Centrale Maths 2 PSI 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

Eoeponentz'elle de matrices

2013

Le but du sujet est d'étudier l'exponentielle de matrices, réelles ou complexes.
Dans tout le sujet, }) désigne un entier naturel non nul.

Si K désigne un corps, R ou C, on adopte les notations suivantes :

-- K[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients dans K.

-- Kp[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré au plus 19.

-- Mp(K) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre p à coefficients dans K.

-- Ip est la matrice identité de Mp(K).

-- Une matrice A E Mp(K) est dite antisymétrique si 'A = --A.

-- GLp(K) est l'ensemble des matrices inversibles de Mp(K).

-- On note tr l'application trace et det l'application déterminant.

-- OMR) est l'ensemble des matrices orthogonales à coefficients dans K et 
d'ordre p.
-- S OMR) est l'ensemble des matrices de Op(K) de déterminant 1.

-- On munit Mp(K) de la norme quadratique H - H2 définie par

VA = (ai,j)1oo

E(A) = lim (I.. + %A)

-- Lorsque K = K on munit Rp de sa structure canonique d'espace euclidien.

I Question préliminaire

Soit 27 E @.

On pose z=a+ib, où a,b EK.

I.A -- Soit H E N*. Déterminer le module et un argument de (l + %) n en 
fonction de a, b et n.
I .B -- En déduire que

lim (l + î)n : eZ

n_>00 "

2013--03--25 11:40:45 Page 1/4 @c) BY--NC-SA

II Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3

II.A -- Matrices antisymétriques d'ordre 2

0--04

Soit n E N*. Soit A E M2(R) une matrice antisymétrique. On pose A = (a 0 ) où 
04 E R.

II.A.1) Déterminer un nombre @... EUR Rï tel que

1 1
ÆÎ. (12 + EA) & SOZ(R)

II.A.2) Déterminer un nombre réel 9" tel que
à (fg + %A) = (rfi: 1îïî")

II.A.3) En déduire que E (A) existe et que c'est une matrice de rotation, dont 
on précisera l'angle.
II.B -- Matrices antisymétriques d'ordre 3
II.B.1) Soit B E M3(R) antisymétrique.
a ) Montrer que det B = 0.
b) Montrer que (Ker 'aB)L est stable par uB.
c) En déduire que B est de rang 0 ou 2.
II.B.2) Montrer qu'il existe une matrice P de Og(R) et un réel 5 tels que

0 0 0

B = P 0 0 --5 P _1
O 5 0

B
II.B.3) Montrer que lorsque l'égalité de la question précédente est vérifiée, 
on a \5\ = @

\Æ .

II.B.4) Montrer que E (B) existe et est une matrice de rotation. Préciser la 
valeur de son angle non orienté
en fonction de HBH2.

III Exponentielle de matrices diagonalisables

III.A -- Cas des matrices diagonales
Soit D E Mp(K) une matrice diagonale.

III.A.1) Montrer que E(D) existe et que E(D) EUR GLp((C).
III.A.2) Montrer qu'il existe un polynôme Q EUR C[X] tel que Q(D) : E(D).
III.A.3) Soit (A, +) le sous-groupe additif de Mp(R) formé par les matrices 
diagonales.

Montrer que E définit un morphisme de groupe de (A, +) dans (GLp(R), ><). 2013--03--25 114045 Page 2/4 (ce) BY--NC-SA III.B -- Eoez'stence et propriétés de E(A) lorsque A est diagonah'sable Soit A E Mp(K) une matrice diagonalisable. III.B.1) Montrer que E(A) existe. III.B.2) Montrer que det(E(A)) : etr(A). III.B.3) Soit 515 E @. Montrer que E (515119 + A) existe et que E(96Ïp + A) : eoeE(A) III.C -- Eoep0nentz'elle de la somme Soient A, B E Mp(K) deux matrices diagonalisables. On suppose que A et B commutent. III.C.1) Montrer qu'il existe P E GLp((C) telle que P _1AP et P _1BP soient diagonales. On étudiera les restrictions de @@ aux sous--espaces propres de uA. III.C.2) En déduire que E(A + B) existe et que E(A + B) : E(A)E(B) : E(B)E(A). IV Exponentie11e de matrices nilpotentes Soit A E MMC) et 16 E N* tel que A'EUR : 0 et Alf--1 # 0 (on dit que A est nilpotente d'ordre k). Soit également B EUR MAC). I V.A -- IV.A.1) Montrer que, pour tout entier j tel que 1 < j < k, Ker Aj_1 est inclus strictement dans Ker Aj . IV.A.2) En déduire que 16 < p. I V.B -- Montrer que E (A) existe. Proposer une procédure Maple ou Mathematica prenant en entrée une matrice triangulaire supérieure stricte A et renvoyant la valeur de E (A) IV. C' -- Montrer qu'il existe un polynôme Q EUR C[X] tel que Q(A) : E(A). IV.D -- Soit B E MMC). On suppose que A et B commutent et que E(B) existe. On admet que, pour tout entier 75 compris entre 1 et p, "11320 (Ip + %B) n = "1320 (Ip + %B) ... Montrer que E(A + B) existe et que E(A + B) : E(A)E(B). IV.E -- Soit 515 E @. Montrer que E(acÏp + A) existe et que E(acÎp + A) : eoeE(A). I V.F -- Montrer que E (A) -- Ip est nilpotente. 2013--03--25 11:40:45 Page 3/4 @c) BY--NC-SA V Cas général Soit A E M,,(C) et H E N*. On note X 'n P,,(X) : (1 + ;) EUR C[X] et XA le polynôme caractéristique de A défini par XA(X) : det(A -- XÏp) V.A -- Liens avec le polynôme caractéristique V.A.1) Montrer qu'il existe un unique couple (Q... Rn) EUR C[X] >< Cp_1[X] tel que Pn=QnXA+Rn V.A.2) Montrer que E (A) existe si et seulement si lim R,,(A) existe. n-->oo

V.A.3) Soient 16 E N* et Al, À2, . . ., Àk les racines de XA deux a deux 
distinctes, dont on note ..., 77.2, . . ., ..., les
ordres de multiplicité respectifs.

Pour tout entier q compris entre 1 et p, on note Jq la matrice de Mq((C) dont 
tous les coefficients sont nuls sauf
ceux situés juste au--dessus de la diagonale qui valent 1.

Montrer que, pour tout 515 E C, pour tout entier q compris entre 1et p, la 
famille {(oeIq + Jq)i, 0 < 75 < q -- 1} est libre. V.A.4) Soit B : diag{ÀJ... + J..., . . ., À;,Ink + Jnk} la matrice diagonale par blocs définie par À1[nl + Jn1 () . . . 0 () À2In2 + 1,12 . . . 0 B : ' . . : . '- 0 Montrer que XB : X A. V.B -- Convergence de E(A) V.B.1) Soit 75 un entier ; 1. Montrer que (AJ... + J...)i 0 . 0 . () (À2In2 + Jn2)z () BZ : _ _ : '- '- 0 . V.B.2) Soit P un polynôme annulateur non nul de la matrice B. a) Montrer que le degré de P est ; p. I)) En déduire que la famille {BZ, 0 < 75 < p -- 1} est libre. V.B.3) Montrer que lim P,,(B) existe. 'ÏL_>OO

V.B.4) En déduire que E (A) existe.

oooFINooo

2013--03--25 114045 Page 4/4 @c) BY--NC-SA