CCP Maths 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Étude et utilisation des matrices compagnon
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, déterminants, changements de base, réduction des endomorphismes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2001 MP006

A

CONCOURS (0MMUNS POlYÏECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n°99--186 du 16/11/99.

UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON

Notations et définitions :

Dans tout le problème K désigne lRä ou (C et n est un entier naturel.

. . , . . ... 1
SI u est un endomorph1sme d un K-espace vectoriel E, on note u0 = sz et Vne N, 
u"+ = u 0 u .

On note KH [X] la K-algèbre des polynômes de degré inférieur ou égal à n, 7%" 
(K) la K--algèbre
des matrices carrées de taille n à coefficients dans K de matrice unité I" et 
GL " (K) le groupe des

matrices inversibles de 7%" (K) ; les éléments de 7%" (K) sont notés M = (m,. 
]) .

Pour une matrice A de 776" (K), on note 'A la transposée de la matrice A, rg(A) 
son rang,

)(A = det(A -- X I") son polynôme caractéristique et Sp(A) l'ensemble de ses 
valeurs propres.

Si P = X " +a...X""' +...+alX +a0 est un polynôme unitaire de K" [X] on lui 
associe
() O . . 0 -- ao
l 0 . . O --- al
. 0 l 0 . 0 -- (17
la matr1ce compagnon C ,. = " EUR 7%}, (K).

0.010 --a,,_2
O . . 01 --a"_]

(c'est-à--dire la matrice C,. = (c,--j) est définie par c,-j =l pour i--j=1, Cm 
=_ai--l et Cij :D

dans les autres cas).
Les parties II. III. et IV. utilisent les résultats de la partie I. et sont 
indépendantes entre elles.

Tournez la page S.V.P.

l\)

1. Propriétés générales

Dans cette partie on considère le polynôme P = X " +a X "' +...+a1X +a0 de K" 
[X] et C ,, sa

n--l

matrice compagnon associée.

1. Montrer que C,, est inversible si et seulement si P(O) # O.

2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice C P et déterminer une 
constante k telle que
la = k P.

3. Soit Q un polynôme de K" [X], déterminer une condition nécessaire et 
suffisante pour qu'il

existe une matrice A de 7%" (K) telle que ;(A = Q .

4. On note 'CP la transposée de la matrice C P .
a. Justifier la proposition : Sp(C,.) =Sp(' C,.) .
b Soit  élément de Sp(' C P) , déterminer le sous--espace propre de [CP 
associé à À .

c. Montrer que 'C,. est diagonalisable si et seulement si P est scindé sur K et 
a toutes ses
racines simples.

d. On suppose que P admet n racines /'L1, /12, À" deux à deux distinctes, 
montrer que 'C,.
est diagonalisable et en déduire que le déterminant de Vandermonde

1 l . . l
>... 7.2 . . x,,
7L12 7t22 . . k,,2 est nonnul.
}Lln--l À2l'l--l . . knit--]

5. Exemples :

a. Déterminer une matrice A (dont on précisera la taille n) vérifiant :
A2002 = A2001 + A2000 +1999 In .

b. Soit E un K--espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E 
vérifiant:
f "" $ 0 et f " = O ; montrer que l'on peut trouver une base de E dans laquelle 
la matrice
de f est une matrice compagnon que l'on déterminera.

11. Localisation des racines d'un polynôme

Soit A = (a....) une matrice de 7%" (C), on pose pour tout entier 1.<. i S n :

Il
r,. =Zlaij' et D; = { zEC, z'Sri}.
[=]
X]
262
Pour X = EUR 7%" 1(@), on note HX" =max x,. \.
_ " °° 1.<.iSu
x"
xl

. x7 ., \
6. 801t Àe Sp(A) et X = ' un vecteur propre assooee a À.

X

Il

Montrer que pour tout entier 1 S i S n : 'À x,.| S nl.X"æ .
7. Démontrer que Sp (A) c ÜDk .
[(=]

X ""1 + ...+ a1X + a() un polynôme de C[X], établir que toutes les racines de
, l+'a,,_ll }.

8. Soit P=X"+a

P sont dans le disque fermé de centre 0 et de rayon R = max{ lao

n--l

,l+|al ,l+la2

9. Application :

Soit a, b, c et d quatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que 
l'équation
d'inconnue n :

/ -- /
n" +n) =n' +n'

n'admet pas de solution sur N\{O,l }.

III. Suites récurrentes linéaires

On note E :(}N l'espace vectoriel des suites de complexes et si u est une suite 
de E, on écrira u(n)

à la place de un pour désigner l'image de n par M.

On considère le polynôme P = X " + a X "" +...+a0 de  À" est élément de 
F.

11. Soit ça l'application de F vers @" définie par : u l--> (u(0), u(1),..., u( 
p -- l)), montrer que ça est
un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de F ?

12. Pour tout entier 0 S i S p --l on définit les éléments e,. de F par :

e,(i)=l et, lorsque OSjSp--l et j;éi, e,.(j)=0.
a. Déterminer pour OSiS p--l, e,.(p).

b. Montrer que le système de vecteurs (eo, e, e })_1) est une base de F.

p--l
c. Soit u un élément de F, établir que u : Zu(i)e, .
[:O

13. Si M est un élément de E, on définit l'élément f(u) de E par : f(u) : n 
l--> u(n+ 1). Montrer
que l'application f ainsi définie est un endomorphisme de E et que F est stable 
par f.

14. Si g est l'endomorphisme de F induit par f, montrer que la matrice de g 
dans la base
(eo,el,...,ep_,) est 'C,,.

15. On suppose que P admet p racines non nulles et deux à deux distinctes : 
À... /"L] , À {,_1 .

a. Déterminer une base de F formée de vecteurs propres de g.

b. En déduire que, si u est élément de F, il existe des constantes complexes 
ko, k......, k

telles que : Vne N, u(n) : kOÀS + klÀf' +...+ k ÂÏ)--1°

p--l

p--1

16. Exemple : (On revient àla notation usuelle un)

Soit a , b et c trois réels distincts.
Déterminer une base de l'espace vectoriel des suites définies par u0 ,ul et % 
et par la relation

de récurrence valable pour tout ne N :

Lt,,+3 = (a +b+c) un+2 -- (ab+ac+bc) u + abc un .

n+l

IV. Matrices vérifiant : rg(U -- V) = 1

Dans cette partie, pour une matrice A, on notera C A la matrice compagnon du 
polynôme (----l)" 95 A .

17. Une matrice A est-elle nécessairement semblable à la matrice compagnon CA ?

Pour tout couple (U, V) de matrices de GL" (K), on considère les deux 
propositions suivantes,
que l'on identifie chacune par un symbole :

(*): rg(U--V)=l

(**) : Il existe une matrice inversible P telle que U : P_'CUP et V : P"CVP.
18. Montrer qu'un couple (U, V) de matrices distinctes de GL " (K) vérifiant 
(**) vérifie (*).

19. Déterminer un couple (U, V) de matrices de GL2 (K) (n = 2) vérifiant (*) 
mais ne vérifiant

pas (**) et déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes Xu et Xv .

Dans la suite de cette partie, (U, V) est un couple de matrices de GL " (K) 
vérifiant (*) et tel que

)(U et xv sont deux polynômes premiers entre eux.

Soit E un K--espace vectoriel de dimension n et de base B, on désigne par u et 
v les

automorphismes de E tels que U (respectivement V) soit la matrice de u 
(respectivement v) dans la
base B.

Enfin on pose H= Ker (u -- v) .

20. Montrer que H est un hyperplan vectoriel de E. '

21. Soit F # {0} un sous--espace vectoriel de E stable par u et par -v 
c'est--à--dire :
u(F)CF et V(F)CF.

On notera u F (respectivement vF ) l'endomorphisme induit par u (respectivement 
v) sur F.
On rappelle que ){uF d1v1se %" .

a. Montrer que F n'est pas inclus dans H.

b. On suppose que F # E , montrer que F + H = E puis que l'on peut compléter 
une base
B F de, F par des vecteurs de H pour obtenir une base B' de E. En utilisant les 
matrices de u

et v dans la base B' montrer que l'on aboutit à une contradiction.

c. Quels sont les seuls sous--espaces stables à la fois par u et par v '?
22. Pourje N, on note G_, = {xe E, 14 " (x) EUR H}.

a. Montrer que les sous-espaces G]. sont des hyperplans vectoriels de E.

b. Montrer que ñGi # {0}.
'=0

Tournez la page S.V.P.

6

n--?.

c. Soit y un vecteur non nul de HG}. , on pose pour 0 5 j 5 n --l : ej : uj (y).
j=o '

Montrer que B" : (eo, el, ..., e ) est une base de E.

n--l

(On pourra considérer F =vect{y, u(y), u""(y)} où p est le plus grand entier 
naturel

non nul pour lequel la famille (y, u(y), u""' (y)) est libre).
d. Montrer que la matrice de u (respectivement v) dans B" est C U 
(respectivement Cv) .

e. Conclure.

23. Application :

Soit u et v deux automorphismes d'un K--espace vectoriel E de dimension n 
vérifiant :
rg(u--v) =l, xu(X) : (--1)"(X" +1) et xï_(X) : (--l)"(X" --l).

En utilisant une action de groupe, montrer que le groupe engendré par u et v 
est fini de
cardinal inférieur ou égal à (Zn) !.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par Yacine
Dolivet (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Le sujet propose une étude des matrices compagnon.
On étudie dans la première partie la diagonalisabilité de ces matrices. Ensuite,
on utilise celles-ci pour donner, dans la deuxième partie, une localisation des 
racines
d'un polynôme, puis pour l'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre p 
(dans la
troisième partie). La quatrième partie, plus difficile, propose une brève étude 
des
couples (U,V) de matrices vérifiant rg (U - V) = 1.
Ce problème fait un large tour d'horizon des notions d'algèbre linéaire au 
programme et permet de revoir plusieurs raisonnements classiques dans ce 
domaine.

Indications
Partie I
1 Calculer det CP .
2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon, ou bien 
effectuer
l'opération sur les lignes L1  L1 + X L2 + X2 L3 + ... + Xn-1 Ln .
4.d Utiliser la question 4.c pour montrer que la matrice est diagonalisable, 
puis
utiliser la question 4.b.
5.a Utiliser la question 5.a et le théorème de Cayley-Hamilton.
5.b Choisir y tel que f n-1 (y) 6= 0 et montrer que (y, f (y), ..., f n-1 (y)) 
est une base.
Partie II
8 Utiliser la matrice compagnon associée à P.
9 Les cas n > 2 s'éliminent grâce à la question 8 et le cas n = 2 s'élimine à la
main.
Partie III
12.b Utiliser 

-1

.

15.a Utiliser la question 10.
16 Remarquer que P(X) = (X - a)(X - b)(X - c).
Partie IV
18 Montrer que Cu - Cv est de rang 1.
19 Comme le suggère la suite de l'énoncé, il faut choisir le contre-exemple de 
manière à ce que l'on ait pgcd (u , v ) 6= 1 et il est bien sûr préférable de 
choisir
des matrices diagonales.
21.a Raisonner par l'absurde, en supposant que F  H et en montrant qu'on a alors
u |v , donc un diviseur non trivial commun à u et v .
F

21.b À l'aide des matrices de u et de v dans une base B' suggérée par l'énoncé,
construire un diviseur non trivial commun à u et v .
22.b Choisir i telles que Gi = Ker i et appliquer le théorème du rang à
x  (0 (x), 1 (x), . . . , n-2 (x))
22.c Montrer que Vect (y, u(y), ..., up-1 (y)) est stable par u et v.
23 Considérer l'ensemble E, à 2n éléments, constitué des vecteurs ei de la base
trouvée à la question précédente ainsi que des vecteurs -ei . Faire alors agir 
le
groupe engendré par u et v sur cet ensemble de la manière g.e = g(e). Montrer
que cette action est fidèle et en déduire que le groupe engendré par u et v
s'injecte dans S2n .
On peut également se passer d'action de groupe. Il suffit de remarquer que le
groupe engendré par u et v est inclus dans le groupe
G = {  GLn (K)   Sn (ei ) = e(i) ou - e(i) }
puis de calculer le cardinal de G.

I.

Propriétés générales

1 En développant le déterminant de CP par rapport à la première ligne, on voit 
que
det CP = (-1)n+2 a0 .
Une autre méthode consiste à regarder le rang de la matrice : si CP est 
inversible,
alors la première ligne est non nulle, donc P(0) est non nul. Réciproquement, 
si P(0)
est non nul alors les n - 1 premières colonnes de CP sont libres, et la 
dernière colonne
n'est pas combinaison linéaire des n - 1 premières, puisque la première 
coordonnée
de celles-ci est nulle et que la première coordonnée de la dernière colonne est 
non
nulle. On en déduit que
CP est inversible si et seulement si P(0) 6= 0.
2 En effectuant l'opération sur les lignes L1  L1 + XL2 + ... + Xn-1 Ln , on 
obtient :
0
0
... 0
-P(X)
1 -X . . . 0
-a1
..
..
..
. .
0
1
.
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
0 . . . . . . 1 -an-1 - X
En développant par rapport à la première ligne, on en déduit
CP = (-1)n P
On aurait pu également raisonner par récurrence, d'autant plus que le résultat
était quasiment donné par l'énoncé. Cette méthode est bien sûre juste, mais
elle est plus longue à rédiger, ce qui devient handicapant dans une épreuve
en temps limité.
3 Condition nécessaire : si A  Mn (K) alors on sait que son polynôme 
caractéristique est de degré n et que son terme de plus haut degré est (-1)n .
Réciproquement, supposons que P soit un polynôme de degré n, et que son terme
de plus haut degré soit (-1)n . Alors il s'agit du polynôme caractéristique de 
C(-1)n P .
t

4.a CP et CP ont même polynôme caractéristique, car
t

t

det(CP -  id ) = det( ( CP -  id )) = det( CP - id )
On en déduit

  sp(CP )
  sp(CP )

 CP () = 0
  t () = 0
CP
t
   sp( CP )

sp(CP ) = sp( t CP )

d'où
4.b Soit   sp(CP ).

(x1 , . . . , xn )  Ker (CP -  id ) 

(

26i6n

xi = i-1 x1
P() x1 = 0

On en déduit

Ker (CP -  id ) = K (1, , . . . , n-1 )
t

4.c Supposons CP diagonalisable. Alors CP est scindé sur K, et
t

L

E=

Ker ( CP - id )

t

sp( CP )

donc

t

P

n = dim(E) =

sp(

t

dim(Ker ( CP -  id ))

CP )
t

Or, d'après la question précédente, pour tout   K, dim(Ker ( CP - id )) 6 1.
t
Nécessairement, CP admet n valeurs propres distinctes ; P admet donc n racines
distinctes, soit n racines simples.
t
Réciproquement, si P est scindé à racines simples, alors CP admet n valeurs
t
propres distinctes, donc CP est diagonalisable. On en déduit bien que
t

CP est diagonalisable si et seulement si P est scindé à racines simples.

4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs
t
propres de CP exprimée dans la base canonique, donc, d'après la question 4.b, 
il est
non nul.
Le déterminant de Vandermonde est un résultat classique, qu'il vaut mieux
connaître. On a en fait :
Vdm(a1 , . . . , an ) =

 (aj - ai )

i