A 2007 MATH. II PSI
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la
copie :
MATHÉMATIQ UES II _ PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives
qu'il est amené à prendre.
Majoration de polynômes trigonométriques
Soit 19 un réel strictement supérieur a 1 et q : p/(p -- 1). On admet que si u
et ?) sont deux fonctions continues, a valeurs réelles, définies sur
l'intervalle
[c, d] c R, alors
/Çdu(æ)o(æ) da: 5 ([ lu(æ)lp dæ)1/p ([ lo(æ)lq dau) 1/q. (1)
Soit n un entier non nul, r : (rl, - - - ,r,,) E R" où pour tout le, r;, est un
réel positif et r # 0. On introduit sur R'", les deux normes suivantes:
W = (TÎ + - - - +nî)"2 etllrll1 = 2 lol-
j=1
Pour tout a: E R et tout oz : (041, - -- ,ozn) E R'", on pose
'ÏL
P,,(aî, oz) : Zr;, cos(ka: -- oz;,).
k=1
Si 8 est un réel positif, on note
27?
IS(Oi) _/0 lPT(OE,Oi)l2S dit.
Dans la suite, t désigne un réel supérieur ou égal a 1.
L'objectif de ce problème est de montrer que
' f P
,Sÿ,£...ë"Rnl r R une fonction de classe CZ. Prouver que Z : \hl2t est
de classe C'2 sur R et calculer l' et Z" .
II Propriétés de It
D
Pour oz E R'", on introduit la fonction La définie par
8-
La : [--1,1]XR"%R
(875) H Ït(04+EUR5)-
Montrer que pour tout fi E R'", la fonction (5 |--> La(5, fi)) est dérivable
et exprimer sa dérivée sous forme d'intégrale.
Montrer que pour tout fi E R", la fonction (5 |--> La(s,fi)) est deux
fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d'intégrale.
Établir que
1 ôLa
0 de
puis montrer que It est continue sur R'".
Ït(04 +5) _ Ït(04) :
(5, fi) de,
En utilisant les propriétés de L... montrer que les dérivées partielles
ÔZIt
-- ourk=l,---,n,
Ôozâp
existent et les exprimer sous forme d'intégrales.
Montrer que It est une fonction bornée sur R'", qui atteint son mini--
mum.
On note & l'un des points où le minimum est atteint.
D 9 -- Montrer que pour tout fi E R'",
82L â(0 Ü)>O uis ue ZÔ--ZIÊ(OY) >0
aæ p q Ôaâ -- '
D 10 -- Établir alors l'inégalité suivante:
Ït(â) £ (2t -- 1)llr1121t_1(â)- (2)
D 11 -- Établir la majoration suivante:
t
14a)32w(oet--1...rw).
III Propriétés de PT
Dans cette partie, oz est un élément quelconque de R" fixé.
D 12 -- Établir les deux identités
277 277
/ Pr(a:, oz) da: : 0 et / lPr(a:, oz)l2 da: : 7THTHZ.
0 0
D 13 -- Montrer que la borne supérieure S = sup lPr(a:, oz)l est finie et qu'il
oeEURR
existe a:a E R tel que
le,,(a:... oa)l : sup lPr(a:, oz)l.
oeEURR
D 14 -- Montrer que HTH2 S 282.
D 15 -- Montrer que la fonction a: |--> Pr(a:,oz) est non identiquement nulle et
n'est pas de signe constant.
D 16 -- Soit À EUR]O, 1[. Soit VÀ+ = {EUR EUR [æ...æa--l--27T], lPT(£, oz)l :
AS}. Montrer
que VÀ+ est un ensemble compact non vide.
Soit 19 : min{£,£ EUR VÀ+}.
D 17 -- Montrer qu'il existe a tel que:
a<æal = AS,
le,,(a:, oz)l > ÀS pour tout a: EUR]a, b[.
D 18 -- Établir les relations
2fl--MS=
et
D 19 -- Établir l'inégalité suivante:
[;
IV Ma joration
@@...)
Ôa:
2 n
2 2
da: É7TZÎÇ rk.
k--1
D 20 -- Établir les inégalités suivantes:
H'
(1 -- À)2 5 (b -- a) 5 [t(â)(ÀS)_2t.
'ÏL
; k2râ
k=1
2 HT
77
D 21 -- Montrer qu'il existe une constante A, indépendante de n, 7°, t et 64,
telle que l'inégalité suivante soit satisfaite:
" 1/t " 1--1/t
S2 5 At (Z 197%) (Z T,Î> .
k=1 k=1
FIN DU PROBLÈME
