e3a Maths B PSI 2012

 

E 3 c3
CONCOURS ARTS ET METIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non 
justifiés
ne seront pas pris en compte.

EXERCICE 1

+00
1. Étudier la convergence de l'intégrale / e"'"2dm = / e_æzdæ.
]R --00

1132

TL
2. Pour tout n E N* et m E R on pose fn(æ) = (l -- ;) si |x| < \/5 et fn(oe) : 0 sinon. 2.1 Donner, sur un même schéma, l'allure des représentations graphiques de fl et f4. 2.2 Etudier la convergence simple sur R de la suite de fonctions ( fn)neN*- : o ; . ) ° \ u n 2.3 Montrer que SI 77. E N'" et 81 u est un reel strictement superieur a --n alors (1 + --) < e". 71 +00 2.4 Prouver l'existence de un : fn (a:) das. 00 2.5 Montrer que la suite (un)...5Nu' converge vers une limite EUR que l'on exprimera sous la forme d'une intégrale. 7T/2 3. On pose, pour tout k E N, Jk = / cos"(t) dt. 0 3.1 Calculer J0, J1, J2. 3.2 Trouver une relation de récurrence reliant Jk et Jk+2. * " % 246.8. . -- 277. 3.3 Montrer que : V'ÏL E N ,J2n+1 : H "(fic--+1) = OEn--(2îlq--Llî k=1 3.4 En déduire une expression de J2n+1 faisant intervenir (n!)2 et (271 + 1)!. 3.5 Rappeler la formule de Stirling et déduire de ce qui précède un équivalent de J2n+1 lorsque n --> +00.

4. À l'aide d'un changement de variable donner, pour tout 71 E N*, une relation 
simple entre J2n+1 et un.

+00 2
5. En déduire la valeur de / e'"' du}.
--00
0 0 1
1. Dans R3 euclidien orienté usuel, on note u l'endomorphisme dont la matrice 
canoniquement associée est B = 0 --1 0
1 0 0

Donner la nature géométrique de u et ses éléments caractéristiques.
2. Soient d EUR R et P(X ) = X 3 + X 2 + d. Déterminer les valeurs de d telles 
que le polynôme P soit scindé sur R.

3. Soit Q(X) = X3 + aX2 + bX + EUR EUR Rg[X] dont on note a, ,5 et 'y les 
racines dans C.
3.1 Exprimer les coefficients a, b et c à l'aide des racines a, 5 et 7.

3.2 Déterminer tous les triplets (a, b, EUR) E R3 tels que la matrice A =

Q'OEQ
Q--2OE

"/
a soit la matrice d'une rotation de R3
[3

euclidien orienté usuel.

EXERCICE 3

Soit (an)nEURN* une suite de nombres réels.
. al ? 1;

- la suite (an) est bornée,
On dit que la suite (an) Vérifie la propriété (P) si à la fois : , Vn E N* a" > 
0
7 ?

o la série E a" diverge.
n>0

On note alors :

'n n
VnEURN*,An=Zak et Vn22,bn= 1 za--k
Ic=l

Dans tout l'exercice, on utilisera sans le démontrer la propriété suivante, 
notée (R) :

Soient (un) et ('Un) deux suites réelles à termes strictement positifs.

(a) un +"Ô'Ô Un

et

(b) la série 2 un diverge
n>1

TL
. , . , . 1
1. Pour tout n ent1er naturel superieur ou egal a l, on pose Hn = 2 É.

k=1

. 1
En utilisant les séries de terme général un : -- et vn : ln(n + 1) -- ln(n) et 
la propriété (R), prouver que :

n

En +Ëo ln(n)

2. 2.1 De façon analogue, montrer que :

2.2 En déduire la nature de la série de terme général wn :
2.3 Retrouver ce résultat sans utiliser la propriété (R).

3. Etude de deux exemples.

3.1 On prend dans cette question : Vn E N*, a" = l.
- Vérifier que la suite (an) ainsi définie satisfait à. la propriété (P).
. Déterminer nlir_noe bn.

3.2 On prend dans cette question : Vn E N*, a" = %.
0 Vérifier que la suite (an) ainsi définie satisfait à la propriété (P).

- En utilisant la propriété (R) et la série 2 w... déterminer lim bn.
n>2 n--++oo

4. On revient au cas général et on considère une suite (an) qui satisfait à la 
propriété (F).

4.1 Montrer que An ... An_1
+oo

4.2 Prouver que :

. - , . a
4.3 Determmer alors la nature de la serie : E A--".
7.22 "

4.4 A l'aide de la propriété (R) et des questions précédentes, déterminer alors 
lir_ln bn.
7L--) 00

5. Soit (un) le terme général d'une série à termes strictement positifs 
divergente.

. "un +=oe o(un)

. la série E vn diverge
n>1

Montrer qu'il existe une suite (v..) a termes positifs tels que :

6. Soit (an) une suite vérifiant la propriété (P).

Donner le rayon de convergence de la série entière E anæ".
n21

EXERCICE 4

Soit 11 un entier naturel supérieur ou égal à 2 et (G, X) un sous--groupe de 
GLn(C).

On suppose qu'il existe p E N* tel que :
VX G G , XP = In

où Ïn désigne la matrice unité de J//n(C).
Soit E = Vect(G) le sous--espace vectoriel de .///n(C) engendré par la partie G.
Une matrice N E .//{n(C) est dite nilpotente s'il existe le EUR N* tel que N '" 
= On (matrice nulle de .///n(C)).

1. Quel est le spectre d'une matrice nilpotente ?

2. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables ?

3. Soit A & ///2(C).

3.1 Déterminer deux nombres complexes a et ,8 tels que : A2 = aA + E 12.

3.2 Prouver l'équivalence :
A nilpotente (=> tr(A) = tr(A2) = 0

On admettm dans toute la suite de l'eæercice que cette propriété se généralise 
pour tout entier naturel n supérieur ou

égal à 2, c'est--à--dire que pour toute matrice A E .fln(C) :

A nilpotente (=> tr(A) = tr(A2) = = tr(A") = 0

4. 4.1 Vérifier que E est un espace vectoriel de dimension finie.
4.2 Montrer qu'il existe r EUR N* et une famille (M1,M2, ..., M,...) d'éléments 
de G tels que (Ml, ..., M,.) soit une base de E.
On ne cherchera pas à calculer 1' ni à déterminer les matrices Mj.
5. On note ÏU23 l'ensemble des racines p--ièmes de l'unité.
5.1 Préciser le cardinal de UP et expliciter ses éléments.
5.2 Soit X une matrice élément de G et À une valeur propre de X. Montrer que /\ 
EUR Up.
6. Prouver que tout élément de G est diagonalisable.

7. Prouver que l'ensemble .5" = {tr(X ), X E G} est fini. Donner un majorant du 
cardinal de .5" .

On considère alors l'application :

(p : X G G ._.