Mines Physique 1 PSI 2022

A2022 --- PHYSIQUE I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2022 -- filière PSI

Fourier dans tous ses états

Ce problème traite de quelques applications de l'analyse de Fourier à la 
physique. Il comporte 3
parties largement indépendantes. La première partie est consacrée à l'étude de 
l'échantillonnage
d'un signal électronique. La deuxième partie aborde le filtrage acoustique à 
travers l'étude de la
transmission d'une onde sonore par une paroi mobile. La troisième partie 
présente l'expérience
originelle de Joseph Fourier de l'étude des phénomènes de diffusion thermique 
le long d'un
anneau de fer torique. C'est notamment cette expérience qui lui à permis 
d'introduire pour la
première fois la décomposition d'une fonction périodique en séries dites « de 
Fourier ».

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie donner
la valeur numérique avec, au plus, deux chiffres significatifs.

Les vecteurs unitaires seront notés avec un chapeau EUR, ainsi, dans l'espace 
cartésien (0,6,,e,,e,)
un vecteur quelconque à s'écrira à = Gz@x + ayey + 4ze,. On note j le nombre 
complexe tel que
ÿ = 1

Données numériques
-- Masse volumique de l'air : do = 1,0 kg : m *.
---- Capacité thermique massique du fer : c = 4,0 x 102J-kg *.K-1.
-- Masse volumique du fer : ur = 7,9 x 10° kg - m *.
-- Conductivité thermique du fer : À = 80 W-m !-K-{.

_-- Coefficient conducto-convectif à l'interface fer-air : À --=10W:-m ?.K-!

I Analyse de Fourier et échantillonnage d'un signal élec-
tronique

Dans cette partie, on note x(t) -- cos(2r fot) un signal sinusoïdal de 
fréquence f, que l'on
cherche à numériser. Nous étudierons plus particulièrement l'une des étapes de 
la numérisation,
appelée l'échantillonnage, qui consiste à prélever un ensemble de valeurs 
prises à des instants
discrets.

1 -- 1. On s'intéresse tout d'abord à l'opération consistant à multiplier le 
signal x(t) par la
fonction p(t) = cos(2r fit), de fréquence f, > fo. Représenter sur un même 
diagramme
les spectres respectifs des signaux x(t) et x.(t) = x(t) x p(t).

On cherche maintenant à échantillonner le signal x(t). Pour cela, on introduit 
la fonction pé-
riodique w(t) représentée sur la figure 1 ci-dessous. On considère que T'< T},, ainsi le signal ze(t) = x(t) xw(t) n'est différent de zéro que sur des intervalles de temps très courts assimilables à des instants discrets t, = kT, pour k EUR Z. Pour chacun de ces instants, on a x,(t}) = x(ty). On dit que x.(t) constitue un échantillonnage du signal x(t) et on appelle fréquence d'échan- tillonnage la grandeur f, -- T / 1 ue Qi -- 2. Représenter le signal x.(t) pour fe = 4fo, fe = 2fo et fe -- 3 fo. Montrer qualitativement que, dans l'un des cas, le signal échantillonné n'est pas représentatif du signal analogique de départ. Page 1/6 Physique I, année 2022 -- filière PSI LU -- 3. Li -- 4 I -- 5 I -- 6 JU -- 7 0 T. OT. 3T. FIGURE 1 - Signal d'échantillonnage. Du fait de sa périodicité, le signal w(t) est décomposable en série de Fourier, de la forme +00 w(t) = ap + > ax COS(2Tk fet) .

k=1
Représenter, par analogie avec la question 1, le spectre du signal x.(t) = x(t) 
x w(t) pour
4
fe = 4fo puis fe -- 3 fo (on se limitera aux valeurs de k telles que 0 < k < 2). Montrer que, dans l'un des cas, les motifs fréquentiels se chevauchent (on parle de repliement de spectre). En considérant seulement la fenêtre fréquentielle [0, f.|, indiquer autour de quelle fréquence a lieu le repliement. . En s'inspirant des questions 2 et 3, proposer une relation entre f. et fo permettant d'assurer un bon échantillonnage du signal x(t). Cette relation est appelée « critère de Shannon-Nyquist ». . On considère dorénavant un signal temporel X{(t) dont le spectre en fréquence X(f), représenté sur la figure 2, fait apparaître une fréquence maximale f,,,. Que devient le critère de Shannon-Nyquist dans cette situation ? Représenter le spectre du signal échan- tillonné selon que ce critère soit ou non vérifié. Pour un signal sonore audible, proposer des valeurs raisonnables de fax EURt fe. À X(f) VI Z max: X(f)=0 f s TT ? max FIGURE 2 -- Le spectre du signal X est borné en fréquence. . our l'exemple de la question précédente montrer que, lorsque le critère de Shannon- Nyquist est vérifié, un filtrage approprié permet de retrouver le signal analogique de départ. On donnera les caractéristiques du filtre à utiliser. . La durée d'enregistrement d'un CD audio est de At = 75 min. L'échantillonnage se fait à une fréquence f. = 44,1 kHz et avec résolution de 16 bits. De plus, l'enregistrement est fait sur deux voies séparées en stéréo. Déterminer la taille minimale du fichier musical. On donnera le résultat en mégaoctets (Mo), un octet correspondant à 8 bits. Page 2/6 Physique I, année 2022 -- filière PSI II Analyse de Fourier et acoustique On considère de l'air initialement au repos (pression Fj et masse volumique 4). Lors du passage d'une onde sonore, on note P{x,t) = Pi +pi(x,t) la pression de l'air et u(x,t) = Ho + pa(x,t) sa masse volumique. On pose v(xr,t) = vi(x,t)e, la vitesse des particules de fluide. J -- 8. Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique. Donner des ordres de grandeur vraisemblables pour {p.|, [| et [v1| correspondant à un son audible par une oreille humaine. À quel domaine de fréquence appartiennent les ondes audibles ? LJ -- 9. On note y$s le coefficient de compressibilité isentropique. Donner sa définition générale, puis son expression linéarisée dans l'approximation acoustique. Pourquoi est-il pertinent de l'introduire ici? Que mesure-t-il ? Qi -- 10. Établir. en les justifiant, deux autres équations régissant le passage de l'onde sonore, puis les simplifier dans l'approximation acoustique. En déduire que p;(x;t) est solution d'une équation de d'Alembert et exprimer la célérité c, de l'onde en fonction de Y$s et de J. En représentation complexe, on note p. (x, t) = Pim e/® 12) ]a surpression de l'air due à une onde plane progressive monochromatique et on pose v:(x,t) -- D el Jw1-Kt) la vitesse associée des particules de fluide. Cette onde arrive en incidence normale sur une cloison située initialement en æ = (. D -- 11. Déterminer l'expression de Z, en fonction de y et EUR. Comment appelle-t-on cette gran- deur en acoustique ? L'interaction de l'onde incidente avec la cloison donne naissance à une onde réfléchie p (xt) = p efwt+k2) et une onde transmise p,(xit) = p, ete) Donner les expressions de v (x. t) et v,(x,t) en fonction de Z,, p (x t) et p (æ N La cloison, de masse m, de surface $S et d'épaisseur e, vibre en bloc sous l'effet de l'onde sonore de longueur d'onde À >> e. On modélise les efforts exercés sur la cloison par 
le plafond, le sol
et les autres murs par une force de rappel élastique de raideur X. On note X(t) 
= X,,e/"! la
grandeur complexe associée au déplacement de la cloison par rapport à sa 
position d'équilibre
en æ = (.

D -- 12. En traduisant la continuité de la vitesse en x & 0 (au niveau de la 
cloison), déterminer
une relation entre v.,, v.. et vu... Pourquoi peut-on écrire cette condition 
aux limites en
x & 0 malgré le déplacement de la cloison ?

D -- 13. En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la cloison en x 
& 0, montrer que
celle-ci joue le rôle d'un filtre sonore de fonction de transfert

D H
H(ju) = Te = - D
L_ jm 1 + io(e-®)

où on explicitera H5, Q et wn en fonction de m, $, K et Z,. Tracer l'allure de 
la courbe
|H}(w) et discuter le comportement de la cloison sur la transmission des ondes 
sonores.
Que se passe-t-il pour w = wp ?

Page 3/6
Physique I, année 2022 -- filière PSI

D -- 14. On néglige désormais l'élasticité de la cloison. Dans quel cas est-ce 
légitime ? Donner alors
l'expression approchée de H(jw) et commenter le comportement de la cloison. 
Déterminer
l'épaisseur e de la cloison (de masse volumique 4, = 1200 kg : m *) pour que 
l'intensité
sonore soit affaiblie de 40 dB pour une fréquence de 200 Hz.

IIT Analyse de Fourier et diffusion thermique

On considère un matériau homogène assimilable à une répartition 
unidimensionnelle de matière
selon un axe (Ox). On rappelle l'équation de la diffusion thermique 
unidimensionnelle sans
perte et sans terme source, donnant la température T'(x,t) à l'abscisse x et au 
temps t dans le
matériau : )
or _ÈT
Ot Ox°
D -- 15. Déterminer l'expression de la constante D en fonction de la masse 
volumique y, du coef-
ficient de conductivité thermique À et de la capacité thermique massique c du 
matériau
considéré. On pourra raisonner par analyse dimensionnelle. En déduire 
l'expression du
temps caractéristique de diffusion 7 sur une longueur L. Faire l'application 
numérique
pour une diffusion dans le fer sur une longueur L = 50 cm.

Joseph Fourier à étudié la diffusion thermique le long d'un anneau de fer 
torique, de rayon
moyen À -- 16 cm et de section carrée de côté a EUR R. L'anneau est chauffé en 
un point
pris comme origine des angles 0 -- 0 dans une base cylindrique puis on suit 
l'évolution de la
température à différents instants et pour différentes valeurs de l'angle 6.

À Axe de l'anneau

FIGURE 3 -- Géométrie du problème étudié par Fourier : le tore à section carrée.

On notera T(0,t) la température de l'anneau, supposée uniforme sur une section 
droite. On
choisira 0 EUR |--7T; x] et on admettra que, par symétrie, T(--0,t) = T'(,t).

Le flux thermique conducto-convectif 0® sortant à travers une surface dS de 
l'anneau de fer
vers l'air environnant (de température 7, constante) est modélisé par la loi de 
Newton

5 = A(T(8,t) -- T,)dS

dans laquelle le coefficient d'échange thermique À est supposé constant.
On rappelle l'expression du gradient en coordonnées cylindriques :
OT. I10T. OT.

a
gTAdT = --e, + --- EUR + --
Or r
Physique I, année 2022 -- filière PSI

 -- 16. Rappeler la loi de Fourier pour la diffusion thermique. En déduire 
l'expression du vecteur
densité de courant thermique 7:, puis dessiner l'allure des lignes de champ le 
long de
l'anneau, en précisant leur orientation.

Pour établir l'équation décrivant l'évolution de la fonction T(0,t) dans 
l'anneau, on considère
le volume élémentaire dV compris entre deux sections de surface a? de 
l'anneau., repérées par
les angles 0 et 0 + dô.

LH -- 17. Déterminer les expressions approchées de dV ainsi défini et de la 
surface élémentaire dSi,+
de son contact avec l'air. On rappelle que a & R. En déduire que T(0,t) vérifie 
l'équation

À OT 4h OT
Rom at NC

| a À
D -- 18. Donner, en régime stationnaire, et en fonction de 7, R, 0 et de à -- D 
la forme de

la solution T (0). On introduira deux constantes d'intégration À et B sans 
chercher à les
déterminer pour l'instant. Préciser, en le justifiant, la dimension de la 
grandeur 0.

D -- 19. On donne sur la figure 4 l'allure de la représentation graphique 
associée aux solutions
T(8) et j(0) (pour r fixé). On note T1 = T(0 -- 0) la valeur, imposée par le 
chauffage, en
0 -- 0. Commenter ces deux graphes puis les exploiter judicieusement pour 
déterminer,
sur l'intervalle [0, + |, les constantes À et B introduites précédemment, en 
fonction de
Ti, T,, R et Ô. En déduire la solution T(0) sur l'intervalle [0, + r|.

N

1 TT. Jin

TT.

V

VS

FIGURE 4 -- Graphe des solutions : Différence de température à gauche, flux 
thermique surfa-
cique à droite.

j -- 20. Sur les relevés expérimentaux de Joseph Fourier du 31 juillet 1806, on 
lit que deux heures
après le début du chauffage, les valeurs de températures des différentes 
sections de l'anneau
sont stationnaires. Montrer que cet ordre de grandeur était prévisible à 
condition de
supposer le phénomène de diffusion prépondérant en régime transitoire.

C'est en étudiant la diffusion thermique dans le dispositif expérimental décrit 
précédemment
que Joseph Fourier découvrit les séries trigonométriques, dites « séries de 
Fourier ». L'anneau
est chauffé comme précédemment en 0 -- 0 puis enfoui presque complètement dans 
du sable,
excellent isolant thermique. On suppose qu'il n'y a aucune fuite thermique par 
la surface latérale

Page 5/6
Physique I, année 2022 -- filière PSI

de l'anneau une fois que celui-ci est enfoui dans le sable et que la 
température reste de la forme
T(0,t). On s'intéresse toujours au domaine 4 EUR |---x;r|, avec T(--0,t) = 
T'(0,t) par symétrie.

Li -- 21.
Li -- 22.
LU -- 23.

Donner l'équation vérifiée par T'(0,t). On cherche les solutions à variable 
séparée de la
forme 7,(0,t) = f,(0) gn(t). L'interprétation de l'indice n apparaîtra dans la 
donnée de
la condition initiale nécessaire à la résolution complète de l'équation. 
Déterminer les
expressions générales de f,(0) et gn(t) puis montrer que T,(0,t) s'écrit sous 
la forme

RO
T,(O,t) = B, cos (Te) e t/7n,

nn

On donnera la relation entre 7, et d, et on précisera leurs dimensions 
respectives.

À l'instant t -- 0, la température initiale d'une section repérée par l'angle 4 
est une
fonction 76(0), symétrique, de période 27 et dont le développement en série de 
Fourier
est de la forme

To(0) = Tan + 5», cos(n Ô) .

n=l
Les coefficients b,, sont supposés connus. Que représente la constante 7,, ? 
Justifier préci-
sément pourquoi la solution générale T'(0,t) peut se mettre sous la forme

T(0,1) = Tn+ D Ta(bt).
n=1

Expliciter B,, d, et 7, en fonction de b,,, n, R, ui, c et À.

Joseph Fourier remarque, en mesurant la température en fonction du temps en 
différents
points de l'anneau, que T'(0,t)--T,, devient rapidement proportionnel à cos(0). 
Commenter
cette constatation.

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6