e3a Maths 1 PSI 2021

SESSION 2021 EUR y PSISM

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

On note F l'espace vectoriel des fonctions définies sur J =] -- 1, + à valeurs 
réelles.
Soit p EUR N. Pour tout &k EUR [ --1,p I, on définit les fonctions jf, sur J 
par :

VxeJ, f(x) =In(i+x) et VKkEeT[O0,p], f(x) =

(1 + x)
1. Étude du sous-espace vectoriel engendré par ces fonctions
P
1.1. Soient (az )rer-1,97 des réels tels que > az 4 est la fonction nulle.
k=-1

Démontrer que a_; = 0.

1.2. Démontrer alors que la famille Z = (fr)xeg -1.py est libre.
On note E = Vect(Z).

1.3. En déduire la dimension de E.

2. On note u l'application qui à toute fonction f de E associe la fonction g 
définie sur J par :
VxeJ, g(x) = (1 + x) f'(x.

2.1. Déterminer, pour tout k EUR [-1, p]|, les images de f4 par u.
2.2. Vérifier que u est un endomorphisme de E.
2.3. Déterminer le noyau et l'image de u.
2.4. Préciser u ! ({ f-1}), l'ensemble des antécédents de f_:.
2.5. Déterminer la matrice M de u dans la base Z.
2.6. L'endomorphisme u est-1l diagonalisable ?
2.7. L'endomorphisme u" est-il diagonalisable ?
3. Résoudre sur J l'équation différentielle (ED) f_,(r) = (1 + ?) y'(®).

4, Soit h; la solution de l'équation différentielle (ED) nulle en zéro.

4.1. On note h; la solution de l'équation différentielle h,(f) = (1 + r) y'(f) 
nulle en zéro.
Expliciter A3.
4.2. En itérant le procédé, on note pour tout entier naturel k > 2, h, la 
solution nulle en zéro de
l'équation différentielle h4_1() = (1 + #) y'(P).
Expliciter Az.
5. Étude de la série de fonction > hx
k>2

5.1. Montrer que la série de fonctions > h,; converge simplement sur J et 
calculer sa somme 7.
k>2
5.2. La fonction H est-elle dans E ?

5.3. En utilisant la question 5.1, vérifier que H est dérivable et que H" EUR E.

2/4
Exercice 2
On note S l'ensemble des suites réelles (u,),ex vérifiant la relation :
VnEN, uUyi5 = Uyii + Un.

1. On note y la racine positive du trinôme x° -- x -- 1.

. I
Justifier que y > 1 et que la deuxième racine est ----.

Y
2. On considère la suite réelle (y,),ex de S vérifiant : yo = 0, y; = I.

Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de y, valable 
pour tout entier
naturel n. Laquelle ?

n _| n+]1 _| n+1l, ,n 1 n _| n+]1
V5 y Vs V5 y V5

y" V5
3. Soit (X,),en une suite de variables aléatoires définie par :

(A) y» =

(2) yn

ue)

e X, et X, sont indépendantes et suivent toutes les deux une loi de Poisson de 
paramètres
respectifs À > 0 et u > Ü;

e pour tout entier naturel ñ : Xy15 = Xyry + X y.

3.1. Montrer que la variable aléatoire X, suit une loi de Poisson dont on 
déterminera le para-
mètre.

3.2. Démontrer que les deux variables aléatoires X, et X, ne sont pas 
indépendantes.

3.3. Montrer que : Vn EN", X, = ys_1 Xo + Yu X1.

3.4. Étude de l'espérance de la variable aléatoire X ppourpeN

3.4.1. Soit p EUR N. Justifier que la variable aléatoire X, possède une 
espérance que l'on
notera x, et la calculer en fonction de 1, u et de termes de la suite (y, ren.

3.4.2. Déterminer un équivalent de x, lorsque p tend vers l'infini.

3.5. Soit p EUR N. Justifier que la variable aléatoire X, possède une variance 
que l'on notera
V(X,) et la calculer en fonction de A, u et de termes de la suite (y, )ren.

3.6. Soient p et g deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Calculer, en fonction de 2, 4 et de termes de la suite (y, 1e, la covariance 
Cov(X,, X,) des
deux variables aléatoires X, et X,.

Que peut-on en conclure ?

Exercice 3

+00
Pour tout entier naturel r non nul, on pose : /, = [ exp (--f") dr.
I

1. Justifier, pour tout n EUR N", l'existence de J,.

2. En citant précisément le théorème utilisé, justifier l'existence et 
déterminer la limite de la suite
(pen:

3. En le justifiant, effectuer le changement de variable uw = f" dans ,.

3/4
4, Déterminer alors lim n1,.

n-- +00

On donnera le résultat en fonction d'une intégrale J que l'on ne cherchera pas 
à calculer.
5. En déduire un équivalent de /, au voisinage de + en fonction de J.
6. On considère la série entière > 1,x".

n>1
6.1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.

6.2. On pose pour tout x réel et lorsque cela est possible f(x) = > 1,Xx".
n>1
Donner l'ensemble de définition de f.

Exercice 4

Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n > 1, u un endomorphisme de 
E, m e N° et
A, An M nombres complexes distincts deux à deux.

1. On suppose que u est diagonalisable et que son spectre est {A;,...., Au}.

m

On rappelle que dans ce cas, E = S E ; où chaque E'; est le sous-espace propre 
associé à la
j=1

valeur propre À,;.

Montrer qu'il existe des projecteurs de E, (p;) jepi my nOn nuls, tels que :

VKEN, = ip; (®).
j=1
2. Dans cette question, on ne suppose plus z diagonalisable.
On suppose cependant qu'il existe une suite d'endomorphismes (p ;) ji my de E, 
non nuls et que
la suite de scalaires (1;) ;eq1my Vérifie (+).

2.1. Vérifier que l'on a : VY P E CIX], P(u) = > PQ) p;.
j=1
2.2. Montrer que u est diagonalisable.
On pourra chercher un polynôme annulateur de u scindé à racines simples.
| A | 7 X-À
2.3. Pour tout j; EUR [1,71], on considère le polynôme L;(X) -- IE
ae; 0 4

2.3.1. Déterminer, pour tout couple (5, j) EUR [[1, ml], L j(di).
2.3.2. Prouver que la famille Z = (L;) pi my St une base de C,,_[X].

2.3.3. Soit P e C,_[X1]. Déterminer les composantes de P dans la base Z.
2.4. Prouver que l''ona:Vjefl,ml, p; = L;(u).

2.5. Démontrer enfin que les 1; sont les valeurs propres de l'endomorphisme u.

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE - 211172 - D'après documents fournis