CCP Maths 1 MP 2015

Thème de l'épreuve Autour du théorème de Weierstrass
Principaux outils utilisés suites et séries de fonctions, convergences simple et uniforme, loi de Poisson
Mots clefs Weierstrass, convergence uniforme, Bernstein

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2015 MPMA102

.:|=_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites \

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE I.

1.1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre À > 
0. Déterminer sa
fonction génératrice, puis en déduire son espérance et sa variance.

EXERCICE II.

On note 1 = ]O, + oo[ et on définit pour n entier naturel non nul et pour x E I 
, fn(x) : e_"x -- 2e_2"x .

11.1. Justifier que pour tout entier naturel non nul n, les fonctions fn sont 
intégrables sur I et calculer

fo fn(x)dx. Que vaut alors la somme Z ( [) fn (x)dx) ?
1

n:

1/4

11.2. Démontrer que la série de fonctions 2 fn converge simplement sur I . 
Déterminer sa fonction
1121

+00 +00
somme S et démontrer que S est intégrable sur I . Que vaut alors / (Z fn(x)) dx 
'?
0 n=l

--[--00
11.3. Donner, sans aucun calcul, la nature de la série Z ( / ] fn (x) ]dx).

1121
PROBLEME.

Toutes les fonctions étudiées dans ce problème sont à valeurs réelles. On 
pourra identifier un poly-
nôme et la fonction polynomiale associée.

On rappelle le théorème d'approximation de Weierstrass pour une fonction 
continue sur [61,19] : si
f est une fonction continue sur [61,19], il existe une suite de fonctions 
polynômes (Pn) qui converge
uniformément vers la fonction f sur [61,19].

Le problème aborde un certain nombre de situations en lien avec ce théorème qui 
sera démontré dans

la dernière partie.

Partie 1. Exemples et contre-exemples

]
III.1. Soit il la fonction définie sur l'intervalle ]O,l] par: Vx EUR ]O,l] , x 
v--> --.
x

Expliquer pourquoi il ne peut être uniformément approchée sur l'intervalle 
]O,l] par une suite de
fonctions polynômes. Analyser ce résultat par rapport au théorème de 
Weierstrass.

III.2. Soit N entier naturel non nul, on note 9% l'espace vectoriel des 
fonctions polynômiales
sur [61,19], de degré inférieur ou égal à N. Justifier que 9% est une partie 
fermée de l'espace des
applications continues de [61,19] dans R muni de la norme de la convergence 
uniforme.

Que peut-on dire d'une fonction qui est limite uniforme sur [61,19] d'une suite 
de polynômes de degré
inférieur ou égal à un entier donné '?

III.3. Cette question illustre la dépendance d'une limite vis-à-vis de la norme 
choisie.

Soit R [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soient N1 et 
N2 deux applications
définies sur R [X] ainsi:
pour tout polynôme P de R[X], N1 (P) = sup ]P(x)] et N2(P) : sup ]P(x)].
xEUR[--2,--l] xEUR[l,2]

III.3.a. Vérifier que N1 est une norme sur R [X]. On admettra que N2 en est 
également une.

III.3.b. On note f la fonction définie sur l'intervalle [--2,2] ainsi:
pour toutx EUR [--2, -- l], f(x) = x2, pour toutx EUR [--l,l], f(x) = l et pour 
toutx EUR [1,2], f(x) = x3.
Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [--2,2] et justifier 
l'existence d'une suite de

fonctions polynômes (Pn) qui converge uniformément vers la fonction f sur 
[--2,2].

2/4

Démontrer que cette suite de polynômes (Pn) converge dans R [X] muni de la 
norme N1 vers X 2 et
étudier sa convergence dans R [X] muni de la norme N2.

Partie 2. Application: un théorème des moments

III.4. Soit f une fonction continue sur [61,19]. On suppose que pour tout 
entier naturel k,

/b xkf(x)dx : O 55......05505
mo: 35 ...5 0558 50 3505050 5955959 50558 559...
_

......oCQ H 0 9 5059 859 0559 5958... 5... 5:+... @@ H 5=CQ + ... A5 | Ê=îô...v

------.5.5. 30559 550 ...5 0558 $; 005<9oe0 05955...95059 <090 ...0 350505 5 l 
/\w9 059 ......5589.
<5......0 Ë...:..

...----.5.5. ...U0305Q9 550 ...m 0558 Go...; 005<9æ0 555393095059 <090 ...5 
350505 5 _IV /\w 059 ......5589-
<5......0 ...o...:.

50550 5. U058508»505 55 300358 5555355550: 50 <<0...0509.000

05 5905000 5550 098 5950 550 5030593505 5900555508 55 309950 5...5559055955505 
50 <<0590-
99500 5059 550 350505 0055550 059 EUR... :.

...U550 858 098 5950... \ ... E...: lv ...W 009 550 350505 0055550... 5 55 
05509 5958... 505 55... 9 5 m È...:.
3
=

05 5000... oe......QXë H M... 5 59 A...V5Â... là...?» 950...555950 50 
...W0950855V.
Îo

...:.3. mo: %: 550 <5550...0 509090 90050 05...<559 550 ...0... 5...5055m...0 
hmA5...ä.

_
------.È.oe. U0505î9 550... 5059 859 900... Q V o... 5 A_oe= | 55_ V 503 m 5 
Q....
5

------.Ë.v. mo: ...5 <9...55...0 509090 \ AV......5V... 5950599 0...50 005 
005095500 <0550...
...5OEzu533.
:....=.

--:.:.P m0: 0 V 9 550559 5358309 0...5......... 9508 0... V o 8... 0...50 5059 
9059 0055...0 î...3 m 6.........0...
_5l5_ m @ 055550 CÀ5... IÏS_ A m... 5550 953099 îÀË lïä ... 5059 9059 0559 5 
0590 o 9 5
85559 _... 15_ m @.

E.:.Ï=Ë...æ@ä M... @@ 190820: n V m 0__9__8À

03g

------.Ë.0. ...u950599 55......... 00508 55 0559 5958... 50 8... 0...50 5059 
85.... 5 N 50 9 859 900... 5 m 6... :...
_OE=CJ @... | \A5V_ m mm... 550 0050...590.

55 50 ......050500

53

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (ENS Cachan) ; il a été relu par
François Lê (ENS Lyon) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux exercices et un problème indépendants.
Le premier exercice est une question de cours à propos de la loi de Poisson.
Le deuxième traite un exemple de série de fonctions qui converge simplement mais
ne s'intègre pas terme à terme.
Le problème est constitué de quatre parties indépendantes autour du théorème
d'approximation de Weierstrass. De nombreux exemples et contre-exemples y sont
abordés.
· La première partie illustre la dépendance de la limite vis-à-vis de la norme
choisie dans un espace vectoriel normé de dimension infinie et traite un 
contreexemple du théorème d'approximation de Weierstrass lorsque l'ensemble de
définition n'est plus un segment.
· Dans la deuxième partie, on démontre un théorème des moments : si tous les
moments d'ordre k d'une fonction f continue sur [ a ; b ] sont nuls, 
c'est-à-dire si
Z b
k  N
xk f (x) dx = 0
a

alors f est identiquement nulle sur [ a ; b ]. On utilise ce résultat dans un 
cadre
préhilbertien puis on établit qu'il ne s'étend pas sur un intervalle quelconque.
· La troisième partie étudie la convergence d'une suite de polynômes définis 
grâce
à une suite récurrente.
· Enfin, la quatrième partie démontre le théorème d'approximation de 
Weierstrass via une méthode probabiliste, en utilisant les polynômes de 
Bernstein.
On peut retrouver cet exercice dans la première épreuve de mathématiques du
concours Mines-Ponts de la filière MP en 2015.
Ce sujet contient des exemples variés qui illustrent les théorèmes autour de la
convergence uniforme, ainsi que les limites de leur cadre d'application 
(segments,
intervalles). Il permet de s'approprier de manière solide ces notions de 
convergence
simple ou uniforme.

Indications
II.1 Comparer chaque terme à la fonction x 7- 1/x2 en +.
II.2 Trouver des sommes géométriques, simplifier la formule de S, effectuer le
changement de variable u = e x , puis une décomposition en éléments simples
pour calculer son intégrale.
II.3 Raisonner par l'absurde et appliquer le théorème d'intégration terme à 
terme.
III.1 Établir une contradiction à propos de la limite en 0 d'un polynôme qui
approcherait la fonction h uniformément sur ] 0 ; 1 ].
III.2 Un sous-espace de dimension finie dans un espace vectoriel normé est 
fermé.
III.3.a Un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul.
III.3.b Utiliser le théorème de Weierstrass. Montrer que la norme de la 
différence
tend vers 0.
III.4.a Utiliser la linéarité de l'intégrale.
III.4.b Montrer que l'intégrale de f 2 est nulle en l'obtenant comme une limite.
III.5 Interpréter le résultat de la question précédente comme une orthogonalité
dans l'espace préhilbertien donné.
III.6.a Comparer à une intégrale de Riemann, puis effectuer une intégration par
parties. Montrer la formule par récurrence.
III.6.b Utiliser sin x = Im (e ix ) pour x  R.
III.6.c Effectuer un changement de variable.
III.6.d Raisonner par l'absurde.
III.7 Étudier la fonction gx sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] puis la suite 
récurrente associée.
III.8 Penser à une bosse qui se déplace.
III.9.a Utiliser la question III.7.
III.9.b Appliquer le théorème de l'énoncé à la suite de fonctions (Pn )nN sur 
l'intervalle [ 0 ; 1 ].
III.10.a Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire 
Sn .
III.10.b Utiliser le théorème de transfert.
III.11.a Montrer l'uniforme continuité de f sur [ 0 ; 1 ].
III.11.b Montrer que les événements {Sn = k} pour les entiers k surlesquels la
Sn
-x > .
somme est indexée sont inclus dans l'événement
n
III.11.c Séparer la somme en deux termes, puis les majorer grâce aux questions
III.11.a et III.11.b.

Exercice I
I.1 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre  > 0.
Cette variable aléatoire admet donc une série génératrice de rayon supérieur ou 
égal
à 1, et étant à valeurs dans N, c'est par définition la somme de la série 
entière en la
variable t
P
P - k k
P - (t)k
P(X = k)tk =
e
t =
e
k!
k!
k>0
k>0
k>0
Cette série entière est de rayon de convergence infini, de somme
+

P

e -

k=0

(t)k
= e - e t
k!

Par conséquent, pour tout t  R,

GX (t) = e (t-1)
La fonction GX est dérivable en 1. Ainsi X admet une espérance et E(X) = GX (1).
Or, pour tout t  R, GX (t) = e (t-1) , d'où
E(X) = 
La fonction GX est deux fois dérivable en 1 donc X admet une variance. On a
GX (1) = E(X(X - 1)) = E(X2 - X) = E(X2 ) - E(X)
par linéarité de l'espérance. Ainsi,
V(X) = E(X2 ) - E(X)2 = E(X2 ) - E(X) + E(X) - E(X)2 = GX (1) + GX (1) - GX (1)2
Il faut savoir retrouver cette formule qui ne doit pas être écrite sur la copie
sans justification.
Or comme pour tout t  R, GX (t) = 2 e (t-1) , on en déduit V(X) = 2 +  - 2 = ,
c'est-à-dire
V(X) = 

Exercice II
II.1 Soit n  N . Comme la fonction fn : x 7- e -nx - 2e -2nx est continue
sur [ 0 ; + [, la fonction fn est intégrable au voisinage de 0. Lorsque x tend 
vers +,

1
1
-nx
-2nx
e
=O
et e
=O
car n > 0
2
x
x2
 
1
donc
fn (x) = O
x2

Comme la fonction x 7- 1/x2 est intégrable au voisinage de +, par comparaison
la fonction fn est intégrable au voisinage de +, d'où
Pour tout n  N , fn est intégrable sur I.

Z

On a

+

fn (x) dx =
0

Z

+

(e -nx - 2e -2nx ) dx

0

+
e -nx
e -2nx
-2
=
-n
-2n 0
1
1
= 0+ -0+2
n
-2n

Z
Ainsi,

Z

+

fn (x) dx = 0
0

+

et donc

fn (x) dx = 0

0

+ Z
X

n=1

+

0

fn (x) dx = 0

II.2 Soit x P
] 0 ; + [. Comme
> 0, e -x et e -2x sont dansP] 0 ; 1 [, donc les séries
P x
-x n
-x n
géométriques
(e ) et
(e ) convergent, ainsi que
fn (x) par linéarité.
Calculons sa somme
+

S(x) =
=
=

P

fn (x)

n=1
+
P

n=1
+
P

n=1

=
=
=
=

e -nx - 2e -2nx
n

(e -x ) - 2

+

P

n=1

e -2x

n

1
1
e
- 2e -2x
1 - e -x
1 - e -2x
1
1
- 2 2x
ex - 1
e -1
1
1
-2 x
ex - 1
(e - 1)(e x + 1)

1
1
1
-
2
ex - 1
ex + 1
-x

1 ex + 1 - 2
- 1 ex + 1
1
S(x) = x
e +1
=

ex

Étudions l'intégrabilité de la fonction S sur I = ] 0 ; + [. C'est une fonction 
continue
sur I, qui se prolonge par continuité en 0. Au voisinage de +,
 
1
S(x) = O
x2
Par conséquent, la fonction S est intégrable au voisinage de +. Ainsi,
P
La série de fonctions
fn converge simplement sur I vers
la fonction S, intégrable sur I, définie par S(x) = 1/(e x +1).