaires en dimension finie. Une bonne 
connaissance du cours de réduction permet ensuite de relier l'écriture 
polynomiale de
l'exponentielle avec les projecteurs spectraux de l'endomorphisme associé à la
matrice considérée.
· La troisième partie se concentre sur le calcul de l'exponentielle d'un 
endomorphisme non diagonalisable dont on connaît le polynôme minimal. L'idée
principale tient dans l'écriture de l'espace vectoriel comme somme directe de
sous-espaces qui sont spécifiquement choisis en fonction du polynôme minimal.
En considérant les deux projecteurs associés à cette somme directe de 
supplémentaires, on parvient à calculer l'exponentielle de l'endomorphisme.
· La dernière partie propose de calculer dans un espace euclidien la distance
entre un vecteur et un sous-espace vectoriel. Le sous-espace en question est
un hyperplan dont l'orthogonal est connu, ce qui permet un calcul explicite très
simple. Puis en dernier lieu, on s'intéresse au cas d'un espace non euclidien.
Ce sujet est abordable et faisable dans le temps imparti. C'est un très bon
problème d'entraînement pour s'assurer que l'on maîtrise bien les outils 
incontournables du programme que sont les projecteurs, les théorèmes de 
diagonalisation et
la théorie des espaces euclidiens.

Indications
Partie I
1 Calculer A2 et B2 puis conclure en factorisant A2 et B2 dans Ak et Bk pour
tout entier k > 2.
2 Se souvenir que l'anneau (Mn (R), +, ×) n'est pas commutatif.
Partie II
3 Penser à calculer les dimensions de l'espace de départ et de celui d'arrivée.
4.b Remarquer que (li )i[[ 1 ; r ]] est une famille libre de Rr-1 [X].
5.a L'espace Mn (R) est de dimension finie.
5.b Écrire l'exponentielle de PDP-1 comme une limite et utiliser la continuité 
de
l'application introduite à la question 5.a.
6 Comme A est semblable à D diagonale, montrer en premier lieu que
exp(D) = L(D)
7 Vérifier la propriété demandée sur les monômes Xk avec k entier et en déduire
le cas général.
r
M
8.a Écrire la décomposition d'un vecteur x dans la somme directe
Ek .

8.b Utiliser les résultats des questions 6 et 8.a.

k=1

Partie III
9 Examiner les multiplicités des racines du polynôme minimal.
10 La matrice triangulaire de M3 (R) recherchée possède nécessairement une 
valeur
propre double et la dimension du sous-espace propre associé n'est pas égale à 2.
11 Les polynômes (X - 1)2 et (X - 2) sont premiers entre eux.
13 Décomposer un vecteur x de E dans la somme directe obtenue à la question 11.
14.a Utiliser les règles de composition de polynômes d'endomorphismes
P(u)  Q(u) = (PQ)(u)
14.c Écrire l'exponentielle de u comme une limite et utiliser la continuité de 
la
composition dans L (E) v 7 v  p.
15 Décomposer u = id +(u - id ) et utiliser le critère rappelé à la question 2.
Partie IV
16 Faire apparaître l'identité et invoquer le résultat de la question 12.
18 Remarquer que id -pF = pF .
19.a Vérifier que la trace n'est pas l'application nulle puis remarquer que
 A  Mn (R)

Tr (In A) = Tr (A)

19.b Utiliser le résultat de la question 18.
20 Penser à l'unicité donnée par le théorème de projection orthogonale.

I. Questions préliminaires
1 Un simple calcul donne A2 = 0 et B2 = 0. Pour tout entier k > 2, les écritures
factorisées Ak = Ak-2 × A2 et Bk = Bk-2 × B2 permettent d'en déduire
Ak = 0 et Bk = 0
Ainsi, dans les séries qui définissent exp(A) et exp(B), tous les termes 
d'exposant
supérieur ou égal à deux sont nuls d'où exp(A) = I2 + A et exp(B) = I2 + B.
Par suite,

1 1
1 0
2 1
exp(A) =
,
exp(B) =
et exp(A) exp(B) =
0 1
1 1
1 1
Notons C = A + B. On trouve que C2 = I2 et pour tout entier k, on obtient
k
k
C2k = C2 = I2 et C2k+1 = C × C2 = C
Munissons Mn (R) de la norme d'application linéaire définie par
A  Mn (R)

kAk =

kAXk
XMn,1 (R)r{0} kXk
Sup

qui garantit que pour tout (A, B)  Mn (R)2 , on a
kABk 6 kAk × kBk
Il en résulte que, pour tout entier k,
kC2k k
kCk2k
6
(2k)!
(2k)!
Or, les séries numériques

P kCk2k
(2k)!

et
et

kC2k+1 k
kCk2k+1
6
(2k + 1)!
(2k + 1)!
P kCk2k+1
(2k + 1)!

sont convergentes puisqu'on reconnaît les développements en série entière 
respectifs
de ch kCk et sh kCk dont les rayons de convergence sont infinis. Ceci implique 
la
convergence dans Mn (R) des séries
P C2k
(2k)!

et

P

C2k+1
(2k + 1)!

Selon la parité de l'entier k, en notant [x] la partie entière de x, on a les 
égalités

C2×[k/2]
si k pair
k
C =
C2×[k/2]+1 sinon

En notant rk le reste de la division euclidienne de k par 2, c'est-à-dire 0 si 
k pair
et 1 sinon, il vient
Ck = (1 - rk ) × C2×[k/2] + rk C2×[k/2]+1

Il s'ensuit, par linéarité du signe somme dans le cas de séries convergentes 
combinée
à un changement d'indice,
P Ck
k=0 k!
+

exp(A + B) =

+

=

P 1
(1 - rk ) × C2×[k/2] + rk C2×[k/2]+1
k=0 k!

+
P C2k+1
P C2k
+
k=0 (2k + 1)!
k=0 (2k)!
 +

 +

P 1
P
1
=
I2 +
C
k=0 (2k)!
k=0 (2k + 1)!
+

=

exp(A + B) = ch (1) I2 + sh (1) C
Ainsi,

exp(A + B) =

ch (1) sh (1)
sh (1) ch (1)

À l'issue de ces calculs, on constate que, contrairement à ce qu'on pourrait
penser, la relation
exp(A) exp(B) = exp(A + B)
avec A et B des matrices de Mn (R) est fausse en général alors que cette égalité
vaut pour l'exponentielle réelle et l'exponentielle complexe. Cette différence
tient au fait que l'anneau (Mn (R), +, ×) n'est pas commutatif et permet
d'appréhender le critère attendu pour la question suivante.
2 Une condition suffisante sur les matrices A et B pour satisfaire
exp(A + B) = exp(A) exp(B)
est que le produit des deux matrices commute, c'est-à-dire
AB = BA
Bien que la démonstration ne soit pas exigée, avoir une certaine idée du
mécanisme de la preuve permet de se souvenir efficacement de la condition des
matrices qui commutent. En effet, si A et B commutent, le calcul de (A + B)k
qui intervient dans le terme général de l'exponentielle exp(A+B) peut se faire
par la formule du binôme et permet alors de démontrer l'égalité attendue.