Mines Maths 2 PSI 2013

A 2013 MATH II PSI

ECOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQ UES II _ PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

La formule du triple produit de J acobi

On note N l'ensemble des entiers naturels, N* l'ensemble des entiers naturels 
non
nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs, C l'ensemble des nombres complexes et 
C*
l'ensemble des nombres complexes non nuls.

Si a,,, n > 1 est une suite numérique, on note H+oe n_, a,, la limite (si elle 
existe) de
la suite A,, =Hk=1 a;,-- -- a1a2. .a,,_1a,,.

L'expression : i = 1, m signifie "pour tout i entier tel que 1 S i $ m."
Soit { E C, on rappelle que si 9%Ç > 0, alors ArgÇ : Arc tg ("im Ç/ fie Ç) .

Dans tout ce problème ?: notera un nombre complexe non nul et a: un nombre réel
tel que la:l < 1. 1 Préambule Question 1 Soient OEk)ng une suite dans C et n E N, démontrer par récurrence que 'n H(1+g,,) )--1 k=1  1 quand a: --> 
0.

On pose
F (a:,z) : H (33,2) H (a:,z_1) . (3)

Question 7 Montrer que

F (a:, a:z) : (1 + 75--2371) H( (1 + 22.95%") )H( (1 + z_2æ2k_l)
k= 1 k= 1
et en déduire que a:z2F (a:, 332") = F (a:, z) .
On admettra que F (a:, 2) se décompose de façon unique sous la forme suivante :
F (3372) = F1(ffaz) + F2 (337771)?

où pour a: fixé, F1 (33, EUR ) et F2 (33, EUR ) sont les sommes respectives de 
deux séries entières
de rayon de convergence infini, soit

+OE> +OE>
F1<æ,o = 2% (a:) EUR" et F2 (a:,o = Za_k (as) e ; k=0 k=1 les fonctions al,, k = 0, +00 et a_k, k = 1, +00 de la variable réelle 3: étant a valeurs dans C. On notera + F(a:,z) : Z ak (a:)z'", Z E C*. (4) k=--OED Question 8 On pose F{' (a:, z) : ZZ=0 ak (a:) z'"". Démontrer que a0 (33) : F1 (a:, 0) et que, pour n 2 O, an+1 (a:) : 1irnz_>0 (F1 (a:, z) -- F1" (a:, z)) /zn+1.

Question 9 En déduire que si F (a:, z) vérifie a la fois (4) et F (a:, z) : 
k__OO dk (a: )Z'": ,
alors Vk EUR Z les fonctions ak et dk sont égales, c'est--à--dire que les 
coefiîcients ak(a: )
dans l'eæpression (4) de F (a:, 2) sont déterminés de façon unique.

Question 10 Montrer qu'il eoeiste des fonctions b..., m EUR Z, de la variable 
réelle a:, à
valeurs dans C, telles que

VzEC", =Îb...(oe

m=--oo

Question 11 A l'aide de la question 7, montrer que Vm EUR Z, b... (a:) : b..._1 
(a:) a:2m_1.

Question 12 Montrer que Vm E N, b... (a:) = b_... (a:) et donner l'eæpression 
de b... (a:)
en fonction de 190 (a:) et 33.

Question 13 A l'aide de l'inégalité (1) démontrer que H (a:, 2) + 1 quand a: + 
0.
Question 14 En déduire que 190 (a:) + 1 quand a: + 0.

On pose
P (a:, z) = Q (33) F (a:, z) et 77 : e'fi/4. (5)

Question 15 Montrer que

=ñ(1--OE4k)ñ(l--ætk ' )(fi 1+æ4k 2)
k=1 k=1 k= 1

3

uestion 16 En déduire ue P a: = P 334 i .
Q q ,77 ,

On pose c... (a:) = Q (33) b... (a:) .

Question 17 A l'aide de la question 16 et de l'eacpression de b... (a:) de la 
question
12, montrer que c0 (334) : co (33) .

Question 18 En utilisant une récurrence et a l'aide des questions 14 et 6, en 
déduire
que pour tout a: E ]--1, 1[, co (33) = 1 et la formule du triple produit

00 00 00 +00
H( (1 -- 332 )(H (1 + z2332'"' 1) )H( (1 + Z_2OE2k_l) : î: oem2z2m. (6)
k= 1 k=1 k= 1

m=--oo

3 Le nombre de partitions d'un entier

Question 19 En posant a:- -- t3/2 et par un choice judicieuæ de % déduire la 
formule
des nombres pentagonaux d'Euler .

00 +00
H (1 --tm> = 2 <--1>W<3r+m>/ï te R. o 5 t < 1. ... m=1 m=--oo de celle du triple produit (6). Si n est un entier positif? on note p (n) et on appelle nombre de partitions de n le nombre de façons de représenter n comme une somme d'entiers positifs sans prendre en considération l'ordre des termes ; c'est encore le nombre de solutions (r1,r2, . . . ,rn) E (N*)" de l'équation 'ÏL er=n, telles que r1 Zr22 . >rn> 1. (8)

j=1

On aura par exemple p(3) : 3 car 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, partitions que l'on
représente sous la forme des trois diagrammes de Ferrer suivants :

On note & l'ensemble des solutions de (8). On note également 32 l'ensemble des
solutions (q1, q2, . . . ,qn) E (N*)" de

2ij = n- (9)

On note f l'application (N*)" % (N*)" définie par f (ch, (12, . . . ,qn) : 
(r1,r2, . . . ,rn)
OÙ. 7°j : ZÎ=j %-

Question 20 En s'atdant de l'application f, démontrer que 31 et 32 comportent le
même nombre d'éléments.

Question 21 Démontrer que pour n > 0, p (n) est le eoefiîetent de t" dans le 
déve--
loppement de HZ=1 (ZÎ=0 t""") .
Question 22 A l'aide de la formule d'Euler (7), démontrer que

("Î'("") ( Î <1>mt<3"'+"'/2) "' m=--oo Question 23 En déduire la valeur de p (n) , n = 1, 7. Fin de l'épreuve