Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2018

 

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cnucuuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

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Trains a sustentatz'on électromagnéüque

Un train à sustentation magnétique utilise les forces magnétiques pour léviter 
au dessus de la voie ; il n'est donc
pas en contact avec des rails, contrairement aux trains classiques. Ce procédé 
permet de supprimer la résistance
au roulement et d'atteindre des vitesses élevées.

Il existe actuellement deux types de trains à grande vitesse a sustentati0n 
magnétique :

-- un train à sustentati0n électromagnëtique dans lequel le train lévite par 
attraction grâce a des aimants
(Transrapid développé en Allemagne) ;

-- un train à sustentati0n électrodynamique dans lequel le train lévite par 
répulsion grâce aux courants de
Foucault induits par le déplacement du train (SCMaglev développé au Japon).

La seule réalisation commerciale du Transrapid est a l'heure actuelle la ligne 
de 30 kilomètres qui fonctionne
depuis 2004 entre Shanghai et son aéroport international de Pudong. Le trajet 
s'efiectue en moins de 8 minutes,
a la vitesse moyenne de 245 km/h. Sur ce parcours le train atteint la vitesse 
de 430 km/h, il a la capacité
d'accélérer de 0 a 350 km/h en 2 minutes.

La première version commerciale du SCMaglev doit relier en une heure Tokyo et 
Osaka, distantes de 400 km à
vol d'oiseau. L'ouverture du premier tronçon de la ligne (Tokyo--Nagoya) est 
prévu en 2027 avec une vitesse de
pointe sur le parcours de 505 km/h. En 2015 une rame de test de sept voitures a 
atteint la vitesse de 603 km/h,
établissant ainsi l'actuel record de vitesse pour un train.

Transrapid SCMaglev
Figure 1

Nous étudions ici quelques aspects du fonctionnement de ces trains, en 
accordant -- sauf en partie I -- une
attention particulière au Transrapid.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la
part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le 
candidat sur sa copie; si elles sont
pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps 
nécessaire pour explorer ces pistes et
élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.

Des données utiles, un formulaire et deux annexes sont regroupés en fin 
d'énoncé.

2018-02--15 17:07:02 Page 1/6 lQ:C_ ». BY--NC-SA

I Réalisation d'un champ magnétique intense

Dans le système a sustentation électrodynamique (SCMaglev), un champ magnétique 
est créé par des bobines
supraconductrices placées dans le train en mouvement. Le constructeur indique 
que pour faire léviter le train
le champ magnétique produit doit dépasser la valeur de 4 teslas.

Q 1. Expliquer pourquoi il n'est pas possible de réaliser un tel champ 
magnétique avec un solénoïde constitué
d'un fil résistif. Pour répondre a cette question, vous pourrez vous appuyer 
sur les données fournies en annexe 1.
Vous préciserez clairement les différentes étapes de votre raisonnement.

On se propose d'évacuer la puissance produite par la bobine avec un 
refroidissement à eau.

Q 2. Proposer une valeur maximale acceptable de la différence de température 
entre la bobine et l'eau. En
déduire la valeur minimum de la surface de contact entre la bobine et l'eau.

Q 3. Quel débit d'eau faudrait--il assurer pour évacuer la puissance thermique 
produite par la bobine '?

Q 4. Commenter et conclure quant a la faisabilité d'un tel refroidissement.

Q 5. En quoi l'utilisation de bobines supraconductrices permet--elle la 
création de champs magnétiques très
intenses ?

II La sustentation électromagnétique du Transrapid

II.A -- Modélisation du champ magnétique dans l'entrefer

La figure 2 présente la rame du Transrapid sur son rail et, dans un plan de 
coupe, le détail du système de

sustentation. Ce système est constitué d'un électroaimant dont le circuit 
magnétique est composé :

---- d'une portion de rail (l) en matériau ferromagnétique doux de splitéabilité 
relative [LT ;

---- d'une portion (2) solidaire de la rame, constituée du même matériau 
ferromagnétique, sur lequel sont bobinées
N spires alimentées par un courant d'intensité i(t).

Les deux portions sont séparées par un entrefer de largeur 2 variable. La 
section S du matériau ferromagnétique

dans les portions (l) et (2) du circuit magnétique est supposée commune aux 
portions (l) et (2), constante

le long du circuit magnétique et carrée de côté a : S : a2. (C) est une ligne 
de champ magnétique du circuit

(figure 2).

Ligne de champ (C)
\

Portion ( l) --

Portion (2) "

Alimentation
Rail électroaimant

Vue de face Système de sustentation (demi--coupe)

Figure 2 Transrapid et son système de sustentation
Les hypothèses d'étude sont les suivantes :
---- les milieux ferromagnétiques sont supposés doux ;

* on néglige les pertes par courants de Foucault ;
---- toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique.

2018-02--15 17:07:02 Page 2/6 GC) BY--NC-SA

On note :

-- Ë1 le champ magnétique dans la portion (1) ;

-- Ë2 le champ magnétique dans la portion (2) ;

-- Ëa le champ magnétique dans les entrefers ;

-- z la largeur, variable, des entrefers entre les deux portions 
ferromagnétiques du circuit magnétique (l'origine
0 sur l'axe descendant (O, üOE) est choisie sur le rail fixe) ;

-- EUR la longueur moyenne de la partie de la ligne de champ (C) située à 
l'intérieur des portions ferromagnétiques
(1) et (2) du circuit.

II.A.1)

Q 6. Définir l'excitation magnétique Ë et donner l'expression reliant le 
vecteur Ü au champ magnétique Ë
dans la matière et a l'aimantation A7 de la matière.

Q 7. Rappeler les équations de Maxwell valables dans un milieu ferromagnétique 
dans le cadre de l'approxi--
mation des régimes quasi--stationnaires (ARQS).

II.A.2)

Q 8. Quelle propriété vérifie le flux du champ magnétique dans le circuit 
magnétique ?

Q 9. En déduire les relations liant Ë1, Ë2 et Ëa.

Q 10. À quelle condition, supposée vérifiée ici, les lignes de champ 
restent--elles parallèles dans l'entrefer '?

Q 11. Rappeler les caractéristiques d'un milieu ferromagnétique doux.
Q 12. Quelle relation lie alors le champ magnétique Ë et l'excitation 
magnétique [? dans un tel milieu '?

Q 13. Définir la splitéabilité relative et en donner un ordre de grandeur pour 
un milieu ferromagnétique

Q 14. Écrire le théorème d'Ampère sur le contour (C).
Q 15. En déduire B2 en fonction de EUR, 2, N, i, po et ,ar.
Q 16. Simplifier cette écriture en utilisant la question 12.

II.B * Lévitation par attraction

On rappelle que la force électromagnétique s'exerçant sur une partie mobile 
d'un circuit magnétique, parcouru

% 8E
par un courant d'intensité i, en translation suivant la direction üz s'écrit ch 
: < 8 ...) üz où Em est l'énergie Z . Z magnétique. N 25 Q 17. Montrer que l'inductance propre L(z) du bobinage peut s'écrire sous la forme L(z) : #02 . 2 Q 18. Rappeler l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine d'inductance L(z) parcou-- rue par le courant d'intensité i(t). Q 19. En déduire la force électromagnétique F " v @... s exerçant sur la rame. Q 20. Calculer la masse m qui peut ainsi être mise en sustentation a une distance 6 = 10 mm du rail pour un électr0aimant alimenté avec un courant d'intensité ie : 10 A. Q 21. Une rame a une masse d'environ 180 tonnes. En déduire le nombre d'électroaimants nécessaires pour la sustentation de la rame. On donne : N = 1000, S = 0,50 m2. Q 22. Montrer que le système de sustentation électromagnêtique est instable. III Capteur de position L'instabilité de l'équilibre de la rame en sustentation nécessite l'asservissement en position de l'entrefer. Cet asservissement est réalisé en utilisant un capteur de position. On se propose dans cette partie d'étudier le principe d'un capteur de position à inductance variable. III.A * Capteur à entrefer variable « push-pull » La figure 3 décrit le schéma de principe d'un capteur inductif a entrefer variable dans un montage « push--pull ». Le capteur comprend un circuit magnétique composé d'un noyau solidaire du rail fixe et de deux bobines B1 et B2 sur deux noyaux ferromagnétiques en vis--à--vis, solidaires de la rame. Les bobines B1 et B2 du capteur sont identiques et placées de façon symétrique par rapport au rail lorsque la rame est à l'équilibre (figure 3 a gauche). Ces bobines B1 et B2 sont indépendantes des bobines assurant la lévitation. Elles sont constituées de NC spires de surface S'. 2018--02--15 17:07:02 Page 3/6 (GQ BY--NC-SA Rail --> Rame

lêîÊ.Ê.Ëfêêfi (<<<<<<<<< 2, l \ Montage à l'équilibre Montage hors équilibre Figure 3 Q 23. Écrire l'inductance LEUR des bobines B1 et B2 lorsque la rame est à l'équilibre. On envisage une variation Az de la position du train par rapport a la position d'équilibre zEUR : 6 (figure 3 a droite)7 en considérant Az << 6. Q 24. Écrire les inductance L1 et L2 de chacun des bobines B1 et B2 en se limitant au terme du premier ordre en Az/ô. III.B -- Mesure des variations d'inductance Les bobines B1 et B2 sont alimentées par un générateur délivrant une tension électrique e(t) : E cos(wt), de pulsation tu, en série avec une résistance R (figure 4). On néglige ici les résistances des deux bobines. R L1 L2 ... e(t) Î() U1(Ë) U2(Ü &&Y &®Y Figure 4 Alimentation du capteur 25. Déterminer les expressions des tensions électriques complexes @ et g en fonction de R, L , L . w 1 2 1 2 et @. Ces tensions sont placées à l'entrée du montage présenté figure 5. L'ALI est supposé idéal en fonctionnement linéaire. R2 1 U R --s àW &" Ï\\® sW Figure 5 Montage soustracteur Q 26. Montrer que la tension électrique de sortie du montage peut s'écrire sous la forme gs : K (u -- u ) où K est une constante que l'on déterminera en fonction des composants du montage. u . Q 27. Exprimer la fonction de transfert complexe I(jw) sous la forme I(jw) : ls : TOM--WO) EUR 1 + j(w/w0) où T0 et wo sont des fonctions de Le, R, Az et 6, que l'on déterminera. Q 28. Tracer le diagramme de Bodo asymptotique de I(jw). Q 29. De quel type de filtre s'agit-il ? 2018-02--15 17:07:02 Page 4/6 (66 BY--NC-SA Q 30. Quelle est la signification de la pulsation Wo '? Q 31. Dans quelle gamme de fréquences doit--on travailler pour que I(jw) soit indépendant de w et propor-- tionnel au déplacement de la rame ? On a R : 750 Q, Le : 60 mH et une fréquence d'utilisation f : 4 kHz. A Q 32. Montrer que le signal de sortie peut se mettre sous la forme us (1%) : E--Z cos(wt + 
\W ÂW \\W

Figure 6 Multiplieur analogique

Q 34. Exprimer la tension électrique sm(t) a la sortie du multiplieur et donner 
sa décomposition spectrale.
Préciser le terme représentatif de la position 2 de la rame.
Q 35. Quel montage doit--on placer à la sortie du multiplieur pour récupérer 
une tension continue S... pro--
portionnelle au déplacement Az ? Préciser la nature et les caractéristiques de 
ce montage.
AS...

Az '
Q 37. Application numérique Le capteur permet de mesurer la tension de sortie a 
10 mV près. En déduire le
plus petit écart relatif mesurable par rapport a la position d'équilibre. On 
prendra E = 6,00 V, Km : 1,00 V*1.

Q 36. Exprimer la sensibilité du capteur définie par

IV Energétique du Transrapid

Q 38. En vous appuyant sur les documents fournis (annexes 1 et 2), évaluer les 
puissances consommées par
le Transrapid et par un train conventionnel sur rail lorsqu'ils circulent à 300 
km-h'1. Discuter de la pertinence
du dispositif Transrapid.

Le constructeur indique que la distance de freinage du Transrapid est de 3,6 km 
a 300 km'h'l.

Q 39. En déduire la puissance de freinage, supposée constante au cours du 
freinage, en négligeant la trainée
aérodynamique du train devant la force de freinage.

On pourra établir la loi de variation de la vitesse du train en fonction de la 
distance æ parcourue à partir
du début du freinage.

Q 40. Toujours dans la même approximation, calculer la valeur moyenne de la 
puissance de la trainée aé--
rodynamique du train pendant la durée du freinage et la comparer a la puissance 
de freinage déterminée à la
question précédente.

Q 41. Commenter la qualité de l'approximation utilisée.

Données et formulaire

Perméabilité magnétique du vide po : 47r >< 104 HmÏ1 Permittivité diélectrique du vide 80 = 8,854 >< 10f12 Emil Charge élémentaire @ = 1,602 >< 1049 O Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9,8 m-sf2 Capacité thermique massique de l'eau liquide cEUR : 4,2 kJ-kgfl'Kf1 Loi de Newton du transfert conducto--convectif entre un solide et un fluide P : hSAT où Pest la puissance thermique échangée, S la surface de contact solide--fluide et ATla différence de température entre la surface du solide et celle du fluide très loin du solide. Pour le coefficient de transfert thermique conducto-- convectif h, on prendra ici h % 100 W'mfg'Kfl. 2018-02--15 17:07:02 Page 5/6 GC) BY--NC-SA Caractéristiques du solénoi'de Annexe 1 Diamètre D Longueur L Nombre de spires N Diamètre du fil de cuivre d 0,2m 0,5m 10000 2,0 mm Données sur le cuivre Masse volumique ,a = 8,96 >< 103 kgmÎ3 Capacité thermique massique c = 385 J-kgf'-1Y1 Résistivité électrique p : 1,68 >< 10Î8 Q'm Température de fusion Tf : 1356 K Annexe 2 Données comparatives Transrapid * TGV Transrapid TGV duplex Masse (tonnes) 190 390 Nombre de places 310 510 Longueur (m) 79,7 200 Puissance d'une motrice (kW) 8800 Composition du train 3 voitures motrices motrice * 8 voitures -* motrice Type de moteur Moteur synchrone linéaire Moteur rotatif asynchrone embarqué dans la motrice OE Alimentation Sous--stations réparties sur la voie Caténaire Section aérodynamique (m2) 11 12 C 0,24 0,35 D'après « Techniques de l'ingénieur * Ingénierie des transports | Systèmes ferroviaires » Le Transrapid fonctionne avec des moteurs linéaires synchrones dont les bobinages « inducteurs » sont disposés le long de la voie. Les bogies d'articulation des rames comportent l'ensemble des « induits » de motorisation. Les constructeurs ont également combiné, sous les voies, les électroaimants de support vertical et le guidage. La résistance à l'avancement du train due au contact sur les rails horizontaux et alignés est définie par une action tangentielle, opposée au mouvement, dont la norme HÎH peut s'écrire sous la forme l|ÎH : u(V)H1VH où Vest la vitesse du train, ]V la composante de la réaction normale du rail sur le train et u(V) le coefficient d'adhérence dont la forme est donnée figure 7. 0,25 0,2 /L 0,05 -- Rails secs -- -- -- Rails humides ------- Feuilles mortes Figure 7 Adhérence maximale sollicitable pour un train à grande vitesse en fonction de la vitesse et de l'état du rail oooFlNoco 2018-02--15 17:07:02 Page 6/6 (cc)--