Mines Maths 2 PSI 2020

A2020 --- MATH II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Caractérisation et exponentielle des matrices normales

Notations

-- n désigne un entier naturel non nul.

-- M, désigne l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille (n,n), 
dont la matrice unité est
notée J,.

-- E,, désigne l'espace vectoriel des matrices réelles de taille (n, 1) 
(matrices colonnes). On le munit
de son produit scalaire usuel et de la norme (euclidienne) associée définis par 
:

(X]Y) ='!XY et |X| = VIXX
-- Pour À EUR M, on note 'A, la transposée de À.

-- S, (respectivement 4,) désigne le sous-espace vectoriel de M,, constitué des 
matrices symétriques
(respectivement antisymétriques) de M.

-- On ={AE My, AA =--1I,} est le groupe orthogonal d'ordre n.
-- SO, = {AE O,, det(A) = 1} est le groupe spécial orthogonal d'ordre n.

-- Pour tout 0 EUR R, on note R(4) = Re nr) et S(4) -- Re n° 1

On rappelle que SO2 = {R(0), 0 E R} et Où = SOU {S(8), 0 ER}.

Définition 1 Une matrice À de M,, est dite normale lorsqu'elle commute avec sa 
transposée, c'est-a-

dire lorsque A'A = 'AA.

Définition 2 À EUR M, est dite orthogonalement semblable à B EUR M,,, s'il 
existe Q EUR ©, tel que
B ='QAQ. (On pourra noter en abrégé : À est ORTS à B)

Objectifs

-- Dans un premier temps, ce problème vise à établir que, pour une matrice À 
EUR M,,, les quatre
conditions suivantes sont équivalentes :

(C1) Il existe un polynôme P à coefficients réels tel que '4 = P(A).
(C2) La matrice À est normale.
(C3) Pour tout X EUR E,, ['AX| = [AX ||.

(Ca) La matrice À est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par 
blocs, dont
chaque bloc diagonal est :

-- soit de taille (1,1),
-- soit de taille (2,2) du type rR(8), où (r,0) EUR RY X R.

-- Dans un second temps, on définit et caractérise l'exponentielle d'une telle 
matrice.

On pourra utiliser, sans démonstration, les deux résultats suivants :

Théorème 1 Tout endomorphisme de R" admet au moins une droite ou un plan stable.

Théorème 2 Si À EUR M, et B EUR M, sont telles qu'il existe Q EUR O, vérifiant 
B = QAQ, alors, pour
tout polynôme P à coefficients réels, on a P(B) = 'QP(A)Q.

|. Question préliminaire

1. Montrer que la relation ORTS est une relation d'équivalence sur M.

Il. Exemples

2. Montrer que les éléments de S, vérifient les conditions (C1), (C2), (C3) et 
(Ca), et que ceux de
À, vérifient les conditions (C1), (C2) et (C3).

3. Montrer que les éléments de ©, vérifient les conditions (C2) et (C3).

4. Dans cette question seulement, on suppose n -- 2.
Montrer que les matrices rT', où r > 0 et TE Où, vérifient les conditions (C1) 
et (Ca).

11. Deux premières implications

Soit AE M,.

5. Montrer que si À vérifie la condition (C1), alors À vérifie la condition 
(C2).

6. Montrer que si À vérifie la condition (C2), alors À vérifie la condition 
(C3).

IV. La condition (C3) implique la condition (C4)

Dans cette question seulement, on suppose n = 2 et soit À -- F ' E Ma vérifiant 
la condition (C3).
7. Montrer que c = b ou bien (b Æ 0 et c = --b et a = d).
1 1
On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs 6 et l de FE).

En déduire que À vérifie la condition (C4).
Dans toute la suite de cette partie, on se donne À EUR M, vérifiant la 
condition (C3).

8. Montrer que, pour tout réel À, la matrice À -- À, vérifie (C3).
9. En déduire que À et 'A ont les mêmes sous-espaces propres et qu'ils sont 
deux à deux orthogonaux.

10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et 
suffisante sur la matrice
À pour qu'elle soit diagonalisable.

A
0  A2|°

11. Pour n > 3, montrer que À est orthogonalement semblable à une matrice du 
type | où

A, EUR M, et A EUR M, vérifient (C3), avec p EUR {1,2}.
On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à A 
vérifie (C3).

12. Montrer que si À vérifie la condition (C3), alors À vérifie la condition 
(C4).

V. La condition (C;) implique la condition (C:)
Soit Z = {z1,...,2n}, une famille de n complexes deux à deux distincts.

13. Établir l'existence d'un unique polynôme P de C,_1[X] tel que :
VkE {1,...,n}, P(2x) = %

On suppose de plus que, pour tout k EUR {1,...,n}, zx EUR Z.
Montrer alors que le polynôme P est réel.

Soient (r,9) EUR R° x R et P EUR R[X] tel que P(re?) = re".

14. Montrer que P(rR(4)) = '(rR()).
Lorsque sin 0 Æ 0, on pourra utiliser la division euclidienne de P par le 
polynôme caractéristique X

de la matrice rR(0) de M.

15. Montrer que si À EUR M, vérifie la condition (C4), alors À vérifie la 
condition (C1).

VI. Exponentielle d'une matrice normale

k k
kO kO
-- F7 -- col Let NS sr ) convergent et calculer

kEN kEN

16. Pour tout (r,0) EUR R* XR, montrer que les séries ÿ°

leur somme.

L'espace vectoriel M,, est désormais muni de la norme ||.| définie par :

VA = (A; ;higi jen EUR Mn: Al = max |A,

1 0

-- soit du type aR(B) EUR M, avec a > 0 et BER.

On note S;°* l'ensemble des matrices symétriques de M, à valeurs propres 
strictement positives, et FÆ,
l'ensemble des matrices B de M,, vérifiant les deux conditions :

-- Jes valeurs propres négatives de B sont de multiplicité paire

-- ilexiste SE ST et T EUR SO, telles que B = ST =TS.

21. Démontrer que Exp(£h) = Fh.

22. La matrice B = (B;;) EUR M, définie par :

p..-hll sil