e3a Maths B PSI 2008

  

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3
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

B47H

3 a
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

o , r o \ o o A
S:, au cours de ] epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'énoncé,
d une part Il le sugnale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
compos1tmn en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

___--___"

L'usage de calculatrices est interdit.
...

R désigne l'ensemble des nombres réels et I est un intervalle de R non vide et 
non réduit à un
point.

1° Enoncer le Théorème de Rolle.
2° Soit h une application de 1 vers R, dérivable sur I, et p un entier naturel, 
p _>_ 2. On suppose

que h s'annule p fois sur ], démontrer que h' s'annule au moins p -----1 fois 
sur I.
3° On considère les applications a et b de ]O,+ oe[ vers R définies par :

a(x) = 3x"20 + x"... + 4x10 + 2x20 +11x30 et b(x) : ----150x"51 - 40x"41 - 
80x"21 --- 20x_11.
On suppose que b s'annule au plus 3 fois dans ]0,+ oo [. Montrer que a s'annule 
au plus 4 fois
dans ]O,+ oo [.

4° Soit n un entier naturel, n ?. 1 , (a1,(x2, ..... ,ou") un élément de R" 
avec ou] < (12 < ..... < or,, , (À1,À2, ..... ,Àn) un élément de (R* ) n et f,, l'application de ]O,+ oe[ vers R définie par : fn(x) = ZM: xak- k=1 Démontrer que f,, s'annule au plus n ---1 fois dans ]0,+ oo [. 5° On considère le polynôme P de R[X] suivant : P = X 400 -- 7X201 -- 4)(101 +1. Prouver que P admet au plus 6 racines réelles. Exercice 2 R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel, n 2 2. On introduit les notations suivantes : M n (R) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, M ,...(R) est l'ensemble des matrices à n lignes, une colonne et à coefficients réels, GLn (R) est l'ensemble des matrices inversibles de M ,, (R) , O,, (R) est l'ensemble des matrices oflhogonales de M n (R) , S,, (R) est l'ensemble des matrices symétriques de M ,, (R) , S,Ï (R) est l'ensemble des matrices de S,, (R) dont toute valeur propre est positive ou nulle, S,Î+ (R) est l'ensemble des matrices de S,, (R) dont toute valeur propre est strictement positive. Pour toute matrice M on note : [ M la transposée de M , mÿ- le coefficient de M situé dans la i--ème ligne et la j-ème colonne de M , det(M ) le déterminant de M lorsque M est une matrice carrée. Partie A Soit S une matrice de S,Ï (R). Le but de cette partie est d'établir l'inégalité (l) : n det(S) s Hs, . i=1 Soit S une matrice de S,, (R) . On rappelle qu'il existe une matrice P de O,, (R) et un élément (À1 ,k2 , ...... ,À,,)de R"tels que : 'PSP=D où Dest la matrice diagonale de M ,,(R) telle que V i & {l,2,....,n }, dil-- =)»,-- . 1° Soit S une matrice de S;',' (R). Déduire du rappel précédent : a) qu'il existe M élément de M ,, (R) tel que : S : tM M . b) que pour toutXélément de Mn,1(R)z l'XSX 2 0. c) que :V i & {l,2,....,n }, si,-- 20. 2° Soit S une matrice de S,Î+ (R) démontrer : a) qu'il existe M élément de GL,, (R) tel que : S : tM M . b) que pour toutX élément non nul de M ,...(R) : t X S X > 0 .

c) que :V i & {l,2,....,n }, sil-- > 0.

3° Soit S une matrice de S,Ï (R) n'appartenant pas à S,Î" (R) . Etablir 
l'inégalité (l) pour S.
4° Soit Sune matrice de S,Ï"(R) telle que: V i & {l,2,....,n }, sil-- : l .

a) Prouver que la fonction exponentielle est convexe sur R.

1 n
En déduire que: n,/k17t2 ..... I.,, S--[ZM].
" i=l

b) Démontrer que l'inégalité (l) est vérifiée par S.
5° Soit S une matrice quelconque de S,," (R). Soit T la matrice diagonale de M 
,, (R) telle
1

Sii

que :V i E {l,2,....,n}, til-- : etBlamatrice de M,,(R)définîe par B=TST.

a) Montrer que pour tout X élément non nul de Mn,1(R)ï ' X BX > 0 .

b) En déduire que B appartient à S ; + (R) .
c) Démontrer que l'inégalité (l) est vérifiée par S.

Partie B
Dans cette partie on utilise l'inégalité (l) de la Partie A pour établir 
l'inégalité d'Hadamard .

Soit A une matrice de M n (R).

1° Vérifier que l'on peut appliquer l'inégalité (l) à ' A A.

n n
2° En déduire l'inégalité d'Hadamard : ldet(A) | _<_ [[ Z(a ,a.)2 . '=1 k=l Partie C Dans cette partie on utilise l'inégalité d'Hadamard pour établir un résultat concernant les fonctions développables en série entière en 0 . Soit (an)n_>_0 une suite réelle telle que ao # 0 . Soit (b,, ) nZO l'unique 
suite réelle vérifiant :

n
00b0 =1 et Vïl 2.1, Eakbn_k =0.
k=0

1° Pour n ..>. 1 , on considère la matrice A de M ,, +1 (R) suivante :

ao () 0 () bo
al ao ". () bl
a '. °. !
A = :2 ,_ __ ,_ : . Calculer A
00 0 .
a a a a bn
n 2 l 0

Vérifier que A appartient à GL" +1 (R) . Appliquer les formules de Cramer pour 
en déduire que
det(A')

bn =
det(A)
2° On suppose qu'il existe un réel r strictement positif tel que la série de 
terme général

où A' est une matrice de M ,, H (R) à préciser .

+oo
la,, ] r" converge. On pose : 2! an ] r" = C . Montrer que la série de terme 
général (an )2 r2"

n==0

+oo
converge et que îl(an)2 r2n S C2 .

n==0
3° Utiliser alors l'expression de bn établie à la question 1° de la Partie C et 
l'inégalité
1 . . . ,
d'Hadamard pour démontrer que : Vn _>_1, lbn {S ...ou" où on est un réel 
p051tlf mdependant
"0

de n à préciser ( on pourra considérer la matrice A" de M ,, +1(R) obtenue à 
partir de A' en

multipliant la i-ème ligne de A' par r'"1 , pour tout i élément de {l,2,....,n 
+1 }).

4° Soit f une fonction de R vers R développahle en série entière en 0 telle que 
f (0) =# 0 .

Montrer que la fonctron ---- defime au vmsmage de 0 est developpable en sene 
ent1ere en 0.

f

Exercice3

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction numérique F de la variable 
réelle x telle que :
F(x) = Jgoee"x°h' dt.

1° Question préliminaire

Soit a une application de R vers R telle que lim a(t) : +oe . Soit p un entier 
naturel non nul,
t-->+oo

pourquoi l'égalité e"... = o 1 est--elle vérifiée '?
+°° (a(t))p

2° Montrer que l'ensemble de définition de F est ]0, + oo [.

3° Prouver que F est de classe C2 sur ]O,+ oo [.

4° Montrer que F est solution sur]0,+ oo[ de l'équation différentielle : y" + 
-1--- y' -- y = 0 (E).
x

5° Etude de F (x) quand x tend vers 0+ .

Dans cette question, x est un réel vérifiant : 0 < x < 1. a) On pose H (x)= L+oe e'x" ( 21 1 -------î;--]du. u .-- Montrer que H est définie et bornée sur 10,1 [. ----v EUR b) On pose K(x) : [: dv. Prouver que pour v élément de [x,1] on a : 0 _<. 1 -- e"" .<. v . En déduire que K (x) est équivalent à --- ln(x) quand x tend vers O'" . ---xu +00 3 c) Montrer que F (x) = L 2 du. u -----1 d) Déterminer un équivalent de F (x) quand x tend vers 0+ . 6° Etablir que : lim x F (x) = 0 et que lim x F '(x) = O( indication : on pourra considérer x----)+oo x--->+oo

une suite quelconque (x,, ),, d'éléments de [1,+ oo [ qui tend vers + co et 
utiliser le théorème

de la convergence dominée ).

7° Soit G une solution non nulle de (E) sur]0,+ oo[ vérifiant lim G(x) : lim 
G'(x) : O.
x-->+oe x----)+oe

On rappelle que le wronskien de F et G est l'application notée Wde ]O, + oo[ 
sur R définie
par: W=FG'--F'G.

. . , . , 1
a) Vérifier que W est solution sur ]0, + oo[ de l'équat10n d1fferent1elle : y + 
----- y = 0 et pour
x

x > O , calculer W(x) .
b) En déduire qu'il existe un réel ?» tel que pour tout x de ]O,+ oo[ , G(x) = 
X F (x) .