Mines Maths 2 PSI 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏÏQÜE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCA"HONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemaüonal, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Première partie

Soit M l'espace vectoriel des matrices réelles carrées d'ordre 3. Soit C le 
produit cartésien
M x M. 11 est admis que cet ensemble est un espace vectoriel réel à l'aide de 
la loi interne,

addition, et de la loi externe, multiplication par un réel, définies par les 
relations suivantes :
La somme de deux éléments de C, (P, Q) et (R, S) est l'élément (P + R, Q + S) :

(P, Q) + (R, s) = (P+R, Q+S).
Le produit d'un réel À et de l'élément (P, Q) est l'élément (AP, ÀQ) de C :

A(P, Q) = (AP, AQ)-

En plus de ces lois de composion, soit * la loi de composition interne, appelée 
produit, qui, aux
deux éléments de C, (P, Q) et (R, S) fait correspondre l'élément de C, (PR, P.S 
+ QR),
(PR, PS et Q.R sont respectivement les produits des matrices P, R, P, S et Q, 
R).

(P, Q) * (R, s) = (PR, P.S+ QR).

L'algèbre (C, +, ., *) :
1. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel C ?

2. Démontrer que l'espace C est une R-algèbre associative unitaire. L'élément 
unité de cette
algèbre est noté e.

Éæm donné l'élément (P, Q) de C, soit '(P, Q) l'élément de (: défini à l'aide 
des matrices
transposées 'P et ' Q des matrices P et Q de la façon suivante :

'(H Q) = ('P, @-

Soit G le sous--ensemble des éléments (P, Q) de C tels que :

- la matrice P est orthogonale directe : son déterminant est égal à l.
- les matrices P et Q vérifient la relation : 'P.Q + 'Q.P = 0

G = {(P, Q) | (P, Q) & C, P EUR sofia--*), 'P.Q+ iQ.P = o}.

Le groupe G :
3. Démontrer que le sous--ensemble G de C est, pour la loi produit *, un groupe.

4. Soit H le sous--ensemble des éléments (P, O) du groupe G. Démontrer que B 
est un
sous--groupe de G isomorphe au groupe SO (R3 )

5. Soit A le sous--ensemble des éléments (13, Q) de G (13 est la matrice unité).

A ={(1,, Q) | (13, Q) e G}.

Est--ce que A est un sous--groupe de G ?

6. Démontrer que, pour qu'un élément (P, Q) de C apparüenne à G, il faut et il 
suffit que le
déterminant de la matrice P soit égal à 1 et que la relation ' (P, Q) * (P, Q) 
= e ait lieu :

(P, Q) EUR G <=» '(P, Q) * (P, Q) = e, detP = 1. Seconde partie Le but de cette partie est de montrer qu'il existe un isomorphisme entre le groupe des déplacements de l'espace de la géométrie afline euclidienne et le groupe G étudié ci-dessus. Dans toute la suite, E3 est un espace vectoriel euclidien orienté par une base orthonormée --.>-.+-+

directe B = ( 1 , _] , k ). Le produit scalaire de deux vecteurs ? et ? est 
noté ?.ÿ'

Un résultat préliminaire :

7 . Soit 71' un vecteur de E3 ; soit p; l'endomorphisme de E3 dans lui--même 
qui, au vecteur ?,
associe le produit vectoriel des vecteurs ?? et ? : ? r--+ ?? /\ ?. Quelle est 
la matrice P; associée à
l'application p--3 dans la base B de E3 ?

8. Soit rune rotation de E:; dans Jui--même ;... comparer pour.deux vecteurs 
quelconques Yet ?
de E3 les expressions suivantes :

r(Y/\ÿ), r(Îc') Ar('ÿ').

9. Démontrer que, si r est une rotation de E3 et 3 un vecteur de E3, il existe 
un vecteur ? de
E3 tel que l'endomorphisme r o p;, composé de p; et de r, est égal à 
l'endomorphisme pî o r,
composé de r et de p--5 :

" ° P3 = P;; ° '" ;
. --v . _ ... .
expnmer ce vecteur b en fonction du vecteur a et de la rotation r.

Dans toute la suite, soit E l'espace de la géométrie affine euclidienne 
orientée ; E est supposé

être un espace affine de direction un espace vectoriel euclidien orienté E3. 
Soit 0 une origine et
--O ---D --D _ , . - \ '
i, j , k trors vecteurs orthonormes consütuant avec le pomt O un repere Om 
direct.

Détermination d'une droite à l'aide de deux vecteurs et d'un repère :
L'espace E est muni d'un repère orthonormé direct Oxyz ; soit D une droite de 
l'espace affine
E, A un point de cette droite et 17 un vecteur directeur unitaire de cette 
droite.

10. Soit M un point quelconque de la droite D. Démontrer que le vecteur ?, égal 
au produit
vectoriel des vecteurs OM et îl', est indépendant du poth de la droite D :

V=OMAË
Comparer les directions des deux vecteurs ? et 'V.

11. Soient îr' et 7 deux vecteurs de l'espace E 3 tels que le vecteur ï! soit 
unitaire ( " îl' " = 1 )
et ? orthogonal à î? (ii.? : 0). Déterminer, à l'aide des deux vecteurs "z? et 
Îc' A V, les vecteurs ?

de E3, solutions de l'équation suivante :

12. Étant donnés deux vecteurs îc' et V de l'espace E3 tels que le vecteur ? 
soit unitaire
( || îî " = 1 ) et ? orthogonal à îl' (Ti? = O), démontrer qu'il existe une 
seule droite D de

l'espace E telle qu'un vecteur directeur unitaire de la droite D soit le 
vecteur 37 et que tout point M
de D vérifie la relation suivante :

ÔÜAÜ=V

13. Exemple : les vecteurs "i? et ? sont définis, dans le repère 01322, par les 
relations suivantes :

-+

ïl'= i ; V=bî+cï,
où b et c sont deux réels donnés. Déterminer la droite D correspondante.

Soit P le sous--ensemble de E3 x E 3 des couples de deux vecteurs ('û', V) tels 
que le premier
vecteur 'û' soit unitaire et le second îf' soit perpendiculaire à ïï.

14. À quelle condition nécessaire et suffisante deux couples de vecteurs ("û', 
?) et (îî', V'),
appartenant à P, déterminent la même droite D '?

Soit d un déplacement de l'espace E muni du repère orthonormé direct Oxyz ; par 
définition, il
est égal à l'application composée d'une rotation r de l'espace E3 et d'une 
translation de vecteur ??

' r , ' r , ' ___" ' r
de E3 ; sortM ] image par ce deplacement d d un poth ; le vecteur OM est rehe 
au vecteur
-- . 0
OM par la relation suivante :

OÏ/I' : 'ä'+r(Oü).

Isomorphîsme entre le groupe des déplacements de l'espace E et le groupe G :
Soient d un déplacement, D une droite quelconque de l'espace E et D' l'image de 
la droite D

par le déplacement d :

D' = d(D).

15. Aux deux droites D et D' de l'espace E, muni du repère orthonormé direct 
Oxyz, sont
associés d'après la question 14 des couples de vecteurs (u, ?) et (u', "1?" ); 
démontrer que, le

- couple de vecteurs (u, ?) étant fixé, il est possible de choisir le couple de 
vecteurs(u', ?' ) de

façon que les vecteurs u' et ?" s'expriment au moyen des vecteurs u et V par 
les relations
suivantes :

Îl" : a('û'), V' = (t(?) +fl(îî),

où a et ,6 sont deux endomorphismes de E3 tels que le déterminant de a soit 
strictement positif
(deta > O).

16. Au déplacement d est donc associé le couple des deux endomorphismes a et B. 
SoientA et
B les mat1ices associées aux endomorphismes a et [3 dans une base orthonormée 
directe de E3.

Démontrer que le couple de matrices (A, B) appartient au groupe G

17. Démontrer que l'application qui, au déplacement d de E associe l'élément 
(A, B) du
groupe G, est inj ective.

18. Exemple: soit D la droite du plan xOy d'équafion y= yo (yo est un réel 
différent de zéro
donné); soit D' son image par le déplacement égal a la rotation d' axe Oz et 
d'angle 9 suivie de la

translation de vecteur j + k Déterminer les endomorphismes a et B associés à ce 
déplacement et
les couples de vecteurs (u, ?) et (îï', V' ) associés respectivement aux 
droites D et D' Vérifier

dans ce cas particulier la relation obtenue' a la question 15.

19. Démontrer que l'application J qui, à un déplacement d de l'espace E associe 
le couple de
matfices (A, B) du groupe G est bijecfive.

Droite invariante dans un déplacement:
20. Soit d un déplacement, distinct de l'application identique, à ce 
déplacement est associé un

couple de matrices (A, B) appartenant à G. Rechercher ] existence d'une droite 
invariante par le

déplacement d en considérant le couple de vecteurs (îï, îf') associé à cette 
droite. Ecrire les

relations vérifiées par ces vecteurs inconnus Îc', ?. Quelle conclusion y 
a--t--il lieu d'en tirer sur le
..)

vecteur u '?

21. Déterminer la droite invariante dans l'exemple de la question 18.

FIN DU PROBLÈME