Centrale Maths 2 PSI 2018

Thème de l'épreuve Notion de moment dans différents contextes
Principaux outils utilisés séries entières, espérance, convergence normale, intégrales généralisées
Mots clefs moment, loi de Poisson, fonction génératrice des moments, polynômes de Hilbert, sommation par paquets
fonctionssiries-entiires

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communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes: moment d'une 
variable aléatoire réelle
discrète à valeurs positives dans la partie I ; moment d'une suite numérique 
réelle dans la partie Il ; moment
d'une fonction dans la partie III.

Notations

Si f est une fonction de classe 000 et p un entier naturel, on note f(p,q)ew2 est une famille de nombres reels telle que
i. pour tout ]) E N, la série E lup,ql converge,
1120
+00
11. la serie E lupvql converge,
1720 (FC
+oo
alors, en notant Sp : E up7q et, pour tout n entier naturel, W,, = E up_q,
q=° (p,q)EURfN2
p+q=n
. pour tout q EUR IN, la série Ë up7q converge ; on note SZ; sa somme ;
P>O
. les séries E S' , E S' et g W convergent ;
P (1 "
p>0 1120 n>0

+30 +00 +oo
. E Sp : E S' = E W... c'est--à--dire:
«;
p=0 q=O n=0

+00 +90 +00 +00 +oo

}: up,q : Ë:upsq : E: }: uP-ÿ
p=0 q=0
p+q=n

I Moments d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Q, A, 
IP). On suppose que X (Q) C [R+*.

Si p E N, on dit que X admet un moment d'ordre p si la variable aléatoire Xp 
admet une espérance. On note
alors m,,(X), appelé moment d'ordre p de X, l'espérance de Xp.

On remarque que mO(X) : 1.

Q 1. Justifier que VkEUR [[l,nfl,0gng1+X".

Q 2. En déduire que, si X admet un moment d'ordre n (n EUR IN*), alors X admet 
des moments d'ordre k:
pour tous [EUR EUR [[l,n-- 1].

I.A * Fonction génératrice des moments

On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, X admet un moment d'ordre n 
et que la série entière

tn
Ë m,,(X)--, admet un rayon de convergence RX > O.
"20 n.
+00 Ën
Pour tout t EUR ]--RX, RX{, on note MX(t) : E mn (X)--|. La fonction MX 
s'appelle la fonction génératrice des
n.
n=0

moments de la variable aléatoire X.

2018-02-12 20:12:45 Page 1/4 (GQ BY--NC-SA

Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction M X permet de déterminer de 
manière unique la suite (mn (X))

nEURN'
Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout t EUR ]--R 
X, R X[, la variable aléatoire
etX admet une espérance et que Mx(t) : - (etX).
Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel R > 0 tel que, pour tout t 
EUR ]--R,R[, la variable

aléatoire etX admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la 
fonction génératrice des moments de X
contient ]--R, R[ et pour tout t EUR ]--R, R[, Mx(t) : *(etx).

On suppose que X et Ysont deux variables aléatoires réelles discrètes 
indépendantes à valeurs strictement
positives admettant des moments de tous ordres. On note RX (respectivement RY) 
le rayon de convergence
(supposé strictement positif) associé à la fonction M X (respectivement My).

Q 6. Montrer que la variable aléatoire X + Yadmet des moments de tous ordres et 
que
V[tl < mîn(RX: RY): Ï"X+Y(Ü : ÏWX(Ü >< MY

LB EUR Eæemples
A est un nombre réel fixé.

I.B.1) On suppose que Z est une variable aléatoire sur (Q, A, [P) suivant la 
loi de Poisson de paramètre À.
Q 7. Montrer que Z admet des moments de tous ordres.

Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de Z. En déduire les valeurs 
de m1(Z) et m2(Z )
I.B.2) Soit n un entier naturel non nul. Pour [ EUR [[1, 71], X ,- est une 
variable aléatoire sur (Q, /l , [P) suivant

une loi de Bernoulli de paramètre À/ n. On suppose que X 1: X2, ..., X" sont 
mutuellement indépendantes et on

n
pose Sn : î:X,.
i=1

Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Sn.
Q 10. Pour 75 EUR R, calculer lim MS (t).
n-->+oo "
Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8.
I.B.3) Pour n EUR N*, Un est une variable aléatoire sur (Q, A, [R) suivant la 
loi uniforme sur [[1, n]]. On pose
1
Y,, = --U,,.
n
Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Y,,.
Q 13. Pour 75 EUR R, calculer lim MY (t).
n-->+oo "

II Moments d'une suite numérique

Si (an)nEURlN est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel p, la 
série E npan converge absolument, on
71.20

+oo
appelle moment d'ordre p de la suite (an) le nombre 2 npan.
n=0
Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les 
moments d'ordre p (p EUR IN) sont nuls.

II.A -- Étude d'une fonction
On définit la fonction 

[R par @(OE)=exp(Æ) si:cl æ<1 Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul p, il existe deux polynômes PP et Qp à coefficients réels tels que, pour tout a: EUR ]--00, 1[, *q/2 q=0 (1. On considère les polynômes de Hilbert HO(X) : 1 : ?; ÎÎ(X k) : X') ( / | Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité VoeEUR]-- 1,1, 0 +oo Pour 2 EUR 23, on note O(z) : E a,,z" et, sous réserve de convergence, n=0 ©. : Z...a...z" n=0 Q 25. Justifier que, pour tout p EUR N* et tout 33 EUR ]--1,1{, <Ï),,(æ) : C par 0(æ) : 0 si a: < () 9()Î ln2æ+_lnæ _ >0 x -- exp 4W2 1 27r si 33 Q 32. Montrer que lina|0(m)l : 0. ma æ>0 Q 33. Justifier que 9 est de classe C°° sur [R+* et démontrer que, pour tout n EUR D\l*, il existe Pn EUR C{X] tel que P 1 V3: EUR ]0,+oe{ 9Û On pourra effectuer le changement de variable y : --lnæ. Q 35. Démontrer que 0 est de classe C°° sur [R. III.B + Étude d'une intégrale Q 36. Montrer que pour tout entier naturel p, l'intégrale +oo Ip = / e*"*P">' sintdt est absolument convergente et qu'elle vaut zéro. \ 1 . Q 37. A l'aide du changement de variable 75 = %, démontrer que 7r 2 2 +00 2 EUR*?" " f1 ln oe _ lnoe Vp EUR IN Ip : 27r /æP exp (-- 47r2 ) sm (ï) dx 0 Q 38. Conclure. oooFlNooo 2018-02-12 20:12:45 Page 4/4 @@ BY--NC-SA