Mines Physique 1 PSI 2019

A2019 --- PHYSIQUE I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Physique I, année 2019 -- filière PSI

Physique en arctique

Ce sujet aborde différentes questions relatives aux propriétés physiques 
particulières aux régions
polaires. Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres 
données numériques
nécessaires à la résolution du problème ainsi qu'un formulaire sont regroupés à 
la fin de l'énoncé.

Les exemples seront tous traités dans le cas des régions polaires nord 
(également appelées
arctiques ou boréales). Les notations géographiques usuelles sont également 
rappelées en fin
d'énoncé. Les applications numériques comporteront au plus 2 chiffres 
significatifs.

Les deux parties sont indépendantes.

I. -- Pôles géographiques et magnétiques

Les pôles géographiques sont assez proches des pôles magnétiques; dans tout ce 
qui suit,
on pourra confondre les deux axes reliant les pôles opposés de chaque type. La 
recherche
des pôles magnétiques s'est d'abord appuyée sur la mesure du champ magnétique 
terrestre
(ou champ géomagnétique), et en particulier de sa direction. L'intensité 
croissante du champ
géomagnétique à l'approche des pôles contribue enfin à expliquer un phénomène 
optique spec-
taculaire : les aurores polaires. Les parties LA et [.B sont indépendantes 
entre elles.

La partie I.A est consacrée à la description dipolaire du champ géomagnétique 
(le dipôle disposé
au centre de la Terre et modélisant des courants électriques dans le noyau de 
la planète).
Enfin, la partie I.B décrit quelques propriétés des mouvements des particules 
chargées à l'ap-
proche du pôle nord.

I.A. -- Boussole, champ géomagnétique et dipôle central

Une boussole est formée d'un

aimant permanent, solide en (A)
forme d'aiguille équivalente à
un petit dipôle magnétique
m de norme constante m, la
direction du vecteur m étant
supposée indiquer le nord. =
Cette aiguille aimantée peut

librement tourner autour d'un

axe vertical (A) dirigé par le

vecteur EUR, local et formant un pivot à faible frottement (cf. fig. 1).

FIGURE 1 --- Boussole de navigation

J 1 -- Pourquoi la boussole à l'équilibre indique-t-elle le nord ? Cet 
équilibre est-il stable ?

On note 1 le moment d'inertie de l'aiguille aimantée relativement à son axe de 
rotation (A):
légèrement écartée de sa position d'équilibre (cf. fig. 1), l'aiguille aimantée 
oscille avec une
pseudo-période Tosc.

1 2 -- Montrer que la connaissance de m, T& et Î permet de déterminer une des 
composantes
du champ géomagnétique. Laquelle ?

On étudie un modèle de champ géomagnétique créé par un dipôle magnétique M = 
Me, disposé
au centre © de la Terre (assimilée à une sphère de rayon Àr), l'axe (Oz) étant 
l'axe polaire
géographique dirigé du pôle sud de cet axe vers son pôle nord (cf. fig. 5). On 
rappelle d'une part
qu'un point de la surface est caractérisé par ses coordonnées géographiques & 
(longitude) et
À = 5 --0 (latitude) et d'autre part qu'à l'équateur le champ magnétique 
terrestre est horizontal,
dirigé vers le pôle nord géographique et y a pour intensité B%.

1 3 -- Exprimer, en un point de la surface de la Terre et en coordonnées 
sphériques, le champ
géomagnétique en fonction de 49 (splitéabilité du vide), M et Rr.

Page 1/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2019 -- filière PSI

J 4 -- Préciser le signe de M, puis estimer sa valeur numérique. Quelles sont 
la direction et
l'intensité du champ géomagnétique aux pôles magnétiques nord et sud ?

En un point P de la surface terrestre, on appelle nord magnétique local la 
direction ex du
champ géomagnétique B , projeté dans le plan horizontal, et déclinaison 
magnétique l'angle D
formé par B avec le nord magnétique local: la déclinaison magnétique est 
positive si B est
dirigé vers le haut (vers le ciel) et négative s'il est dirigé vers le bas 
(vers le sol).

J 5 -- Dans l'hémisphère nord, quel est le signe de D? Calculer tan(D) en 
fonction de la
latitude À puis tracer l'allure de la courbe donnant D en fonction de À pour 
toutes les valeurs de
À du pôle sud au pôle nord. Pourquoi lisait-on parfois que les boussoles < s'affolent à proximité des pôles > ? Peut-on déterminer, au moyen d'une boussole, si on se trouve dans 
l'hémisphère
nord ou dans l'hémisphère sud ?

I.B. -- Aurores polaires

Les aurores polaires sont des phénomènes lumineux spectaculaires observables 
sur le fond du
ciel nocturne des régions polaires : des particules chargées issues du vent 
solaire et guidées
vers les pôles le long des lignes de champ du champ géomagnétique y 
interagissent avec la
haute atmosphère. On n'étudie que quelques caractéristiques du mouvement de ces 
particules
à l'approche du pôle nord.

On étudie d'abord le mouvement circulaire de centre O' d'une particule de 
charge q et de masse
m sous la seule influence d'un champ magnétostatique uniforme Bo -- -- Boe,, 
avec Bo > 0. On
pourra utiliser des coordonnées polaires (r,0) dans le plan du mouvement.

J 6 -- Montrer que le mouvement est uniforme et exprimer la vitesse angulaire 
w. du mou-
vement. Le cercle est-il parcouru dans le sens direct ou rétrograde ?

Ce mouvement est équivalent, pour des durées nettement supérieures à 27/w., à 
une boucle

de courant circulaire de rayon r parcourue par un courant (moyen) à associé à 
la rotation
périodique de la charge q. Il s'agit donc d'un dipôle magnétique de moment A.

J 7 -- Montrer que l'énergie cinétique Æ. du mouvement vérifie Æ, -- NT. Bo. 
Pour la suite
de cette partie, on considérera que ce résultat reste applicable, même si Bo 
n'est plus exactement
uniforme.

On étudie maintenant le mouvement d'un proton dans un champ non uniforme, B -- 
-- Bo(z)E, ;
on notera Gm(z) = cu l'intensité du gradient associé. On admet l'expression de 
la résultante
des forces exercées sur cette particule, en fonction du moment magnétique M 
équivalent à son
mouvement moyen : F -- (ii grad } Bo soit aussi À -- Me. Le proton, issu du vent
solaire, s'approche du pôle terrestre nord.

1 8 --À l'approche du pôle nord et en justifiant votre réponse, préciser la 
direction et le sens
des trois vecteurs Bo, M et F. Le proton est-il freiné ou accéléré ?

J 9 -- L'hypothèse G;(z) # 0 est-elle compatible avec l'équation de Maxwell 
assurant la
conservation du flux magnétique le long d'un tube de courant ?

J 10 -- Compte tenu du caractère dipolaire du champ géomagnétique, évaluer 
GA(z) puis
l'accélération d'un proton d'énergie Æ, = 0,50 keV à l'approche immédiate du 
pôle; comparer
aux effets de la pesanteur. Que peut-on en conclure ?

IT. -- La glace de la banquise

L'existence de couverts de glace de grande épaisseur au-dessus des océans 
polaires est bien
sûr une caractéristique remarquable des régions polaires. On étudie ici deux 
propriétés de ces
couverts de glace :

-- quelques propriétés mécaniques d'un traîneau glissant sur sa surface (partie 
ITA):

Page 2/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2019 -- filière PSI

-- un modèle simple de croissance de l'épaisseur de la glace en hiver (partie 
IL.B).

IT. A. -- Un traîneau sur la glace

Un traineau à chiens est un dispositif de masse totale M (le pilote, ou musher, 
est compris
dans cette masse) qui peut glisser sur la surface de la glace avec des 
coefficients de glissement
statique (avant le démarrage) u, et dynamique (en mouvement) Lg.

J 11 -- Les chiens sont reliés au traîneau par des éléments de corde tendus, de 
masse
négligeable et inextensibles. Montrer qu'un tel élément de corde transmet les 
tensions et que
celles-c1 sont colinéaires à la corde.

J 12 -- Le trajet se fait soit à l'horizontale, soit sur une faible pente 
ascendante caractérisée
par l'angle & avec l'horizontale. Montrer que, dans ce dernier cas, tout se 
passe comme dans
un mouvement horizontal sous réserve de remplacer 44 par 4}, que l'on exprimera.

L'intensité de la force de traction totale F exercée par l'ensemble des chiens 
dépend de leur
vitesse v et on adoptera le modèle F = F5 -- Gv où Fi et 5 sont des constantes 
positives. On
prendra les valeurs M = 5,0 x 10° kg, à = 0, puy = 5,0 x 10° et u, = 8,0 x 107%.

1 13 -- Déterminer la valeur minimale de F permet-
tant le démarrage du traineau.

1 14 -- La vitesse du traineau en régime stationnaire ! 2

est vo -- 3m:8s" 1, atteinte à 5% près au bout d'un temps 1

t1 = 5s. Exprimer d'une part £ en fonction de M et {, et | 0
d'autre part F4 en fonction de 5, vo, a, M et g. Calculer | °C

leurs valeurs respectives. |

Toujours à vitesse constante vo, le traîneau aborde une
courbe à plat qu'on assimilera à un cercle de centre O
et de rayon R (cf. fig. 2). Les chiens (modélisés ici en
un seul point C) doivent donc tirer vers l'intérieur du
cercle.

FIGURE 2 - Trajectoire circulaire du
traineau

1 15 -- Déterminer en fonction des données la tension
T' de la corde et l'angle ÿ entre la force de traction et la
trajectoire.

ITI.B. -- Croissance hivernale de l'épaisseur de glace

Pour étudier la croissance de la couche de glace en hiver, on modélise l'océan 
sous la banquise
en formation de la manière suivante (cf. fig. 3) : en profondeur, la 
température de l'eau est
maintenue constante à 71 -- 4°C par les courants océaniques. Sur une hauteur 
constante EUR
sous la banquise, l'eau se refroidit progressivement jusqu'à atteindre 7, -- 
O°C à l'altitude
z = 0 de formation de la glace (on néglige tout effet de salinité de l'eau). La 
couche de glace
a une épaisseur croissante z(t) qu'il s'agit de déterminer ; au-dessus de 
celle-ci, l'air est à la
température constante 72 -- --40°C. On notera À, et À, les conductivités 
thermiques et & et &
les capacités thermiques massiques de l'eau liquide et de la glace, p, et {; la 
masse volumique
et l'enthalpie massique de fusion de la glace ; toutes ces grandeurs sont des 
constantes.

L'épaisseur de glace z,(t) augmente régulièrement du fait de la cristallisation 
de l'eau refroidie
à T0 = OU°C à la base de la couche de glace. Toutes les études pourront être 
faites pour un

Page 3/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2019 -- filière PSI

= --
= __--

_ _
_ _
a

\
Air froid à 75 = --40 C

TS
Ch
7
| |
ke
©
NX !

Glace

Formation de glace à T5 = 0 EUR

Eau refroidie par la glace

= -- -- ----;,

Eau « chaude » à T1 =4 C

= --
_ _
_ --__

_- _
------ _

FIGURE 3 -- L'océan sous la banquise en formation

système défini par un cylindre vertical de surface S'unité (cf. fig. 3) au sein 
duquel les transferts
thermiques unidimensionnels sont régis par la loi de Fourier.

1 16 -- Par une étude des échanges thermiques de l'épaisseur 02 prise à 
l'intérieur de la
glace, établir une équation aux dérivées partielles vérifiée par la température 
T,(2,t) au sein de
la glace.

J 17 -- Déterminer une expression donnant l'ordre de grandeur de la durée At de 
la diffusion
thermique au sein de la glace sur une hauteur Az. Quelle durée doit-on attendre 
afin de pouvoir
considérer que, pour des évolutions assez lentes, la température 7, ne dépend 
pratiquement plus
du temps ? Préciser ce que l'on entend par < assez lentes >.

On se place dans ce cas dans toute la suite : dans l'eau comme dans la glace, 
les répartitions
de température seront supposées quasi-staliques.

J 18 -- Définir et exprimer les résistances thermiques À, et À, pour une aire 
donnée 5, des
couches de glace et d'eau refroidie sous la glace.

Les transferts thermiques à travers la surface supérieure de la banquise sont 
décrits par la loi
de Newton des transferts pariétaux (radiatifs et convecto-conductifs) : la 
puissance échangée
par unité d'aire de cette surface vérifie [P,,| = h|T, -- Ti] où T, est la 
température au sommet
de la couche de glace; le coefficient À > 0 de la loi de Newton est supposé 
connu et constant.

1 19 -- Exprimer la résistance thermique R;, pour une aire $, de l'interface 
entre l'air et la
glace.
J 20 -- Montrer que le régime quasi-permanent de croissance de la couche de 
glace peut être

décrit par le schéma électrique équivalent de la figure 4 et préciser 
l'expression du < courant > ®
du < générateur de courant > en fonction notamment de {r, p, et de la vitesse 
de croissance

__ d?æ
VU -- à
1 21 -- En électricité, connaissez-vous un dispositif D permettant d'assurer 
une différence
de potentiel nulle sans appel de courant ? Si oui, comment faut-il le brancher 
? En thermody-
namique, pour quelle raison la différence de température aux bornes de D 
est-elle maintenue

nulle ?

de la couche de glace.

1 22 -- Établir l'équation différentielle vérifiée par z(t). On suppose que 
pour toutes les

valeurs de t considérées on a < > SE + F en déduire la loi d'évolution de 
l'épaisseur de la
8

Àe
couche de glace sous la forme 7, [{2,(t) + 22(t)] = lt où l'exprimera les 
grandeurs 7, et {, en

Page 4/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2019 -- filière PSI

Re Re hi
TT 12:
4 C To D: Ty = --40 C
| de To = 0° C
--L

FIGURE 4 -- Circuit électrique équivalent à la croissance de la couche de glace

fonction des paramètres du modèle. L'instant { -- 0 correspond au début de la 
formation de la
banquise.

J 23 -- Tracer et commenter l'allure de la courbe donnant Ze en fonction de t. 
On montrera
notamment l'existence de deux régimes successifs.

Données et formulaire utiles pour l'ensemble du sujet

Données numériques et constantes fondamentales

Champ magnétique terrestre à l'équateur Br = 3.0 x 10 °T

Charge élémentaire e = 1.6 x 10 C

Durée du jour solaire moyen To = 24h = 8,6 x 10*s
Intensité du champ de pesanteur Jo = 9.8m:s *À

Masse du proton mp = 1,7 X 107% kg

Masse volumique de l'eau liquide à 4C pe = 1.0 X 10° kg : m *
Perméabilité magnétique du vide uo = 47 x 10 TH:-m !
Rayon terrestre Rr = 6,4 x 10° km

Viscosité dynamique de l'eau liquide à 4C mm = 1,6 x 10 *kg:m ls"!
Logarithme népérien du nombre 20 In(20) = 3,0

Lois de Coulomb du glissement

Lors du glissement d'un solide à la vitesse v sur un support, la réaction du 
support se décompose
en une composante tangentielle T' colinéaire et opposée à v et une composante N 
normale au
support. Dans le modèle de Coulomb, le coefficient de glissement dynamique 
correspond au

ana = (|

Lorsque cette vitesse est nulle, le solide adhère au support et l'on a N|! où 
Us est

F] < Us appelé coefficient de glissement statique. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2019 -- filière PSI Coordonnées sphériques et géographiques On notera (Ozxyz) les axes cartésiens associés à la base orthonormée et directe (EUR,,EUR,,e,). Les coordonnées sphériques d'un point P sont notées (r, 0,4) avec la base locale associée (e,., 69, EUR), cf. fig. 5 à gauche. On note aussi & (longitude) et À la latitude d'un point P de la surface terrestre ; le point À est situé sur l'équateur dans le méridien origine (4 = 0) ; celui-ci passe par l'observatoire de Greenwich G, cf. fig. 5 à droite. Pôle Nord géographique E Pôle Sud: T géographique FIGURE 5 -- Coordonnées sphériques et géographiques Données et formules relatives aux dipôles magnétiques Le champ magnétique créé par un dipôle de moment dipolaire M placé à l'origine © des coordonnées est donné au point P par : SR(M-R)- RM B(P) = où R=OP et R=|\À| AT RS Les interactions d'un dipôle magnétique rigide de moment dipolaire m _Soumis à un champ magnétique extérieur B sont décrites par l'énergie potentielle E,, -- --m : B et par le couple des actions électromagnétiques L'= mA B. FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6