Centrale Informatique MP 2006

 

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Les deux parties sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre 
quelconque.

Partie I - Un algorithme de compression de
données

Dans cette partie, on appelle document une suite de symboles terminée par un
symbole particulier que l'on note SymboleFinal. On s'intéresse à la représen-
tation d'un document sous la forme la plus compacte possible.

I.A - Codage de longueurs de séquences

Une technique de réduction du nombre de symboles utilisés pour représenter un
document consiste à remplacer chaque séquence de symboles identiques par la
longueur de la séquence suivie du symbole. Il faut toutefois pouvoir distinguer
les longueurs de séquences des symboles originellement présents dans le docu-
ment. On utilise pour cela des délimiteurs spécifiques, ne figurant pas parmi 
les
symboles présents dans le document.

L'ensemble des symboles du document est un ensemble de caractères
qui contient les lettres minuscules et majuscules, les chiffres décimaux, les
caractères de ponctuation et divers caractères spéciaux : parenthèses, accola-
des, guillemets mais ne contient pas les crochets.

On choisit alors les crochets [ et '] comme délimiteurs des longueurs de 
séquences
et on peut ainsi coder, par exemple, le document suivant :
abcdefffffghiiiiiijkllllllllll

sous la forme :
abcde[5]fgh[6]ijk[lO]l

En fait, à chaque symbole est associé un entier que l'on appelle son code, qui 
le
représente dans le document codé. Ainsi le document ci--dessus sera-t--il codé 
en
réalité sous la forme :

a'b'c'd'e' [5]f'g'h' [6]i'j'k' [1011'
où a' est le code de a, b' est le code de b, etc.
On dispose des fonctions suivantes :

symbole_suivant rend l'entier correspondant au symbole suivant du docu-
ment, ou le code SymboleFinal lorsque la fin du document est atteinte ;

sortir_char prend en argument un caractère et le place en sortie du codeur
(cette sortie peut être l'écran ou un fichier) ;

sortir_code prend en argument un entier et place en sortie du codeur le sym-
bole (caractère) dont cet entier est le code ;

sort ir_int prend en argument un entier et place en sortie du codeur la suite
de symboles qui représente cet entier en base 10 ;

symbole prend en argument un entier et rend le symbole dont cet entier est le
code;

code prend en argument un symbole et rend son code.

Note: on rappelle que les délimiteurs ouvrant et fermant de longueur de
séquence [ et ] n'apparaissent pas dans le document initial à coder.

On définit une structure de données Encodeur permettant de représenter, sous
forme d'un enregistrement, l'état du codeur de longueurs de séquences. Cet état
correspond à la séquence de symboles qu'il est en train de lire et à la 
position à
laquelle il se trouve dans cette séquence.

en CAML en PASCAL
type Encodeur = Encodeur = record
{mutable code_symbole : int; code_symbole : integer;
mutable compte : int compte : integer
} end;

I.A.1) Écrire une fonction initialiser_codeur qui rend un Encodeur
représentant l'état initial d'un codeur (hors de toute séquence de symboles).

Écrire une fonction vider_codeur qui reçoit en argument un Encodeur et
place sur la sortie le résultat du codage de la séquence de symboles qui corres-
pondent à son état. Cette fonction rend le nouvel état du codeur.

I.A.2) Écrire une fonction coder qui reçoit en argument un entier et un
Encodeur et rend un Encodeur correspondant à l'état du codeur après traite-
ment du symbole dont l'entier est le code.

I.A.3) Quel est le résultat du codage du document aabbcc avec cet
algorithme ? Quel problème cela pose--t--il ? Que peut-on modifier pour 
l'('lll('(llt'l'
à ce problème '?

I.A.4) Écrire une fonction decoder qui, lorsqu'elle lit un document codé, affi-
che en sortie un document dans lequel les séquences compactées sous la forme
[compte ] code_symbole sont restaurées sous leur forme initiale.

On supposera que le document lu est correct, c'est-à--dire que toute occurrence
du symbole [ est suivie d'une suite de chiffres terminée par ], elle--même 
suivie
d'un entier, code d'un symbole.

On supposera de plus que les caractères 0 à 9 sont représentés par des entiers
consécutifs croissants.

Partie II - Problème logique et automate

Après l'évasion de Thésée, Minos décida de modifier le labyrinthe de Dédale afin
de l'utiliser pour tester les qualités de logicien des étrangers désireux 
d'intégrer
sa cour. Pour cela, il fit modifier le tracé afin que toute personne ayant 
retrouvé
son chemin passe dans un couloir fermé par trois portes devant impérativement
être ouvertes successivement. En cas d'échec, le candidat se retrouve projeté
dans une partie sans issue du labyrinthe. Chacune des trois portes est ouverte
par un système de trois leviers. Ils sont tous sur une position de départ neutre
et possèdent deux positions de fonctionnement 1 ou 0 , correspondant respecti-
vement aux VRAI et FAUX logiques, mais également àla numération en base 2 .
Ainsi, les neufs leviers (les trois de chaque porte) forment-ils un nombre 
écrit en
base 2 lorsque le candidat les a manipulés successivement (aucun levier ne peut
rester neutre). La position du levier 1 est le bit de plus haut poids, celle du
levier 9 est le bit de plus faible poids. En visite dans le labyrinthe, vous 
vous
retrouvez dans ce couloir et votre seule chance de survivre est de répondre 
cor--
rectement en respectant les règles propres à chaque porte et indiquées sur le
fronton. Ces règles de fonctionnement de chaque porte sont systématiquement
vérifiées (ce qui n'est bien sûr pas nécessairement le cas des énoncés relatifs 
aux
positions des leviers).

Sur le fronton de la première porte est écrit : « les trois énoncés associés 
aux trois
leviers sont tous vrais ou tous faux ».

Les trois énoncés sont notés respectivement El , E2 , E 3 . Les variables 
proposi--
tionnelles associées aux leviers de la première porte L| , L2 , L3 .

II.A - Représenter la règle sous la forme d'une formule du calcul des proposi-
tions dépendant de E| , E2' E3 .
Les énoncés suivants sont inscrits sur la porte :

° Le levier 2 ne peut pas être sur « 1 » seul, mais les trois ne sont pas sur « 
l ».

° Si le levier 3 est sur « 1 », ou si les leviers ! et 2 sont sur « 0 » alors 
le levier
3 est sur « 1 » et ce n'est pas le seul dans ce cas.

° Si le levier l est sur « l » alors le levier 3 y est aussi, et si le levier 1 
est sur
« 0 » alors c'est également le cas du levier 2.

KB - Exprimer El , E2 et E 3 sous la forme de formules du calcul des proposi-
tions dépendant de L| , L2 et L 3.

11.0 - En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les formules de 
De
Morgan, ...), simplifier les énoncés pour les écrire sous forme de conjonction 
(ET)
de disjonctions (OU) de littéraux, un littéral étant une variable 
propositionnelle
ou sa négation.

II.D - En déduire la ou les valeurs possibles des variables propositionnelles 
Ll ,
L2 et L,.

La première porte s'ouvre, puis se referme après votre passage. Elle est suivie
par une deuxième porte sur le fronton de laquelle est écrit : « Une seule des 
affir--
mations est fausse ». Les trois énoncés sont notés respectivement E4 , E5 , E6.

Les variables propositionnelles associées aux leviers de la deuxième porte L 4 ,

Les énoncés suivants sont inscrits sur la porte :
° La valeur du levier 4 est le produit des valeurs des leviers 5 et 6.

° La valeur du levier 5 est la somme sans retenue (addition 1 bit) des valeurs
des leviers 4 et 6.

° La valeur du levier 6 est la retenue de la somme des valeurs des leviers 4 et 
5 .

ILE - Exprimer E 4 , E5 et E6 sous la forme de formules du calcul des proposi--
tions dépendant de L 4, L5 , L6.

II.F - En déduire la ou les valeurs possibles des variables propositionnelles L 
4 ,
L5 et L.,.

Les ingénieurs crétois avaient conçu des équivalents mécaniques de nos portes
logiques actuelles AND, OR et NOT.

A chaque porte est ainsi associé un circuit prenant en entrée les positions des
trois leviers et donnant en sortie VRAI ou FAUX respectivement pour ouvrir ou
non la porte.

II.G - Construire, en les justifiant, les circuits permettant de réaliser les 
opéra--
tions d'ouverture des portes, en fonction des réponses successives données.

Afin d'éviter que quelqu'un puisse réussir à sortir en testant successivement
toutes les possibilités, les ingénieurs ont installé un système qui fonctionne 
de
la manière suivante :

0 dès que les trois leviers de la première porte ont été positionnés, la porte
s'ouvre et les positions de ces trois leviers sont mémorisées, que ces positions
soient correctes ou non ;

0 la seconde porte ne s'ouvre que si les positions des six leviers sont 
correctes ;
sinon le candidat est orienté vers une voie définitivement sans issue.

Les crétois disposent à cette fin d'un circuit mémoire à deux entrées et une 
sortie

telle que le couple ( l, 0) enregistre la valeur VRAI (ou 1) et (O, 1 ) la 
valeur FAUX
(ou 0).

II.H - Proposer un circuit permettant de réaliser cette opération.

II.I - Utiliser ce circuit mémoire pour connecter les deux montages de la ques-
tion II.G et réaliser un circuit unique ouvrant dans tous les cas la première
porte, puis la seconde uniquement si toutes les réponses ont été correctes.

Après la réussite aux deux premières épreuves, le couloir débouche sur une troi-
sième porte, sur le fronton de laquelle est écrit : « la position des trois 
derniers
leviers, l'un au moins n'étant pas sur « 0 », permet au nombre, écrit en 
binaire,
formé par les neufs leviers d'être divisible par 7 ».

II.J - En déduire la ou les positions possibles des leviers L7 , L8 et L9.

Pour vérifier si la réponse donnée est acceptable, les ingénieurs utilisent un
automate fini. L'alphabet est A = {O, I } . Les mots sont les écritures 
binaires des

nombres, en commençant par le bit de poids fort. L'automate 32% est donc décrit
par la structure  où :

° Q est un ensemble non vide appelé ensemble des états de M ,

0 A est l'alphabet,

0 E est un sous-ensemble de Q x A x Q appelé ensemble des transitions de % ,
0 I est un sous-ensemble de Q appelé ensemble des états initiaux de % ,

° T est un sous-ensemble de Q appelé ensemble des états terminaux de 32% .

On représente graphiquement l'automate 52% de la façon suivante :

° un état p est figuré par un cercle marqué par p :

- le fait que p & I est représenté par une flèche sans origine entrant dans
le cercle marqué par p :

- le fait que p & T est représenté par un double cercle autour de p ;

° une transition ( p, a, q) E E est représentée par une flèche allant de l'état 
p
vers l'état q et étiquetée par la lettre a .

II.K - Si les écritures binaires de n et n' sont n : b,b2...bk et n' : 
b,b2...bkbk+l
(bl étant le bit de poids fort), déterminer le reste de la division de n'
par 7 connaissant le reste de la division de n par 7 .

II.L - Déterminer les différentes transitions possibles entre les différents 
états
de l'automate.

II.M - Construire, en justifiant avec soin, un automate testant la divisibilité
par 7 . On rappelle que les trois bits de plus faible poids ne peuvent pas être 
tous
les trois nuls.

II.N - Modifier l'automate précédent pour tester la conformité des solutions
proposées pour les leviers des trois portes.

ILO - Appliquer l'automate pour vérifier la solution proposée pour les leviers
des trois portes.

ooo FIN ooo