Centrale Maths 2 PSI 2017

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unusuuns EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Objectifs

L'objectif du problème est l'étude de l'évolution de certains systèmes 
(discrets ou continus) à coefficients périq
diques, dans le cadre de la théorie de Floquet. Dans la première partie on 
démontre quelques propriétés des
suites complexes périodiques et des normes matricielles. La théorie de Floquet 
est introduite dans la partie Il
a travers l'étude de suites vérifiant une relation de récurrence linéaire 
d'ordre 2 à coefficients périodiques. Dans
la partie III, le résultat est généralisé au cas des suites vectorielles. Une 
approche du cas continu est proposée
dans la partie 1V. La partie V est consacrée à la preuve d'un lemme nécessaire 
a la partie 111 ; en dehors de
cette finalité elle est indépendante des autres parties.

Notations

-- M,,(C) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients 
complexes ;

-- M ,,71012) l'ensemble des matrices colonnes de taille n a coefficient 
complexes ; on identifie M n'1((fî) et C".
-- GL,,(C) représente l'ensemble des éléments inversibles de Mn (C).

-- tr(M) est la trace de la matrice M de M,,(C).

-- T,, ((C) désigne l'ensemble des matrice triangulaires supérieures d'ordre n.

-- 0Ln est la matrice ligne de taille n dont tous les coefficients sont nuls.

y1
-- Pour tout Y : ( 5 ) E C", on pose HY||OO : max |y,--|.

1<1 2, la suite nulle est la seule solution périodique 
de (11.1).

II.A.3) Montrer que si a : --2 alors, (11.1) admet une infinité de solutions 
constantes et une infinité de
solutions non bornées.

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II.A.4) Montrer que si a : +2 alors, (11.1) admet une infinité de solutions 
2--périodiques et une infinité de
solutions non bornées.

II.A.5) On suppose dans cette question que p est un entier supérieur ou égal à 
3. Donner une valeur de
11 EUR ]--2, 21 pour laquelle toutes les solutions de l'équation (11.1) sont 
p--périodiques.

II.B EUR Dans toute la suite de cette partie, on suppose que p est un entier 
supérieur ou égal à 2, que (ak)keN
et (bk)keN sont deux suites de nombres réels ppériodiques et que Vk EUR N, bk # 
0. On note Sol(11.2) l'ensemble
des suites complexes (zk)kEN qui vérifient la relation de récurrence

Vk E N*, bkzk+1 + aka + bkÿlzkÿl : 0 (11.2)
801(11.2) --> c2

zo est un isomorphisme de C--espaces vectoriels.
(Zk>keN '_>

21
II.B.2) On se fixe (yk)keN et (zk)kEURN, deux suites solutions de (11.2).
On pose pour tout k EUR N, Wk : bk(ykz:k+1 -- zkyk+l). Montrer que la suite 
(Wk)kEURN est constante.

II.B.1) Justifier que l'application 'Il :

II.E.3) Montrer que les deux suites (yk)kEURN et (zk)kEURN forment une base de 
Sol(11.2) si et seulement si WO # 0.

II. C * À toute suite complexe (zk)kEURN, on associe la suite (Zk)kEURN 
d'éléments de C2 définie par
VkEURN, zk=( Zk)
Zk+1

Démontrer que la suite (zk)kGN est solution de (11.2) si et seulement si la 
suite (Z k)keN est solution d'un système
(11.3) de la forme

Préciser la matrice Ak EUR M2 (C).

II.D * On note dorénavant @ : ApI1ApI2--nAO. On se fixe dans cette sous--partie 
une solution (Zk)keN
de (11.3).

II.D.1) Démontrer que det Q : 1.

II.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel k et tout entier naturel 7" EUR 
[[1, p -- 1]],

{ka : kao
ka+r : Arf1Arf2...A0ka0

II.E --

II.E.1) Démontrer que (11.2) admet une solution périodique non nulle de période 
p si et seulement si 1 est
une valeur propre de Q.

II.B.2) En déduire que (11.2) admet une solution périodique non nulle de 
période p si et seulement si tr(Q) : 2.

Démontrer que dans ce cas, ou bien toutes les solutions de (11.2) sont 
périodiques de période p, ou bien (11.2)
admet une solution non bornée.

On pourra démontrer qu'il existe une matrice P EUR GL2(C) et un nombre complexe 
oz tels que

Q : P(â Î)Pl et, dans le cas où oz # O, considérer la suite de Sol(ll.2) dont 
l'image par 'Il est

le vecteur P< ? ) . II.E.3) Montrer que si |trQ| < 2, alors toute solution de (11.2) est bornée. III Généralisati0n Soient n et ]) deux entiers supérieurs ou égaux à 2. On se fixe dans toute cette partie une suite (Ak),EUREURN de matrices de GL,,(C) que l'on suppose p--périodique, c'est--à--dire telle que Vk EUR N, Ak+p : Ak. On note Sol(111.1) l'ensemble des suites (Yk)kEURN de vecteurs de @" vérifiant la relation de récurrence (Ï)0:In III.A -- Justifier qu on defimt une suite (<Ï>k)kEURN de matrices de GL,,(C) en 
posant {®k+l : Ak'Ï'k Vk EUR N

et que (Yk)kEURN EUR Sol(111.1) si et seulement si Vk EUR N, Yk : (1)kYO.

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III.B --

III.B.1) Démontrer que Vk EUR N, (1)k+p : <1)k<1>p.

La matrice Q,, est appelée matrice de Floquet de l'équation (111.1) et ses 
valeurs propres complexes sont appelées
les multiplicateurs de Floquet de (111.1).

III.B.2) Soit p un multiplicateur de Floquet de (111.1).
a) Démontrer qu'il existe une solution (Yk)kEURN de (111.1) non nulle vérifiant 
Vk EUR Ù\l, Yk+p : ka.

b) Soit (Yk)kEURN une telle solution, démontrer que, si |p| < 1, klim HYkl|00 : O. '%+OE) Dans toute la suite de cette partie 111, on note B une matrice appartenant à GL,,(C) et vérifiant Bp : <1>p
(l'existence d'une telle matrice sera démontrée dans la partie V).

III. C EUR Démontrer qu'il existe une unique suite (Pk)kEURN EUR (GLn(C))N, 
périodique de période p, telle que
Vk e N, <î>k : P,,Bk

III.B * Soit (Yk)keN une solution de (111.1).
III.D.1) Justifier l'existence de M : 12an "Belle Montrer que pour tout k EUR 
Ù\l, ll®kll0 < n]V[\|Bkl|o. EUR III. D. 2) a) Démontrer que si lim ||BkH0 _ 0, alors lim HYkHoe _ O. kfi+ +oe> kä+oe

b) Démontrer que si la suite (HBkHO) est bornée, alors la suite ("Yklloo) est 
également bornée.

kEURN kEURN

III.E -- On suppose toujours que p est un entier supérieur ou égal à 2.

III.E.1) Soit R EUR C{X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à racines 
simples. Démontrer que le
polynôme R(X P ) est à racines simples si et seulement si R(O) # O.
III.E.2) En déduire que Q,, est diagonalisable si et seulement si B est 
diagonalisable.

III.E.3) On suppose que B est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres 
sont de module strictement

inférieur à 1. Démontrer que pour toute solution (Yk)kEURN de (111.1), klimæ 
HYkHoe : 0.

IV Le cas continu en dimension 2

Soient A une fonction continue, périodique de période T > 0 et X une fonction 
de classe 81

U? C2
A.)RaM.<@> X. * ...,,
' t |--> A t ' t |--> ( )
( ' m.
On s'intéresse au système différentiel homogène d'inconnue X
w EUR ne, X'(t) : A(t)X(t) (rv.1)
R --> C2 [R --> (132
On se fixe to EUR [R. On note U :  t |-->
"2 @) U2(Ü
(IV.1) vérifiant U(t0) : (à) et ve,) : (?).

IV.A --

IV.A.1) On considère le système différentiel linéaire (1V.2) dont les solutions 
sont des fonctions de classe 6'1 à
valeurs dans M2(GÊ)

w E [R, M'(t) : A(t)M(t) (rv.2)

Pour tout 75 EUR HQ, on pose E(t )-- -- {U(t),V(t )]. Vérifier que E est la 
solution de (1V.2) vérifiant E(t0) : 12.
[R --> M 2(Q:)
{F(t), G(Ül

"71

IV. A. 2) Réciproquement, si M. '... w
2

est une solution de (1V.2) et W = ( ) EUR (132, démontrer

lR-->C2

t r--> M(t)W : w1F(t) + w2G(t) est une solution de (1V.1).

que la fonction Y : '

IV.B EUR

"71

IV.B.1) Soit tl EUR R et W : (
w2

) EUR (132. On suppose que E(tl)W : (8)' Montrer que la fonction Y :

[R-->OEY

t +--> E(t)W : w1U(t) + w2V(t) est nulle. En dedu1re que pour tout reel t, E(t) 
est invers1ble.

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IV.B.2) Soit M EUR EUR1([R, M2(C)) une solution du système (IV.2).

Montrer que pour tout réel 1%, M(t) : E(t)M(t0).

IV.B.3) Déduire de la question précédente qu'il existe une unique matrice B EUR 
GL2(C) indépendante de t telle
que pour tout réel t, E(t + T) : E(t)B.

B s'appelle la matrice de Fl0quet du système (IV.1) et les valeurs propres 
complexes de B s'appellent les
multiplicateurs de Fl0quet de (IV.1).

IV. C *
IV.C.1) Soit p EUR C un multiplicateur de Floquet de (lV.1), c'est--à--dire une 
valeur propre de B, et Z EUR 632 un
., \ _ R --> C2
vecteur propre de B assooee a cette valeur propre. On note Y . t |_) E ( 1%) Z'
a) Démontrer que Vt EUR Üî, Y(t + T) : pY(t).
R --> C2

17) Démontrer qu'il existe un nombre complexe # et une fonction S' : ' non 
nulle et T--périodique telle

Vt & R, Y(t) : e"'S(t).
IV.C.2) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les 
multiplicateurs de Floquet pour que le
système différentiel (IV.1) admette une solution non nulle périodique de 
période T.

tr--> S(t)

IV.C.3) On suppose que la matrice B est diagonalisable. Donner une condition 
nécessaire et sufiisante portant
sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système diflérentiel (lV.1) 
admette une solution non bornée sur [R.

IV.D EUR On pose pour tout t EUR R, W(t) : det(E(t)) et on note p1 et p2 les 
multiplicateurs de Floquet de
(IV.1).
IV.D.1) Montrer que pour tout réel t, W'(t) : tr(A(t))W(t).

T
IV.B.2) En déduire que p1p2 : exp (/ tr(A(s)) ds).
0

V Racines p--ièmes dans GLn(C)

On se fixe un entier naturel ]) supérieur ou égal à 2. Pour toute matrice B de 
GLn(C), on appelle racine p--ième
de B toute matrice A de GLn(C) vérifiant AP : B. Le but de cette partie est de 
prouver l'existence d'une telle
matrice.

On rappelle le résultat suivant relatif au produit de deux matrices 
triangulaires par blocs.

Pour toutes matrices A1 et A2 de MJC), toutes matrices X1 et X2 de M n'1(C) et 
tous nombres complexes À1
et À2 :

A1 Xl A2 X2 * A1A2 A1X2+À2Xl
01,71 )'1 01.71 À2 _ 01,77, )'1À2

V.A * Soient A EUR Mn(e), X EUR M...(C) et /\ e (13.

k kf1
A X A'EUR X . .
Démontrer que, pour tout entier le 2 1 on a : : ;? où Xk : î: Àk*1*JAJ X.
01,71 A 01,11 A j=0

V.B * On notera dans toute cette sous--partie VP : {e2iæîfir ; [EUR EUR [[17 p 
-- 1]]}, l'ensemble des racines p--ièmes de

l'unité difi"érentes de 1.
@

V.B.1) Soient @ et À des nombres complexes non nuls. On suppose que )\

EUR VP, ce qui signifie que, soit a : À,
pf1
ap . .
soit À_P # 1. Démontrer que le nombre complexe î: Àp*1*3a3 est non nul.
j=0
V.B.2) Soit A = (a...) une matrice de Mn (C) triangulaire supérieure et 
inversible. Soit A un nombre complexe
pf1
a- - . .
non nul. On suppose que, pour tout i EUR [[1, n]], Â" EUR Vp' Démontrer que la 
matrice î: )\P*1*JAJ est inversible.
j=0
V.B.3) Montrer que toute matrice triangulaire supérieure et inversible admet au 
moins une racine p--ième
triangulaire supérieure.

On pourra prouver par récurrence sur n 2 1 la propriété suivante :

flsz

E ll i
VB EUR 7n(C) fi GLn(C). A EUR 7n(C) te e que {V(i,j) EUR [[1'n]]27 î-

.z' V
,j'É"

].

V.B.4) Démontrer que toute matrice inversible de MJC) admet au moins une racine 
pième.

oooFlNooo

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