Centrale Maths 2 PSI 2022

Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Objectif

Ce problème propose d'étudier quelques propriétés d'un opérateur intégral U 
défini sur un espace préhilbertien
réel E. Cet espace et son produit scalaire sont introduits dans la partie IT et 
l'opérateur U est étudié dans la
partie II. Dans la partie IV, on s'intéresse à l'étude d'une famille 
d'équations différentielles à un paramètre
pour lesquelles on recherche des solutions développables en séries entières. 
Enfin, la partie V fait le lien entre les
vecteurs propres de l'endomorphisme U et les solutions des équations 
différentielles trouvées dans de la partie IV.

Liens entre les différentes parties
-- Les parties T et II sont très largement indépendantes à l'exception de la 
définition de la fonction k,..

-- La partie TI utilise les résultats de la partie IT ainsi que la condition 
d'appartenance à E établie dans la
partie I.

-- La partie IV fait ponctuellement appel à l'espace E défini et étudié dans 
les parties I et IL. Elle est indépen-
dante de la partie IIT.

-- La partie V utilise les résultats des parties III et IV ainsi que le 
résultat de la question 8.

Notations

+00
--t

On note E l'ensemble des fonctions f continues de R° dans R telles que 
l'intégrale | f? D dt converge.

0
R* -- R
# : +
Pour a EUR K°, on note p,, la fonction a 3
I Préliminaires : étude de quelques éléments de E
I.A --- Des fonctions de E utiles pour la suite
Q 1. Montrer que, pour tout & EUR R°, p, appartient à E.
Q 2. Soit P une fonction polynomiale non identiquement nulle à coefficients 
réels. Montrer que la restriction
de P à R° appartient à E si et seulement si P(0) -- 0.
; à : RO -- KR : :
Q 3. Soient a et b deux nombres réels. Montrer que la fonction à tip appartient 
à Æ£ si et
H ae
seulement si a = b=0(.
RU -- R
Q 4. Montrer que, pour tout x EUR K°, la fonction t est intégrable sur ]0, x].

Fr (et--1ÿ Fe

Q 5. Pour tout x EUR R° et tout £ EUR R°, on note k, (4) = er, 1 où min(r,t) 
désigne le plus petit des
réels x et {. Représenter graphiquement la fonction k,. Montrer que k, 
appartient à E.

I.B - Une condition suffisante d'appartenance à E

Dans cette sous-partie, on suppose que f est une fonction de R°. dans R de 
classe ©! vérifiant
lim f(x) = 0,
æ--0

L e7/2
2C>0; Vx>0, |f'(x)l

Ve

/\

Q 6. Pour x EUR R*

a/2  fat/2
:, on pose D(x) -- AE -- | A Montrer que ® est de classe C! sur R', que

1+%
0
lim (x) = 0 et que, pour tout x > 0, P'(x) > 0. En déduire que P(x) > 0 pour 
tout x > 0.

x--0

æ/2
Q 7. Montrer que, pour tout æ > 0, [f(x)| < TE . x Q 8. En déduire que fe E. M046/2022-02-16 10:22:02 Page 1/4 (cc) BY-NC-SA IT Structure préhilbertienne de E +00 --t Q 9. Montrer que, si f et g sont deux fonctions de Æ, alors l'intégrale | f(t)g(t) _ dt est absolument 0 convergente. Q 10. En déduire que Æ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C(R*, R) des fonctions continues sur KR à valeurs dans KR. +00 --t Pour toutes fonctions f EUR E et 9EUR E, on pose, {f | g) = | F9) -- dt. 0 Q 11. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur Æ. La norme |:] associée à ce produit scalaire est donc définie pour toute fonction f EUR E par = (fro"r] 1/2 Q 12. Montrer que lin |A, | -- 0. On rappelle que, pour tout x > 0, k,(4) = 
emintt) 27,
X--
+00
Q 13. Montrer que, pour tout k EUR N, | tfe-t dt = k!.
0

Q 14. On rappelle que les fonctions p,, ont été définies dans les notations en 
tête de sujet. La famille (p,, ),ewr
est-elle une famille orthogonale de E ?

III Un opérateur sur Ë
À chaque fonction f EUR E, on associe la fonction U (f) définie pour tout x > 0 
par

+00

UP) = UE LP) =] (ent 1) DE at

0

IIT. À -
Q 15. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour toute 
fonction f EUR F,

lim U(F)(x) = 0.
æ>0

Q 16. Montrer que pour toute fonction f EUR E et pour tout x > 0,

T

ven = fan fBar+(e -0 [ro at

0

Q 17. Soit f EUR E. Montrer que U(f) est de classe © sur R', et vérifie, pour 
tout x > 0,

wo) =e [ro at

Dans la suite, pour alléger les notations, la dérivée de la fonction U(f) est 
notée U(f)'.

Q 18. Soit f EUR E. Montrer que U(f) est de classe C*° sur R° et que la 
fonction U(f) est solution sur R° de
l'équation différentielle

y y = Ju) (IIL.1)

Q 19. Montrer que pour tout f EUR E et pour tout x > 0,

1/2

T° --t x/2
sure  0,

x/2
UC) < APE Q 21. En déduire que UCI < 41 F1]. Q 22. Montrer que U est injectif. Q 23. L'endomorphisme Ü est-il surjectif ? ITI.B -- On fixe deux fonctions f et g de Æ. Pour x > 0, on pose

Fa) = --U(f) (x)e

LT

Q 24. Vérifier que F est une primitive de xk f (x) -- sur l'intervalle R*.

ue
Q 25. Montrer que pour tout # > 0, |F(æ)U(g)(x)| < al x Q 26. Montrer que pour tout x EUR ]0,1}, [F(x)| < | f|(e-* --In(x)) On pourra utiliser la question 19. 1/2 Q 27. Montrer l'existence et calculer les valeurs des limites en 0 et en + de la fonction t+ F(t)U(g)(t). +00 Q 28. Montrer que (f | U(g)) = | U(f)'()U(g)'(t}e * dt. Q 29. En déduire que {f | U(g)) = {U(f) | g). IV Solutions d'une équation différentielle développables en série entière Pour p EUR (R* on note (E,) l'équation différentielle sur KR". (E,): ag" -- y!) + py = 0. Q 30. Soient p EUR KR* et (a, ),,ç.n une suite de nombres réels. On suppose que la série entière > a, Z" à un

n>0
+00
rayon de convergence infini. Montrer que la fonction f :æ+ Ù a,x" est solution 
de (E;,) si et seulement si
n=Û0

op = Ù,
n(in+lja,., =(n--pla,, Vne Nr.

IV.A -- Recherche de solutions polynomiales

Q 31. Montrer que (E,,) possède des solutions polynomiales non identiquement 
nulles si et seulement si
p EUR N°. Montrer qu'alors, les solutions polynomiales non nulles de (E,,) sont 
de degré p et appartiennent à
l'espace vectoriel E.

On ne demande pas de déterminer explicitement les solutions polynomiales 
lorsqu'elles existent.

Dans la suite de cette sous-partie, on fixe p EUR N* et on considère un 
polynôme P EUR R|X1] tel que la fonction
polynomiale x + P(x) soit solution de l'équation (Æ,). L'objectif est de 
déterminer une expression simple de P
en fonction du paramètre p.

Pour tout x EUR KR, on note h(x) = e *P(x).
Q 32. Montrer que la fonction h est solution de l'équation différentielle x(y°7 
+ y7) + py = 0 sur R*.

Q 33. Justifier que la fonction À est développable en série entière sur R.

On note (b,),en la suite des coefficients du développement en série entière de 
h. Aïnsi, pour tout + EUR RK,
+00

R(x) = D ba". On peut montrer, de la même façon qu'à la question 30 (cette 
démonstration n'est pas

Tv
demandée), que ces coefficients vérifient

n(n+1)b,,, =---(n+p)b,, Vne Nr.

À _1\n--1 Li |
Q 34. Etablir que, pour tout n EUR N°, b,, -- ED +P D'y.
pln!(n --1)!

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Q 35. On pose g, (x) = x? le *. Justifier que gP) est développable en série 
entière et déduire de la question 34
Jp D
que, pour tout x E K,

P(x) = Cxe* g) (x)

où C est une constante réelle dont on précisera l'expression en fonction de b, 
et de p.

IV.B --- Solutions développables en séries entières non polynomiales
Dans toute cette sous-partie, on fixe un réel p non nul et on suppose que p EUR 
N*.

Q 36.  Justifier l'existence de suites (a, ),en EUR R° non identiquement nulles 
telles que la série entière > a, x"

n>0
+00
ait un rayon de convergence infini et telles que la fonction x > a,x" soit 
solution de (E;,).
0)
On fixe une telle série entière et on pose pour # > 0,
+00
f()= > ant"
n=0

Q 37. Montrer qu'il existe un entier naturel q > p tel que, pour tout entier n 
> q.

> --1

q!la,
on--anl

Q 38. En déduire que, pour tout entier n > q, (a, | >
KR, -- KR
Q 39. Montrer que la fonction Y : = , nest pas un élément de Æ.
x dla, lr
n=q

Q 40. En déduire enfin que la fonction f n'est pas un élément de Æ.

V Éléments propres de U

Q 41. Le nombre réel 0 est-il valeur propre de U ?
Q 42. Soit À EUR R*. On suppose que À est valeur propre de U. Soit f un vecteur 
propre associé. Montrer que
f est solution de l'équation différentielle (E;,,).

On suppose que f est développable en série entière sur KR, c'est-à-dire qu'il 
existe une série entière Ù a,x" de
n>0
rayon de convergence infini telle que

+00

Vz ER, f(x) -- dax".
n=0

Q 43. Montrer que les seules valeurs propres possibles de U sont de la forme À 
= 1/p avec p EUR N*.
Q 44. Soit P une solution polynomiale non nulle de (Æ,). Démontrer que la 
fonction pU(P)-- P vérifie sur
R' l'équation différentielle y" -- y" = 0.
Q 45. Montrer que P est un vecteur propre de U pour la valeur propre 1/p.
Q 46. Pour tout entier p EUR N° et tout x > 0, on pose P, (x) -- reg (x), où 
g,(x) = x? "e ?. On rappelle
que P, est une fonction polynomiale de degré p et que P,, EUR E. Montrer que 
les polynômes PF, sont deux à deux
orthogonaux dans Æ,.

ee oeFINeee

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