Mines Maths 1 PSI 2000

00 MATH. I - PSI

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATÆONS,
DES MINES DE PARIS, DES M]NES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
T"ELÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE
FILIERE PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-BNP.

L'emploi de la calculette est interdit

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première 
page de la copie :
MATHEMATIQUES I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 4 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

Le but de ce problème est l'étude d'endomorphismes définis par l'action d'un 
groupe sur un
espace vectoriel de matrices complexes.

SoitM l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la 
forme suivante :

a ib
m= _ .
ib ?:

Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie i2 = --1, â 
(resp. 5) est le nombre
complexe conjugué de a (resp. b).
Partie préliminaire
0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel :
Démontrer qu'en munissant l'ensembleM de l'addition des matrices et de la 
multiplication des

matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa 
dimension.
Démontrer que le produit de deux matrices m1 et m; de l'espaceM appartient àM.

Soit 1 la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace 
vectoriel M ; la matrice
transposée de la matrice m est notée 'm. Si p est un entier naturel, mp est le 
produit de la matrice m

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p--fois par elle--même ; classiquement m0 = ].

Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espace M dont le 
déterminant est égal à 1 :
G= {geM | detg= l}.

11 est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe.

Soit U le sous-ensemble des matrices u de l'espaceM antisymétriques dont le 
carré est égal à
l'opposé de la matrice identité :

U= {u GM | u+'u=0, u2 =--I}.
Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M :
V= {veM | V: 'v}.
Il est admis que le sous--ensemble VdeM est un sous-espace vectoriel réel.

Soient ml et m; deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M ; il est admis 
que la trace de la
matrice m1.'m2 est réelle ; soit (ml | m2) le réel défini par la relation 
suivante :

(m1 | 1712) = --â--Tr(ïñLth) = --â---Tr(mflfiù.
L'égalité entre les traces des matrices ñ1.'m2 et m1.'fi2 est admise.
Il est admis que l'espace (M, (. | .)) est un espace euclidien. Si le produit 
scalaire (ml | m2), de
deux matrices m1 et 1112, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le 
sous-espace vectoriel V

de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par 
celui de M.

Première partie

I.]. Propriétés élémentaires des matrices de l'espaceM :

Soit m une matrice de l'espace M ; démontrer que les matrices m +'m et m. % 
s'expriment au
moyen de la matrice identité ], du déterminant detm, de la trace Trm de la 
matrice m.

Soit g une matrice appartenant àM ; déduire du résultat précédent que, pour 
qu'une matrice g de
l'espaceM appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une 
relation simple entre les
matrices g"1 et fg.

Soit m une matrice de l'espaceM dont la trace est nulle (Trm = O) ; établir la 
relation : m = --' m ;
calculer les matrices mz, ('m)2 en fonction du déterminant de la matrice m et 
de la matrice unité ].

1.2 Matrices u :

Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus.

Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les 
deux produits de
matrices : m.u et u.fi Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est 
nulle (Trm = 0), les deux
matrices mn et u.m appartiennent au sous-espace vectoriel V.

1.3. Norme d'une matrice m :
Soit m une matrice de l'espaceM ; calculer la norme de la matrice m (|| m "= J 
(m | m) ) en

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fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de 
l'espace M la norme
Il m.w II du produit des matrices m et w avec le produit Il m Il . Il w II des 
normes de ces matrices.

1.4. Matrices appartenant à G :
&. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière 
unique, sous la
forme

g =] cosô+m,

où 9 est un réel appartenant au segment [O, n] et m une matrice de trace nulle 
(T rm = 0) qui
appartient àM.

Calculer, en fonction du réel 9, le déterminant de la matrice m, ainsi définie 
à partir de la matrice
g, ainsi que le carré m2 de la matrice m.

b. Soit m une matrice de l'espaceM différente de 0 (m = O) : démontrer que la 
matrice g; définie
par la relation ci-dessous appartient au groupe G :

gl : __1__m

Jdetm

I-5 Un sous-groupe de G :
Soit gl une matrice de trace nulle (Trgl = O) appartenant à G ', soit G(g1) 
l'ensemble des
matrices Mg définies par la relation suivante

mo = I cosû +g1 sin9,
où 9 un réel quelconque appartenant au segment [O, 27r] ; soit :

G(g1) = {mg = I cos9+g1 sin9 | 8 & [O,27r]}.

Démontrer que l'ensemble G(g1) est un sous-groupe commutatif du groupe G.

Deuxième partie

Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le 
sous-espace vectoriel Vdes
matrices symétriques deM à l'aide d'une matrice du groupe G.

Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle 
(T rg = O) ; étant
donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel Vsoit lg (w) la 
matrice définie par la

relation suivante :

lg(w) = g.w + w. 'g.

II--l. L'endomorphisme 1g de V:
a. Déterminer la dimension du sous--espace vectoriel réel Vde l'espace 
vectoriel M. Déterminer

une base de ce sous-espace vectoriel.

b. Démontrer que l'application lg : w r--+ lg(w) est un endomorphisme de 
l'espace vectoriel V.
Démontrer que cet endomorphisme lg n'est pas nul.

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II--2. Propriétés de l'endomorphisme lg :

a. Comparer l'endomorphisme lg o !g : w r--> lg(lg(w)) à l'endemorphisme w r--> 
2g.lg(w).
Calculer l'expression lg (g.lg (w)) en fonction de 1g (w).

Comparer les deux normes Il lg(w) " et Il g.lg(w) Il.

Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression lg(g.u).

b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et 
w de l'espace V, les
produits scalaires (lg(v) | w) et (v | lg(w)).
En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme lg.

c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les 
matrices lg (w) et g.lg (w)
sont perpendiculaires.

II-3. Une base de l'espace V:

Etant données une matrice v de l'espace vectoriel Vtelle que son image par 
l'endomorphisme 18
soit différente de 0 (lg(v) i 0), une matrice u de l'ensemble U (u appartient 
àM, est antisymétrique,
u2 = --I), soient kg le produit des matrices g et u, h1 l'image de la matrice v 
par l'application lg, h; le
produit des matrices g et lu :

ho : g.u, h1 : lg(v), h; : g.lg(v).

a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices 
h,, 0 5 i S 2, et des
matrices h,--,O 5 i S 2, deux àdeux :

(u | hi),05i52,(hk | h;),05k5152.

b. Démontrer que la suite des matrices h ,-, 0 S i S 2, est une base de 
l'espace vectoriel V.
Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à 
l'endomorphisme lg dans
cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à 
l'endomorphisme --12--lg.

II-4. Un endomorphisme de l'espace vectoriel M :
Soit 9 un réel donné appartenant au segment [0,2n] ; soit me la matrice 
appartenant au groupe G
(question 1--5) définie par la relation suivante :

1119 = 10059 +gsin0.
Soit Sg l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la 
matrice m9.w.
sa : w ---> mg.w.

Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme se dans la base définie par 
les matrices
u, ho, hi, h2-

FIN DU PROBLEME

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