CCP Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Fonction zêta alternée de Riemann
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier
Mots clefs fonction zêta, polynômes de Bernoulli

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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s  t r rsr s st  qt s rss s tts q  été é
à rr

 ts 

 t F  t t tré   é r
F (x) =

+
X
(-1)n-1
n=1

nx

t   t t   é sr ]1, +[ r
(x) =

+
X
1
.
x
n
n=1

 rè rs  ét rsé  qqs rrétés  F t  
s à rt  rt  q ts s réstts   rt  s rts st s  très
r sr éts

 éértés

 étrr s  ét  F 
  sèr  st  ts (gn )n>1 és sr [0, 1[ r
gn (t) =

n
X

(-t)k .

k=0

étrr  t Zs g  (gn ) s  tst  térè  r é
1

trr q F (1) =

g(t) dt  ér  r  F (1)

0

 étrr q  sér  ts

n>1

ér  t  F  +

X (-1)n-1
nx

r rt sr [2, +[ 

érté  F

 t x > 0 tr s rts sr ]0, +[   t t 7
 st

résr

ln n
nx

ln t
t  ér q
tx

st t à rtr  rt r ét  x q 
n>1

 Pr n > 1  s fn : x 7

(-1)n-1

nx

 a st  ré strtt st étrr q  sér s érés

X

fn r

n>1

rét sr [a, +[
 ér q F st  t  ss C 1 sr ]0, +[

r r x > 1, F (x) - (x)  t  x t  (x)  ér q 
F (x) = (1 - 21-x )(x) .

Ps  ér  t    +

 Prt     sér tré r ê

 r q  rt     sérs

X
n>1

cn =

n-1
X

an t

X
n>1

bn st  sér

X

cn ù

n>2

ak bn-k  s tt rt  t étrr  tr s  r  x   sér

k=1

X
n>2

cn (x) rt   

X (-1)n
n>1

nx

r ê

tt ét  strr  t q  rt     sérs rts st s
éssrt  sér rt
s tt tt rt n és  tr sérr  é à  t x  ré strtt
st

t   r

 X
qr ss    tr t  s  t  F   sér rt
cn (x) rsq x > 1
n>2

 étrr q r x > 0 |cn (x)| >
1
2

4x (n - 1)

n2x
X

 ér r 0 < x 6   tr   sér

s ù

cn (x)

n>2

x=1

 ss s tt qst 7. q x = 1
1

X(n - X)
1
H
1
 ér  rss  cn (x)  t  n-1 ù Hn = 1 + + · · · +
n
2
n

 ésr  ééts ss  rt rt
s rt   sér rq

 étrr  t   st
  ér  tr   sér

X

Hn-1
n

n>2

cn (x)

n>2

    s  sér à   ét  t  s 

1

ét sttq  

 rr  t  ln 2 t  F  (1)  ét té à rr  t  s
    t F s étrr  ét té à rr  t  s
    t x 7 1 - 21-x 
  ér  rés a t b q sért étt à   ln 2 t F  (1) ts
q  t r x  s  1+ 
(x) =

a
+ b + o(1).
x-1

ét sttq   s

 sèr  sér  ts

X

vn ù vn st é sr [1, 2] r

n>1

1
vn (x) = x -
n

Z

n

n+1

dt
.
tx

 str q r n > 1 t x  [1, 2]   
0 6 vn (x) 6

 str q r x  [1, 2]  sér

X
n>1

st  stt r

1
1
-
.
x
n
(n + 1)x
vn (x) r  t rs  =

+
X

vn (1)

n=1

 rr r x ]1, 2]  s

+
X

vn (x) à   (x) t 1 - x

n=1

 étrr q  sér  ts

X

vn r rét sr [1, 2]  rr

n>1

tsr  rst   sér
  ér q   r x  s  1+ 
(x) =

1
+  + o(1).
x-1

t

ér s réstts rééts  rss à   ln 2 t    s
+
X
(-1)n-1 ln n
n=1

  s

F (2k)

n

.

à  s rs  r

s tt rt  s rs étr  r rttt  r  r s
(2k)   tr k > 1 Pr   trt s ôs t rs  r
R[X] és  Rèr s ôs à ts rés
 t  ô t s t  ssé
 t q st (Bn )  R[X] st  st  ôs  r s  ér s
rrétés sts 
B0 = 1,

n  N

, Bn

= nBn-1 et

Z

1

Bn (t) dt = 0.

0

 t q st  t  s st  ôs  r q  tr (Bn )
   st  ôs  r
 s bn = Bn (0) bn st é  nè r  r
 r B1 t B2   ér b1 t b2 
 r r n > 2 Bn (1) - Bn (0)
 étr
étrr q r tt n  N   Bn (X) = (-1)n Bn (1 - X)
 ét  sér  rr
t k  tr tr  ét t gk  R s R r 
x
r x  [0, 2[ t gk st érq  ér 2.
gk (x) = B2k
2

str  s q st  q st  rés (an (k))n>0 t q r tt ré x
 t 
+

a0 (k) X
gk (x) =
an (k) cos(nx).
+
2
n=1

rss s ts
 t

n>1

t

k > 1

an (k) =

trr q   

 (2k)(2k - 1)
k 
(1)
-
B
(0)
-
an (k - 1).
B
2k-1
2k-1
(2n)2
(n)2

  ér  r 
 r q r

an (1)

n>1

t

r

k > 2

n > 1

an (k) =

(-1)k-1 (2k)!
.
22k-1 (n)2k

 rrqr r  st ss  rétrr q tt r rst r r

s
étrr r

k = 1

k>1

 rt tr

(2k)

t

b2k 

 t s bn
 étrr  tst  r  r q r tt

Bn (X) =

n  
X
n
k=0

k

n  N

bn-k X k .

  ér  rt  rérr rttt  r s rs  r
ss r à étrr s ôs  r ssés rr s  s s
 rr  tt rt rttt tr  r 

n

bn

r  tr

é

  éé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA) ; il a été relu
par Hervé Diet (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Cette épreuve propose une étude croisée des fonctions zêta et zêta alternée de
Riemann, définies respectivement par
P 1
x
n=1 n
+

(x) =

P (-1)n-1
nx
n=1
+

et

F(x) =

Elle se compose de quatre parties largement indépendantes.

· La première est consacrée à quelques généralités. On s'intéresse notamment à
la définition et à la régularité des fonctions F et , et on établit une relation
entre F et  sur ] 1 ; + [.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude du produit de Cauchy de la série
définissant F par elle-même. On illustre ainsi le fait que le produit de Cauchy
de deux séries convergentes n'est pas en général convergent.
+
P (-1)n-1 ln n
· La troisième partie propose le calcul de la somme de la série
n
n=1
à l'aide d'une étude de la fonction  au voisinage de 1.
· Enfin, la quatrième partie est consacrée au calcul des F(2k) pour k  N .
Pour cela, on se ramène au calcul des ((2k))kN , que l'on effectue à l'aide
des nombres de Bernoulli. Le problème se conclut par un algorithme effectif de
calcul des nombres de Bernoulli.
D'une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce problème 
d'analyse permet de tester ses connaissances sur les séries de fonctions, 
notamment les
différents types de convergence (simple, uniforme, normale), le théorème des 
séries
alternées, le théorème de convergence dominée et le théorème sur les limites 
d'une
série de fonctions. Ce sujet permet également de manipuler des fonctions 
périodiques,
des séries de Fourier et des polynômes.
Par ses objectifs raisonnables et la diversité des résultats et notions 
d'analyse
qu'elle utilise, cette épreuve constitue un excellent sujet d'entraînement aux 
concours.

Indications
I.

Généralités

1 Remarquer que pour tout x  R, la série définissant F(x) est alternée.
2 On pourra prolonger les fonctions gn et g par continuité en 1 avant 
d'appliquer
le théorème de convergence dominée à ces prolongements.
3 Pour établir la convergence normale, calculer Sup |1/nx | pour n  N . Enfin,
x>2

observer que pour tout n > 2, |1/nx| ---- 0.
x+

4.b Utiliser le théorème des séries alternées et la question précédente.
II.

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même

6.a Observer que, pour x > 1, la série

P

cn (x) est le produit de Cauchy de deux

n>2

séries absolument convergentes.

Hn
Hn-1
-
.
n+1
n
7.c Démontrer que Hn est négligeable devant n.

7.b Déterminer, pour n > 2, le signe de

III.

Calcul de la somme d'une série à l'aide d'une étude
de zeta au voisinage de 1

8.a Utiliser les résultats des questions 2 et 4.
8.b Utiliser également l'égalité démontrée à la question 5.
+
P
9.c Raisonner sur les sommes partielles de la série
vn (x).
n=1

9.d Montrer que le reste de la série converge uniformément vers 0 sur [ 1 ; 2 ].
9.e Utiliser également l'égalité démontrée à la question 9.c.
10 Observer que la somme demandée est -F (1).
Calcul des F(2k) à l'aide des nombres de Bernoulli
Z 1
12 Utiliser le fait que Bn (1) - Bn (0) =
Bn (t) dt.
IV.

0

13 Montrer que ((-1)n Bn (1 - X))nN est une suite de polynômes de Bernoulli.
14 Erreur d'énoncé : admettre l'unicité et montrer l'existence de la suite. 
Pour cela,
justifier que gk est 2-périodique, paire, continue et de classe C 1 par morceaux
sur R.
15.a Effectuer des intégrations par parties sur l'écriture intégrale des 
coefficients
an (k) et utiliser une propriété des polynômes de Bernoulli.
15.c Raisonner par récurrence sur k  N à l'aide de la relation démontrée en 
15.a.
16 Exprimer gk (0) à l'aide du résultat de la question 14 et utiliser la 
question
précédente.
17.a On pourra montrer préalablement que pour tout k  {0, . . . , n}, on a
(k)

Bn =

n!
Bn-k
(n - k)!

I. Généralités

(-1)n-1
qui définit F(x)
nx
nN
est alternée. Pour x 6 0, son terme général ne tend pas vers 0, donc cette 
série ne
converge pas. Pour x > 0, le module de son terme général tend vers 0 en 
décroissant,
donc elle converge par application du théorème des séries alternées. En résumé,
1 Pour tout x  R, la série de terme général

La fonction F est définie sur R+ .
2 Pour n  N et t  [ 0 ; 1 [, on a
n+1

1 - (-t)
1+t
On en déduit que la limite simple de (gn )n>1 est la fonction g définie sur [ 0 
; 1 [ par
gn (t) =

1
1+t
Avant d'appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions
(gn )nN , prolongeons par continuité les fonctions gn et g à l'intervalle [ 0 ; 
1 ] tout
entier. La fonction g se prolonge en une fonction continue sur [ 0 ; 1 ] en 
posant
g(1) = 1/2, et pour tout n  N la fonction gn est prolongeable par continuité
à [ 0 ; 1 ] en posant
n
P
gn (1) =
(-1)k
g(t) =

k=0

Ainsi, pour tout n  N , gn est continue sur [ 0 ; 1 ] et il en est de même de 
la fonction
g. Enfin, pour n  N et t  [ 0 ; 1 ], on a
2
1 - (-t)n+1
|gn (t)| =
6
1+t
1+t
Puisque la fonction t 7 2/(1 + t) est intégrable sur [ 0 ; 1 ] et indépendante 
de n, le
théorème de convergence dominée assure que la suite de fonctions (Gn )n>0 
définie
sur [ 0 ; 1 ] par
Z t
n (-1)k
n+1
P (-1)k-1 k
P
tk+1 =
t
Gn (t) =
gn (u) du =
k
0
k=0 k + 1
k=1

converge sur [ 0 ; 1 ] et que sa limite G vérifie
Z t
+
P (-1)k-1 k
G(t) =
t =
g(u) du = ln(1 + t)
k
k=1
0
Z 1
En t = 1, ceci s'écrit
F(1) =
g(t) dt = ln(2)
0

3 Constatons que, pour n  N et x > 2, on a
(-1)n-1
1
1
= x 6 2
nx
n
n
1
La série de terme général 2 étant convergente et indépendante de x, il vient que
n
P (-1)n-1
La série de fonctions
converge normalement sur [ 2 ; + [.
nx
n>1

Par conséquent, la série

P (-1)n-1
converge uniformément vers F sur [ 2 ; + [.
nx
n>1

(-1)n-1
---- 0
x+
nx
De plus, le premier terme de la série de fonctions est constant, égal à 1. On 
en déduit
que la fonction F admet une limite en + et que

En outre, pour n > 2,

lim F(x) = 1

x+

4.a Soit x > 0. Notons

 ] 0 ; + [ - R
x :
ln(t)

t
7- x
t

La fonction x est de classe C sur R+ et l'on a pour tout t > 0,
x  (t) =

1 - x ln t
tx+1

1

Ainsi, x  (t) > 0 si et seulement si t 6 e x . On en déduit le tableau de 
variations
t
x 

1

0
+

x

-

ex
0
1
ex

+

-

0

Pour x  R, notons x sa partie entière. Puisque pour tout n  N , x (n) =
La suite

ln n
nx

ln n
,
nx

1

est décroissante à partir du rang e x  + 1.

n>1

Le rapport du jury incite les candidats à « ne pas oublier que le rang, ou
indice, d'une suite est un entier. » Ainsi, « on ne dit pas que la suite est
1
décroissante à partir du rang e x . En revanche, elle sera décroissante à partir
1
d'un entier supérieur, par exemple e x  + 1 (le +1 a souvent été oublié). »
4.b Observons que pour tout n  N , et tout x > 0,
fn (x) = (-1)n-1 e-x ln(n)
Par conséquent, la fonction fn est indéfiniment dérivable sur R+ et, pour x > 
0, on a
fn (x) = -(-1)n-1 ln(n)e-x ln(n) = (-1)n

ln n
nx

ln n
nx

Soient a  R+ et x  [ a ; + [. La série de terme général fn (x) est alternée et, 
d'après
la question précédente, |fn (x)| tend vers 0 en décroissant à partir d'un 
certain rang.
Ainsi,

|fn (x)| =