Mines Informatique MP 2001

A 2001 -- INF -- MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L' AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DES TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÊTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
(Filière T.S.I.)

CONCOURS D'ADMISSION 2001

ÉPREUVE D'INFORMATIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: 3 heures)

Sujet mis àla disposition des concours Cycle International, ENSTIM et TPE-EIVP.

Les candidats et les candidates sont priés de mentionner de façon
apparente sur la première page de la copie :

_ « INFORMATIQUE - Filière MP >>

RECOMMANDATIONS AUX CANDIDATS ET CANDIDATES

. L'énoncé de cette épreuve, y compris cette page de garde, comporte 8 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat ou une candidate repère ce qui lui 
semble être une erreur
d'énoncê, il ou elle le signale sur sa copie et poursuit sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il ou elle a décidé de prendre.

. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faut pas hésiter à fOrmuler les commentaires qui semblent pertinents 
même lorsque
l'énoncé ne les demande pas explicitement. '

0 L'utilisation d'une calculatrice ou d'un ordinateur est interdite.

COMPOSITION DE L'ÉPREUVE

L'épreuve comprend trois problèmes indépendants :

o le problème de théorie des automates, n° 1 page 2, à résoudre en 1h15 min 
environ;
. le problème de complexité algorithmique, n° 2 page 5, à résoudre en 60 min 
environ;
0 le problème de logique des propositions n0 3 page 7, à résoudre en 45 min 
environ.
Attention ! Dans chacun des deux premiers problèmes, les candidats et les 
candidates sont invités à donner

le nom du langage de programmation, Pascal ou Caml, dans lequel les algorithmes 
seront écrits lorsque des
questions le demanderont. Seuls les programmes écrits dans le langage choisi 
seront corrigés.

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Tournez la page S.V.P.

Épreuve d'Informatique

1 Problème sur les automates finis ---- 1 h 15 min environ

Rappels pour fixer les notations et la terminologie

Un alphabet A est un ensemble fini d'éléments appelés lettres. A* est 
l'ensemble des suites finies de
lettres de A, appelées mots. Un langage est une partie de A*.

Un automate A est un graphe orienté et étiqueté, décrit par une structure < Q,A,E,I,T > :

-- A est un alphabet;

-- Q est un ensemble fini, non vide et appelé ensemble des états ; ce sont les 
sommets du graphe;
-- E Ç_ Q >< A >< Q est appelé l'ensemble des transitions, ce sont les arcs du graphe; --- I g Q est appelé ensemble des états initiaux de l'automate; --- T <_; Q est appelé ensemble des états terminaux de l'automate. Une transition (p,a,q) E E est un arc du graphe, d'étiquette a et allant de l'état p vers l'état q que l'on pourra noter p --a--> q.

La représentation graphique d'un automate obéit aux conventions suivantes :

-- un état 6, est figuré par un cercle marqué en son centre par e ; si e E I, 
cela est figuré par une flèche
entrante sans origine; si 6 EUR T, cela est figuré par une flèche sortante sans 
but;

-- une transition (p,a,q) E E est figurée par une flèche allant de l'état p 
vers l'état q; cette flèche est
étiquetée parla lettre a.

Exemple: une telle représentation graphique est illustrée dans la question 3 
page ci--contre.

Un calcul de A est un chemin pg -----> p1 -----2-> pg & p,, dans le graphe: 
pour z' 6 [1,n] on
a p,--..1 -------> p,-- E E. On dit que pg est l'origine du calcul, p,, est son 
extrémité, et que le calcul traverse

les états pg,p1, . . . ,pn.

L'étiquette du calcul est le mot formé par la suite des étiquettes des arcs 
successifs du chemin. Un
calcul d'origine p, d'extrémité q etd'étiquette u-peut être noté p --Ï+ q. Il 
est dit réussi lorsque p est un
état initial et q est un état terminal. Un mot de U E A* est reconnu par A s'il 
existe un calcul réussi de A
qd'étiquette u. L(A), le langage reconnu par A, est l'ensemble des étiquettes 
des calculs réussis.

L' automate A est dit émondê si pour chaque état p de A, il existe un état 
initial i, un état terminal t et
deux mots u et 1) tels que i ------> p et p ------> t sont des calculs, 
c'est-à-dire que tout état est réellement utile

àla reconnaissance des mots de L(A).

Problème

Dans ce problème, on se donne un automate A = < Q,A,E,I,T >. Nous allons écrire 
un algorithme
permettant de l'émonder, c'est-à--dire de déterminer ses états inutiles.

1 --- Il faudra rédiger des algorithmes. Choisir le langage, Pascal ou Caml, 
dans lequel seront rédigés ces
algorithmes. Attention! Tous les algorithmes demandés dans ce problème devront 
être écrits dans le
langage choisi.

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Épreuve commune 2001

Représentation informatique d'un automate. Soit NE et NL des constantes 
entières strictement positives. On
suppose que l'automate a NE états numérotés de 1 à NE. Pour i EUR [1,NE], on 
notera ei l'état numéro i. On
suppose que l'alphabet contient NL lettres numérotées de 1 à NL. Pour j EUR 
[1,NL], on notera 13-- la lettre
numéro j . On choisit de représenter l'automate ainsi: '

---- à un état e i et une lettre 1j , on associe un vecteur de NE booléens, 
noté TL_î, tel que pour tout
k EUR [1,NE], TLâ[k] est vrai si et seulement si (EURi,lj,EURk) E E; le vecteur 
TLî est une description
des transitions issues de e i et étiquetées par lj ; '

-- l'ensemble des transitions issues d'un état e i est représenté par le 
vecteur noté TRi des NL vecteurs
TLî pour 1 < j < NL ; c'est-à--dire TRi [j] = TLä pour tout j EUR [1,NL]; --- le graphe orienté et étiqueté de l'automate est représenté par le vecteur G des NE vecteurs TRi pour 1 { i < NE; c'est--à-dire G[i] : TRi pour tout i E [1,NE]. On remarque que l'on ne représente que les transitions et que l'on ne représente pas encore le caractère initial ou terminal des états. Cela sera pris en compte plus tard dans le problème. Important! Dans les calculs de complexité qui seront demandés, on admettra que les opérations élémentaires du langage de programmation (opérations arithmétiques, comparaisons arithmétiques, accès et modifications de la valeur d'une variable ou d'un élément de tableau, etc.) ont une complexité en O(l). 2 --- Dans le langage choisi, décrire comment représenter, en accord avec les éléments qui viennent d'être donnés, le graphe orienté et étiqueté d'un automate. 3 -- Toujours dans le langage choisi et en supposant NE : 5 et NL : 2, utiliser la réponse à la question précédente pour représenter l'automate suivant: Émonder l'automate revient à déterminer ses états inutiles. Un état e est inutile s'il n'existe pas de calcul dont l'origine est un état initial et dont l'extrémité est e ou bien s'il n'existe pas de calcul dont- l'origine est e et dont l'extrémité est un état terminal. Matrice d'accesibilité d'un automate. Pour déterminer les états inutiles, il faudra calculer la matrice d'accessibilité de l'automate. Cette matrice est une matrice de booléens C, carrée de dimension NE, telle que pour (i,j) EUR [1,NE] >< [LNB], C[i,j] vaut vrai si et seulement s'il existe un calcul d'origine ei et d'extrémité e j. 4 -- Dans le langage choisi, décrire comment représenter la matrice d'accessibilité d'un automate. page 3/8 Tournez la page S.V.P. Épreuve d'Informatique L'algorithme de Roy--Washaü. L'algorithme qui va être utilisé s'appelle algorithme de Roy--Warshall. Cet algorithme commence par initialiser la matrice C : pour (i,j) EUR [1,NE] >< [LNB], C[i,j] est initialisé à vrai si et seulement si i = 3° ou bien s'il existe une transition de e 1 vers ej dans l'automate. L'algorithme transforme la matrice C initialisée, que l'on nommera C0, en NE étapes. Pour k 6 [1,NE ], on note Ck la matrice à l'issue de k-ième étape de transformation. L'idée de cet algorithme est que pour tous k 6 [O,NE ] et (i,j) EUR [1,NE ] x [1,NE ], Ck[i,j] est vrai si et seulement si i = j ou bien s'il existe un calcul d'origine ei, d'extrémité ej et tel qu'aucun état traversé par ce calcul à l'exception de l'origine et de l'extrémité n'a un numéro strictement supérieur à k. On dit alors que la matrice Ck vérifie la propriété au rank k. 5 -- Dans le langage choisi, écrire un algorithme permettant d'initialiser la matrice d'accessibilité C à partir de la représentation G de l'automate. ' 6 -- Quelle est la complexité en temps de l'algorithme de la question 5 en fonction de NE et NL ? 7 -- Vérifier trivialement que Co vérifie la propriété au rang 0. 8 -- Vérifier trivialement que si CNE vérifie la propriété au rang NE alors CNE est la matrice d'accessibilité du graphe. 9 -- Soit k EUR [O,NE -- 1], on suppose Ck vérifie la propriété au rang k et Ck+1 vérifie la propriété au rang k+1. Soit (i,j) EUR [1,NE] >< [1,NE], démontrer que Ck+1[i,j] est vrai si et seulement si Ck[i,j] est vrai ou bien si Ck[i,k+l] et Ck[k+l,j] sont vrais. 10 ---- Soit k EUR [O,NE -- 1], on suppose Ck vérifie la propriété au rang k et Ck+1 vérifie la propriété au rang k+1. Soit (i,j ) EUR [1,NE] x [LNB], démontrer que: a ---- Ck]i,k+l] est vrai si et seulement si Ck+1[i,k+l] est vrai ; b -- Ck[k+l,j] est vrai si et seulement si Ck+l[k+l, j] est vrai. 11 -- Déduire et justifier à l'aide des questions 9 et 10 un algorithme permettant de transformer la matrice Ck en Ck+1 pour tout k EUR [O,NE ---- 1]. 12 -- Quelle est la complexité en temps de l'algorithme de la question 11 en fonction de NE et NL ? 13 -- Dans le langage de programmation choisi, écrire un algorithme prenant en argument la représentation G de l'automate et produisant sa matrice C d'accessibilité. 14 ---- Quel est la complexité en temps de l'algorithme de la question 13 en fonction de NE et NL ? On suppose que les états initiaux sont décrits par un vecteur I de NE booléens tel que pour tout k EUR [1,NE], I[k] est vrai si et seulement si ek est un état initial. On suppose également que les états terminaux sont décrits par un vecteur F de NE booléens tel que pour tout k EUR [LNB], F[k] est vrai si et seulement si ek est un état terminal. On désire obtenir le vecteur U de NE booléens tel que pour tout k 6 [1,NE], U[k] est vrai si et seulement si ek est un état inutile. 15 --- Dans le langage de programmation choisi, décrire comment représenter les vecteurs I, F et U. 16 -- Toujours dans le langage de programmation choisi, écrire un algorithme prenant en arguments la représentation G de l'automate, les représentations des vecteurs I et F décrivant ses états initiaux et terminaux et produisant la représentation du vecteur U de ses états inutiles. 17 -- Quel est la complexité en temps de l'algorithme de la question 16 en fonction de NE et NL ? 18 --- L'hypothèse a été faite en début de problème que les opérations élémentaires du langage de programmation ont une complexité en O(l). Expliquer pourquoi cette hypothèse est réaliste pour le langage de programmation choisi. FIN DU PROBLÈME SUR LES AU TOMATES page 4/8 Épreuve commune 2001 2 Problème de complexité a]gorithmique -- 60 min environ Calcul efficace de a:" Le problème du calcul efficace de a:" pour n entier positif devient crucial lorsque n est particulièrement grand ou bien lorsque (1: est un type de données où le produit est algofithmiquement coûteux. C'est le cas si a: est une matrice carrée de grande dimension ou bien si $ est un polynôme de degré élevé. Dans ces cas, le temps d'exécution d'une multiplication n 'est plus négligeable et il peut être raisonnable de rechercher des algorithmes où l'on cherche à minimiser le nombre de multiplications effectuées. , Ce qui intéresse l'informaticien dans le calcul de ac" est le nombre de multiplications par 3: où par des puissances déjà calculées de a:. Pour essayer de compter et de minimiser ce nombre de multiplications, on peut se contenter d'étudier le cas où cr est un entier et n un entier strictement positif. C'est ainsi que la question est abordée dans ce problème. ' Terminologie et notation. Sin > 0 est un entier:

-- on appelle représentation binaire minimale (en abrégé r.b.m.) de n, la 
représentation binaire de 71.
où l'on ne considère que les chiffres significatifs, c'est-à--dire que l'on 
élimine tous les éventuels
chiffres 0 figurant en tête (à gauche) de la représentation ;

---- on note À(n) le nombre de chiffres de la représentation binaire minimale 
de n ;
-- on note u(n) le nombre de chiffres égaux à 1 dans la représentation binaire 
minimale de n.

1 -- Il faudra rédiger des algorithmes. Choisir le langage, Pascal ou Caml, 
dans lequel seront rédigés ces
algorithmes. Attention! Tous les algorithmes demandés dans ce problème devront 
être écrits dans le

langage choisi.

La méthode élémentaire

2 --- L' al orithme le lus sim le our calculer a:" est basé sur les é uations 
suivantes:
g P P P q

931 a:
oek+1 æoe'° si k > 0

a --- Dans le langage choisi, écrire un algorithme récursif, nommé es, prenant 
en arguments un entier a:
et un entier n > 0 et calculant a:" en utilisant les équations ci-dessus.

b ---- Combien de multiplications sont--elles effectuées par l'algorithme es en 
fonction de son deuxième
argument n ?

La méthode de Legendre

3 -- L'algorithme de Legendre considère la représentation binaire minimale de 
l'exposant entier n > O.
L'algorithme pour calculer x" s'énonce ainsi:
-- on part de la valeur 1 ;

-- on parcourt la r.b.m. de n de gauche à droite ; pour chaque chiffre 
rencontré, on élève la valeur au
carré, puis si le chiffre est 1, on multiplie la valeur par x.

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Épreuve d'Informatique

a --- Démontrer que cet algorithme est correct. Attention ! Il est inutile de 
le programmer.

b -- Exprimer le nombre de multiplications qui sont effectuées par cet 
algorithme en fonction de À(n)
et u(n) où n est l'exposant?

La méthode dichotomique

4 '-- L' algorithme dichotomique pour calculer a:" est basé sur les équations 
suivantes:

131 :$

:D" = (æ2)k si [<: > 0
æ2k+1 = ææ2k si k > 0

On suppose que le langage de programmation choisi dispose d'une fonction pair 
dont l'argument est-
un entier et le résultat est un booléen qui est vrai si et seulement si 
l'argument est pair.

a -- Dans le langage choisi, écrire un algorithme récursif, nommé ed, prenant 
en arguments un entier w
et un entier n > 0 et calculant a:" en utilisant les équations ci-dessus.

b -- En examinant l'algorithme ed, écrire un algorithme récursif, nommé cd, 
prenant en argument un
entier n > 0 et calculant le nombre de multiplications effectuées pendant le 
calcul déed(oe,n) pour
un a: entier quelconque.

c --- Soit k > 0 un entier, exprimer À(2k) en fonction de À(k) et exprimer À(2k 
+ 1) en fonction de
À(2k). En'déduire et écrire un algorithme récursif, nommé lambda, prenant en 
argument un entier
n > 0 et calculant À(n).

d --- Soit le > 0 un entier, exprimer u(2k)' en fonction de 1/(k) et exprimer 
1/(2k + 1) en fonction de
u(2k). En déduire et écrire un algorithme récursif, nommé nu, prenant en 
argument un entier n > 0
et calculant u(n).

e -- Pour n > 0 entier, on pose 7r(n) = À(n) + u(n) ---- 2. En utilisant les 
résultats des deux questions
précédentes, déduire et écrire-,un algorithme récursif, nommé pz', prenant en 
argument un entier
n > 0 et calculant 7r(n). ' '

f -- Quel est le nombre de multiplications effectuées par l'algorithme ed en 
fonction de À(n) et u(n)
où n, entier strictement positif, est le deuxième argument?

g --- Quel est le nombre de multiplications effectuées par l'algorithme ed en 
fonction de son deuxième
argument n lorsque celui-ci est de la forme 2'° où k 2 0 est un entier naturel.

La méthode des facteurs

L'algorithme dichotomique réduit sensiblement le nombre de multiplications par 
rapport à l'algofitMe
le plus simple de la question 2 page précédente. Mais il n'est pas optimal. On 
a 7r(15) = 6 mais en

remarquant que 15 = 3 >< 5 et donc 51:15 = (æ3)5, on peut calculer 51:15 en 5 multiplications : on calcule :c3 en 2 multiplications à l'aide de la méthode dichotomique puis on l'élève àla puissance 5 en 3 multiplications toujours à l'aide de la méthode dichotomique. Cela donne: OE2=OE£C OE3=£L'OE2 OE6=OE3OE3 OE12=OE6OE6 OE15=OE12OE3 Cette méthode, appelée méthode des facteurs, utilise le fait que sin = p q alors on a a:" = (:c")? 5 -- En remarquant que 33 = 3 >< 11, appliquer la méthode des facteurs esquissée ci--dessus et vérifier qu'elle n'est pas optimale. FIN DU PROBLÈME DE COMPLEXITÉ ALGORITHM1Q UE page 6/8 Épreuve commune 2001 3 Problème de logique des propositions ---- 45 min environ Afin de construire des circuits logiques, on se donne les trois portes logiques élémentaires correspondant aux trois connecteurs suivants: -- le connecteur unaire et préfixé de la négation noté --1 ; -- le connecteur binaire et infixé de la conjonction noté A; ---- le connecteur binaire et infixé de la disjonction noté V. On se donne également le noeud duplicateur produisant sur ses deux sorties la valeur fournie sur son unique entrée. Ces éléments de circuits logiques sont représentés graphiquement ainsi: a: m a: a: --voe :::/\ oeV _oe_.< ----'< >"-- $
" y 31

Porte NON Porte ET Porte OU N oeud duplicateur

NB. Les circuits logiques construits en réponse à une question quelconque de ce 
problème devront être
construits en n'utilisant que les élements de circuits logiques donnés 
ci-dessus et ceux "construits en réponses
aux questions qui précédent cette question.

Si à: et y sont deux valeurs numériques, on note max(oe,y) la plus grande de 
ces deux valeurs et
min(æ,y) la plus petite de ces deux valeurs.

Soit n un entier strictement positif et a; un entier tel que 0 < a: < 2", on note M2 la représentation en base 2 sur n bits de a: qui est définie comme suit: on prend la représentation en base 2 de a: qui est de longueur au plus n et on. la complète éventuellement avec des zéros à gauche pour que sa longueur soit exactement n. Un comparateur logique 1 ---- Construire un circuit logique Co prenant en entrées deux bits d'information a: et y et fournissant en sorties les valeurs maæ(æ,y) et min(æ,y) : 2 -- Construire un circuit logique 01 prenant en entrées deux bits d'information a: et y et fournissant en sorties les valeurs T1, T0, 31 et so telles que: _ (T1,T'o) : (3,3!) et (31730) = (170) Si 27 > y;
" (T17T0) : (OE,y) et (31330) = (1,1) SÎ.OE : y;
- (mm) = (y'a?) et (81,80) = (0,1) Si 33 < y. ' page 7/8 Tournez la page S.V.P. Épreuve d'Informatique 3 -- Construire un circuit logique Cg prenant en entrées quatre bits d'information 81 , eo, a: et y et fournissant en sorties les valeurs n, m, 31 et 30 telles que: On appelle C3 le circuit logique 02 dans lequel on a supprimé les sorties 31 et 30- On appelle comparateur 8--bits un circuit logique prenant en arguments deux entiers positifs ou nuls et = (1,7 - - - a02 et b = b»; -- - - bo str1ctemegt mfer1eurs a 28 = 256 et foum1ssant en sorties les deux entiers positifs c : C7 - - - co? et d : d7 - - -- do tels que c : maæ(a,b) et d = min(a,b). Un tel circuit logique peut être représenté graphiquement ainsi: c : maæ(a,b) a 1 Comparateur c 1 "° 8--bits °° .b7 d7 bô d6 b5 d5 b d b 4 4 d = min(a,b) b3 d3 b2 d2 b1 dl bo do 4 -- À l'aide des circuits logiques Cl, Cg et 03, construire un comparateur 8-bits. FIN DU PROBLÈME DE LOGIQUE DES PROPOSITIONS FIN DE L'ÉPREUVE page 8/8