ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECCMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATICNS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la
copie :
MATHEMATIQ UES I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives
qu'il est amené à prendre.
On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel 2 > 0 par
r(z) = / tZ--1e_t dt.
0
Cette fonction possède les deux propriétés suivantes:
-- pour tout réel :: strictement positif, F(z + 1) : zP(z);
-- il est admis que
1ua--1 --u 5--1u_rfalrffll
/0 " ) d "r'
pour tous réels & > O et 5 > O.
I. Fonctions hypergéométrîques
1) Soit ;: un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires
et suffisantes sur les réels & et 5 pour que la fonction
t+----> ta_1(1 + t)5"1e"2t
soit intégrable sur lR+.
tQ
\./
Soit :: un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires
et suffisantes sur les réels &, 5 pour que la fonction
Él-----> (_t)a----1(l + t)fi--1EUR--zt'
soit intégrable sur [ -- 1, 0 [
On fixe maintenant deux réels oz > O, 5 > 0 et on définit les fonctions
pour tout réel strictement positif z.
Montrer que Il et 12 sont continûment dérivables sur lRî et que
1; = ---K et 15 = --K + 12. (E)
Montrer que zK : dll + ,612.
En déduire que le vecteur I(z)
Il
/"\
J® :>
/\ /\
N N
) est solution d'un système
différentiel linéaire sur R1 :
Ï'(Z) = A(Z)Ï(Z), (S)
où A(z) est une matrice que l'on explicitera.
Montrer que K satisfait sur lläî une équation différentielle linéaire d'ordre
2 que l'on explicitera.
On définit les fonctions
Montrer que les fonctions J1, J2, L satisfont les mêmes relations que
respectivement, 11, lg, K définies dans l'équation (E) que le vecteur
J2
et que L satisfait la même équation différentielle que K (trouvée à la
J . . . .
J = ( 1 ) est solution du même système différentiel que ] (vou (S))
question 6).
II.
8)
9)
10)
11)
12)
Résolution de (8)
Montrer que pour tout t > 0 et z _>_ 1
t .
£... -; 15 --- ll(l +t>Û"ä s15 2 2,
@+£) _4 < Êlfi--ltsifi£2 En déduire que pour tous réels & > O, B > 0
+00
/ t"'1(1 + z%)fi'1e--Zt dt
O
est équivalent à F(a)z"° quand 2 tend vers +00, c'est--à--dire que
+00
(/ t°"1(1 + t)Ü--1EUR_Zt dt -- F(a)z"°") : 0(z'°'),
0
quand 2 tend +00.
Montrer, pour tous réels & > O et ,13 > 0 et pour tout réel 3, l'identité:
_l 3
/ " (--Î)a--1 O, B > O, 2 > 0 on définit le \Â/'ronskien
13)
14)
15)
16)
Donner un équivalent de w(z) quand :: tend vers +oo.
Montrer que 10 satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1 que
l'on explicitera.
Montrer que, pour tout z réel strictement positif, w(z) : I"(a)I'(6)z"""%î
Exprimer la forme d'une solution générale du système différentiel (8).
III. Développement en série
17)
18)
Montrer que si (3 est un entier strictement positif
/ t°"1(1 + t)fi"1e--Zt dt : z"a_5+1P(z)
0
où P(z) est un polynôme de degré ,[9' -- 1 en la variable 2, que lion expli--
citera.
Pour tout réel :r et tout entier positif n, on pose
n----l
(scan) = H(ar + le);
k=0
pour n > 0 et (33,0) : 1.
Soient @ et b deux réels. On suppose de plus que b n'est pas un entier
négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme
général
uk =
On note alors pour tout réel a:
Fa'"bl) ÎA!
19)
20)
21)
Montrer pour tout réel strictement positif z, l'identité suivante:
0 _ a---1 fi--le--zt : P(Û)P<Û) & a z /_1( t) (1+t) dt ___--F(a+fi)F(, +5, ). Montrer directement (sans utiliser la partie 1) que la fonction y(æ) : F (a,b,a:) est solution sur R de l'équation différentielle suivante æy"(æ) + (b -- æ)y'(æ) -- ay(æ) = 0- Montrer que si () n'est pas un entier, on peut trouver des réels a' et b' tels que y(z) : z'""F(a', b', 2) soit solution sur lRäî de la même équation différentielle. FIN DU PROBLÈME
