e3a Maths 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction définie par une intégrale
Principaux outils utilisés nombres complexes, polynômes, intégrales à paramètre, développement en série entière
Mots clefs fonction zeta
polynimes-et-fractions-rationnelles

Corrigé

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Énoncé complet

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


121

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Mathématiques 2 PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne 
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Tournez la page S.V.P.

n
  [0, 2[

u=1+

Pn

i

C[X]
Pn (X) =
n=1

1 
(X + i)2n+1 - (X - i)2n+1
2i

n=2
P1

P1  R2 [X]

P2
P2  R4 [X]

R[X]

Pn  C2n [X]
N  N

N

Pn (i)
Pn
aC

Pn   k  1, 2n , a

a

2ik/(2n+1)

-1 =i

2ik/(2n+1)

Pn
Pn

Qn

n

Pn (X) = Qn (X 2 )
Qn
Q1

Q2
Qn

Sn =

n

k=1

Pn

1
tan2

k
2n + 1

Sn =

n(2n - 1)
3

 x  0,
, 0  sin(x)  x  tan(x)
2
 
1
1
1
,
 2 1+
 x  0,
2
x
tan2 (x)
tan2 (x)
1
k2

+

1
k2

k=1

+1

H(x) =

xR

1 x

t ln(t)
t
t-1

0

Js =

s > -1

1

ts ln(t) t
0

H
DH = ] - 1, +[

H
H

DH
>0

t (ln(t))2
1-t

t 

[0, 1]
C1

H

DH

H
(xn )

+

lim H(xn )

n+

lim H(x)

x+

 x > -1, H(x) - H(x + 1) =
H(x)

x

1
(x + 1)2

-1

x > -1

k1

1
(x + k)2
H(x) =

n

n

k=1

H(x) =

+

k=1

H(0)

1
+ H(x + n)
(x + k)2

1
(x + k)2

H(1)

x > -1

k
1

(x + k + 1)2

H(x)
n

n=0

k+1
k

1
t

2
(x + t)
(x + k)2

+

x

un = H(n)

un
(-1)n un
n0

+

(-1)n un =

1
0

n0

ln(v)
v
v2 - 1

1
H -
2

Tournez la page S.V.P.

H

k2

Zk =

+

1
k
p
p=1

(p, q)
q  1 Ip,q = -

Ip,q =

1

tp [ ln(t) ]q t
0

q
Ip,q-1
p+1

Ip,q
Bn =

nN

1
0

[ ln(t) ]n+1
t
t-1
tp

Ip,q
 n  N Bn = (-1)n (n + 1)! Zn+2
+

(-1)k (k + 1) Zk+2 xk

k=0

­ 16 1121 ­ D'après documents fournis

 x ] - 1, 1[, H(x) =

IN CHOISY

Bn