Centrale Maths 2 PSI 2014

Mathématiques 2  0.
11.7 1 0 et 02 -- 02 = 1 montrer qu'il 
existe un unique 9 EUR IR tel que a : ch9
et b : sh 9.

II.A.2) Soient &, b, c et d quatre réels. On considère la matrice de M2(IR)

& ?)
L =
(. .)
Écrire les équations sur a, b, c, d traduisant l'appartenance de L a O(17 1).
II.A.3) En déduire l'égalité :

+ _ ch*y shv --chv shv
O (1'1)_{(shfy chv)"EURnæ}U{( shv --chv)"EURlR}

ch*y sh*y)

On note, dans la suite de cette partie II, pour tout réel % L('y) = (sh*y ch*y

II.A.4) Montrer, pour tous réels 'y et 'y', l'égalité :

L(W)LW/) = L(v + W')
En déduire que O+(17 1) () Ô(1,1) est un sous--groupe commutatif du groupe 
O+(17 1).
II.B -- Le groupe O+(1,1) () Ô(1,1) est--il compact ?

II .C -- Montrer que les matrices éléments de O+(17 1) sont diagonalisables et 
trouver une matrice P E O(2)
telle que, pour toute matrice L E O+(17 1), la matrice tPLP soit diagonale.

II.D -- Montrer que le groupe O+(1,1) est commutatif.

III « Décomposition standard » d'un élément du groupe de Lorentz
0(1, 3)

III.A -- Soit L = (riîj)1 1.

III.B -- Soient L : <Éi,j)1