e3a Maths B PSI 2014

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Epreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

095

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne 
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Tournez la page S.V.P.

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

EXERCICE 1.

Dans tout l'exercice, E désigne l'espace vectoriel normé Æg(R) des matrices 
carrées d'ordre 3 a coefficients réels.

1 0 0
13 est la matrice unité:lg= 0 1 0
0 0 1
0 --1 0
SoitA= 1 0 0 GE.
0 0 0

1. Citer le Théorème de Cayley-Hamilton.

En déduire un polynôme non nul annulateur de la matrice A.
2. La matrice A est-elle diagonalisable dans Æg(C) ? Dans E ? Justifier vos 
réponses.
3. Soit k E N. Calculer Ak.

4. Démontrer que le sous-espace vectoriel F de E engendré par les puissances de 
la matrice A est de dimension finie.
Exhiber une base 93 de F constituée de puissances successives de la matrice A.

5. Soit 9 E R.
On pose, pour tout entier naturel n non nul :

s,, = A':

E
k=O

Justifier que S% E F.

Donner les composantes de S,, dans la base 93 obtenue a la question précédente.

6. Démontrer que M : lim S,, existe.
n-->+oo

7. Vérifier que M E F et donner ses composantes dans la base 95'.

8. Soit % : (61,62,63) la base canonique de l'espace euclidien R3 orienté usuel.

Démontrer que M est la matrice dans % d'une rotation vectorielle dont on 
précisera les éléments caractéristiques.

9. Déterminer les valeurs du réel 9 pour lesquels lim 5% est la matrice d'une 
symétrie vectorielle.
'ÏL-> OO

EXERCICE 2.

PRELIMINAIRES

1 £ ln(n).

TL
1. D' t : -- ...
emon rer que };) 27EUR + 1 n_>+oe 2

On pourra admettre, dans tout le probléme et sans le démontrer, le résultat 
suivant valable lorsque n tend vers +oo :
'ÏL
k=1

ln(n)o

TL2

: ln(n) + o(ln(n))

?Y'll--'

2. Déterminer la nature de la série de terme général

Pour tout 95 E R, on pose :

f(OE) = \sin(ffi) \

1. 1.1 Donner une représentation graphique de f sur l'intervalle [--27r, 27r].

1.2 Déterminer les coefficients réels de Fourier de f.

2. Prouver :
2 cos( ()2noe
V E R, ' : _ _ _
oe \s1n(oe) \ 7r îâ_ 4--n2 _ 1
3 En déduire la somme de la série Z #
. 4712 -- 1
7121
4. Montrer :
. sin2
VOEER, \s1n(oe)\= -- îâ_ 4--nn2(--1)

5. Pour tout entier naturel non nul m, on pose :

$

2 7T/2 °
_ / \s1n(moe) \ d
0

sin(oe)
5.1 Justifier l'existence de p....

5.2 Soit n E N.

Prouver : Vac E R, (Ë( sin( ((2/@ + 1) ))) >< sin(oe )-- -- sin2 (... + 1)oe). 1 1 1 1 + ä + 5 + + ñ 5.3 Démontrer que : Vm E N*, la série Z 4 2 1 nm _ est convergente. 7121 TL _ 5.4 En déduire que : 1 +-- 1 +-- 1 +. .+ --1 16 +00 _ VmEN*, Pm=-- 3 5 271771 1 7T2 4712 -- 1 n=1 . 1 1 6. 6.1 So1tg:oe&-->g(oe)= _ ----.
s1n(oe) oe
Montrer que g se prolonge en une application continue sur {D, %l
6.2 On note alors pour tout m entier naturel non nul :
2 7T/2 2 7T/2 .
oz... : -- / \sin(moe)\g(oe) dac et 6... = -- / M
TF 0 TF 0 $

Exprimer p... a l'aide de oz... et fi....

Tournez la page S.V.P.

u ' t
7. Soient, pour u > O, G(u) :] M dt.

("+1)" sin t
t dtetpournEURN*,vn=/ @
0

'ïL7T t

7.1 Vérifier que la fonction G est bien définie sur Ri.

m7r
7.2 Trouver une relation entre G (Î) et S... pour m E N*.

u
7.3 Soit N la partie entière de -- ; vérifier que l'on a, pour u assez grand :
7r

N--1
" t u t
G(u)--/ Sln()dt+Zvn--i--/ ls1n()ld
0 TL=1 N7T
7.4 En déduire la double inégalité :
N--1 . N
2 1 77 t 1
-- \/ s...<)dt+_ -- 7T n=1 n + 1 0 t 77 n_1 n 7.5 Déterminer alors un équivalent de G(u) lorsque u tend vers +00. 8. En déduire un équivalent simple de p... lorsque m tend vers l'infini. EXERCICE 3. Dans tout l'exercice7 n désigne un entier naturel supérieur ou égal a 2. PRÉLIMINAIRES 1. Soit f une application de classe C" définie sur R et a valeurs réelles. (a) Justifier : n--1 (k) 33 _ n-- W en, f(oe) : 2 f k'(0) oe""+/ %th)dt k=0 . 0 . (b) Prouver alors : n--1 (lc) n 1 Vac EUR R, f(oe) : 2 f k'(0) 951EUR + à / (1 -- t)"_1 f<")(oet)dt k=0 . . 0 2. Soient u et @ deux fonctions continues sur R et a valeurs réelles. Prouver que : Vac E R, / u(oe -- t) v(t) dt :] u(t) v(oe -- t) dt 0 0 3. Soient : ca,b,cetddesréelstelsque:a< [c, d] dans R, de classe C1 en la première variable. 3.1 Montrer que l'application H définie sur K par : y H<æ. y) = / f<æ.t> dt
C
possède des dérivées partielles par rapport a 95 et a y que l'on déterminera.

3.2 Soit G une application de [a, b] dans [c, d] de classe Cl.

Montrer en utilisant la question précédente que l'application F définie sur [a, 
b] par :

G(oe)
F(oe) :] f(oe,t)dt
est dérivable et admet pour dérivée :

G(oe)
F'(oe) : f(oe,G(oe)) >< G'(oe) +/ â--ï(oe,t) dt C PARTOE11 Soient 90 une fonction continue sur R a valeurs dans R et ao, a1, ..., an_1 des réels fixés. On considère l'équation différentielle : (El) y...) = 90 y y/ 1. Soit X = _ . Déterminer une matrice A E Æn(R) telle que : y(n_1) () X'=AX+B Où B= ' 0 2. Justifier que l'équation (El) admet une unique solution h vérifiant : Vk EUR [[0,n -- 1]], h(0) = 1

et g la fonction définie sur R par :
g<æ> = / s<æ--Wdt = / 8(t)w(æ--t)dt
0 0

2. Soit fil la primitive de $ qui s'annu1e en 0.

Montrer que :
Vac E R, g(oe) :] s'(oe -- t)w1(t) dt
0

3. En utilisant les préliminaires, démontrer que g est dérivab1e et que :
OE
Vac E R, g'(oe) :] s"(oe -- t) w1(t) dt
0

4. En déduire que :
Vac E R, g'(oe) :] 3'(oe -- t)zfl(t) dt
0

5. On admet alors que : w. EUR [[1,n -- 1]], w EUR R, g(oe) :] 3(k)(oe -- 
16) W) dt.
0

Prouver que :

v.æ EUR R, g(oe) : u(oe) + /. 3(")(oe -- 16) W) dt

0

6. En déduire que g est solution de (Eg).

7. Retrouver alors le résultat obtenu a la partie 1.

APPLICATION

Soit l'équation différentielle :
(Es) y" + y = 04

7r--oe si oeEUR [0,7r]
où oz est la fonction définie sur R par : a(oe) : 71" + 95 si 95 EUR [--7r, O]
0 sinon
1. Donner une représentation graphique de la fonction 04 sur R.

2. En utilisant les résultats précédents, déterminer une solution particulière 
de (E3).

On donnera les expressions de cette solution sur chacun des intervalles ] -- 
oo, --7r[, ] -- 71", 0 [, ]0, 7r [ et ]7T, +oo[.

3. Déterminer l'ensemble des solutions de (E3).

FIN DE L'ÉPREUVE