Centrale Maths 2 PSI 2008

- version du 19 fevrier 2008 17h4

MATHÉMATIQUES II

AP, BQ

inf
kA - Bk

I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue.

Filière

PSI

En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U  O3 (R) et S  S3+ (R)
telles que M = U S.

II.D - Etude d'un exemple

1 0
0

On considere la matrice M = 0 1 - 2.
2
0
0

On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire :
« Si M  M3 (R), il existe U  O3 (R) et S  S3+ (R), telles que M = U S
(decomposition polaire) ».

II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U  O3 (R) telle que M = U S.

II.B - Demontrer qu'il existe S  M3 (R) symetrique a valeurs propres positives
telle que tM M = S 2 .

II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives.

Soit M  M3 (R).

Partie II - Decomposition polaire

I.F - Soit P un sous-espace vectoriel
de M3 (R). Si r  R+ , on pose

Br = M  M3 (R)
kM k 6 r .

I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P  Br , O3 (R) .

I.F.2) Demontrer qu'il existe A  P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) .

I.E - Soit  l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)).
I.E.1) Soient M, N  M3 (R).
Demontrer que :

U  O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k,

puis que :
d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k.
I.E.2) En deduire que  est continue.

I.D - Soit A  M3 (R). Demontrer qu'il existe

U  O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k.

Page 1/3

I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un
compact de M3 (R).

I.A - Si A  O3 (R), calculer kAk.

Partie I - Generalites sur les distances

AP

On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q).

d(P, Q) =

· Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est 
:

BP

· Si A  M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P
est, par definition :
d(A, P ) = inf kA - Bk

· On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des 
matrices
symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R),
c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont 
positives
ou nulles.

· On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai.

i=1 j=1
2

a 0 0
· On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1)
0 0 c
est la matrice identite I3 .
· L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit
3 X
3
 X
t
scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B =
ai,j bi,j .

Notations et definitions

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 19 fevrier 2008 17h4

MATHÉMATIQUES II

AP, BQ

inf
kA - Bk

I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue.

Filière

PSI

En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U  O3 (R) et S  S3+ (R)
telles que M = U S.

II.D - Etude d'un exemple

1 0
0

On considere la matrice M = 0 1 - 2.
2
0
0

On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire :
« Si M  M3 (R), il existe U  O3 (R) et S  S3+ (R), telles que M = U S
(decomposition polaire) ».

II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U  O3 (R) telle que M = U S.

II.B - Demontrer qu'il existe S  M3 (R) symetrique a valeurs propres positives
telle que tM M = S 2 .

II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives.

Soit M  M3 (R).

Partie II - Decomposition polaire

I.F - Soit P un sous-espace vectoriel
de M3 (R). Si r  R+ , on pose

Br = M  M3 (R)
kM k 6 r .

I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P  Br , O3 (R) .

I.F.2) Demontrer qu'il existe A  P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) .

I.E - Soit  l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)).
I.E.1) Soient M, N  M3 (R).
Demontrer que :

U  O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k,

puis que :
d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k.
I.E.2) En deduire que  est continue.

I.D - Soit A  M3 (R). Demontrer qu'il existe

U  O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k.

Page 1/3

I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un
compact de M3 (R).

I.A - Si A  O3 (R), calculer kAk.

Partie I - Generalites sur les distances

AP

On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q).

d(P, Q) =

· Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est 
:

BP

· Si A  M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P
est, par definition :
d(A, P ) = inf kA - Bk

· On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des 
matrices
symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R),
c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont 
positives
ou nulles.

· On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai.

i=1 j=1
2

a 0 0
· On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1)
0 0 c
est la matrice identite I3 .
· L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit
3 X
3
 X
t
scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B =
ai,j bi,j .

Notations et definitions

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 19 fevrier 2008 17h4

MATHÉMATIQUES II

AP, BQ

inf
kA - Bk

I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue.

Filière

PSI

En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U  O3 (R) et S  S3+ (R)
telles que M = U S.

II.D - Etude d'un exemple

1 0
0

On considere la matrice M = 0 1 - 2.
2
0
0

On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire :
« Si M  M3 (R), il existe U  O3 (R) et S  S3+ (R), telles que M = U S
(decomposition polaire) ».

II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U  O3 (R) telle que M = U S.

II.B - Demontrer qu'il existe S  M3 (R) symetrique a valeurs propres positives
telle que tM M = S 2 .

II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives.

Soit M  M3 (R).

Partie II - Decomposition polaire

I.F - Soit P un sous-espace vectoriel
de M3 (R). Si r  R+ , on pose

Br = M  M3 (R)
kM k 6 r .

I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P  Br , O3 (R) .

I.F.2) Demontrer qu'il existe A  P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) .

I.E - Soit  l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)).
I.E.1) Soient M, N  M3 (R).
Demontrer que :

U  O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k,

puis que :
d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k.
I.E.2) En deduire que  est continue.

I.D - Soit A  M3 (R). Demontrer qu'il existe

U  O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k.

Page 1/3

I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un
compact de M3 (R).

I.A - Si A  O3 (R), calculer kAk.

Partie I - Generalites sur les distances

AP

On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q).

d(P, Q) =

· Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est 
:

BP

· Si A  M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P
est, par definition :
d(A, P ) = inf kA - Bk

· On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des 
matrices
symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R),
c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont 
positives
ou nulles.

· On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai.

i=1 j=1
2

a 0 0
· On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1)
0 0 c
est la matrice identite I3 .
· L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit
3 X
3
 X
t
scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B =
ai,j bi,j .

Notations et definitions

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

2

2i

!
- 2hU, Di + 3.

Filière PSI

Soit A  V. En considerant les valeurs propres de t AA, demontrer l'inegalite :
d(V, O3 (R)) > 1.

Calculer d(I3 , V), puis en deduire la valeur de d V, O3 (R) .

(a, b, c, d, e, f )  R6 .

· AV
· B orthogonale a I3 - D
1
· C = diag(-a2 - b2 , -a2 - c2 , -b2 - c2 ).
2
Dans la suite,  est la fonction apparaissant dans ce developpement limite de f .

IV.E - Justifier que :
I3 + t2 B + C + (t) - D > kI3 - Dk.

t0

IV.D - Demontrer que f a un developpement limite du type :
f (t) = I3 + tA + t2 (B + C) + t2 (t) avec (t) -- 0 ou A, B, C  M3 (R) 
verifient :

a, b, c sont ainsi fixes pour la suite, et on pose f : t  R 7 R1 (at)R2 (bt)R3 
(ct).

IV.C - Verifier que R1 (0), R2 (0), R3 (0) est une famille libre formee de 
matrices
orthogonales a I3 - D.
Demontrer qu'il existe a, b, c  R non tous nuls tels que aR1 (0)+bR2 (0)+cR3 
(0)  V.

IV.B - Comparer (D - I3 ) et V.

cos(t) - sin(t) 0
cos(t) 0 - sin(t)
1
0 ,
Pour t  R, on note R1 (t) =  sin(t) cos(t) 0, R2 (t) =  0
0
0
1
sin(t)
0
cos(t)

1
0
0
et R3 (t) = 0 cos(t) - sin(t).
0 sin(t) cos(t)

A l'aide de la partie III, on se ramene au cas ou d V, O3 (R) = kD - I3 k, avec
+
D = diag(x, y, z)  V, et
 x, y, z  R .
On suppose D 6= I3 , sinon, d V, O3 (R) = 0, et l'inegalite est vraie.

Dans toute la suite du probleme V designe un sous-espace vectoriel de dimension 
6
quelconque de M3 (R). On se propose de demontrer que d V, O3 (R) 6 1.

IV.A.2)

IV.A.1)

0
0
0

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

 a b
IV.A - Dans cette question seulement, V =  c d

e f

Page 2/3

III.C - Etude d'un exemple

1 0
0

Pour la matrice M = 0 1 - 2 definie dans la question II.D, calculer la
2
0
 0
distance d M, O3 (R) .

En deduire que d D, O3 (R) = kD - I3 k .

III.B.3)

i=1

i=1

i .

Si U  O3 (R), montrer que hU, Di 6

3
X

Si U  O3 (R), montrer que kD - U k =

III.B.2)

III.B.1)

3
X

III.B - Soit D = diag(1 , 2 , 3 ), ou les i sont dans R+ .

· Il existe D = diag(1 , 2 , 3)  W ou les i sont dans R+ , telle que
d W, O3 (R) = d D, O3 (R) .

· d W, O3 (R) = d V, O3 (R)

· dim(W) = dim(V)

III.A.2) En deduire que si V est un sous-espace vectoriel de M3 (R), il existe W
sous-espace vectoriel de M3 (R) verifiant :

Soient A  M3 (R) et U  O3 (R). Demontrer que kU Ak = kAU k = kAk.
En deduire que, pour tout A  M3 (R), il existe une matrice D diagonale a 
coefficients positifs telle que :

d A, O3 (R) = d D, O3 (R) .

III.A III.A.1)

Partie III - Distance a O3 (R)

MATHÉMATIQUES II

2

2i

!
- 2hU, Di + 3.

Filière PSI

Soit A  V. En considerant les valeurs propres de t AA, demontrer l'inegalite :
d(V, O3 (R)) > 1.

Calculer d(I3 , V), puis en deduire la valeur de d V, O3 (R) .

(a, b, c, d, e, f )  R6 .

· AV
· B orthogonale a I3 - D
1
· C = diag(-a2 - b2 , -a2 - c2 , -b2 - c2 ).
2
Dans la suite,  est la fonction apparaissant dans ce developpement limite de f .

IV.E - Justifier que :
I3 + t2 B + C + (t) - D > kI3 - Dk.

t0

IV.D - Demontrer que f a un developpement limite du type :
f (t) = I3 + tA + t2 (B + C) + t2 (t) avec (t) -- 0 ou A, B, C  M3 (R) 
verifient :

a, b, c sont ainsi fixes pour la suite, et on pose f : t  R 7 R1 (at)R2 (bt)R3 
(ct).

IV.C - Verifier que R1 (0), R2 (0), R3 (0) est une famille libre formee de 
matrices
orthogonales a I3 - D.
Demontrer qu'il existe a, b, c  R non tous nuls tels que aR1 (0)+bR2 (0)+cR3 
(0)  V.

IV.B - Comparer (D - I3 ) et V.

cos(t) - sin(t) 0
cos(t) 0 - sin(t)
1
0 ,
Pour t  R, on note R1 (t) =  sin(t) cos(t) 0, R2 (t) =  0
0
0
1
sin(t)
0
cos(t)

1
0
0
et R3 (t) = 0 cos(t) - sin(t).
0 sin(t) cos(t)

A l'aide de la partie III, on se ramene au cas ou d V, O3 (R) = kD - I3 k, avec
+
D = diag(x, y, z)  V, et
 x, y, z  R .
On suppose D 6= I3 , sinon, d V, O3 (R) = 0, et l'inegalite est vraie.

Dans toute la suite du probleme V designe un sous-espace vectoriel de dimension 
6
quelconque de M3 (R). On se propose de demontrer que d V, O3 (R) 6 1.

IV.A.2)

IV.A.1)

0
0
0

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

 a b
IV.A - Dans cette question seulement, V =  c d

e f

Page 2/3

III.C - Etude d'un exemple

1 0
0

Pour la matrice M = 0 1 - 2 definie dans la question II.D, calculer la
2
0
 0
distance d M, O3 (R) .

En deduire que d D, O3 (R) = kD - I3 k .

III.B.3)

i=1

i=1

i .

Si U  O3 (R), montrer que hU, Di 6

3
X

Si U  O3 (R), montrer que kD - U k =

III.B.2)

III.B.1)

3
X

III.B - Soit D = diag(1 , 2 , 3 ), ou les i sont dans R+ .

· Il existe D = diag(1 , 2 , 3)  W ou les i sont dans R+ , telle que
d W, O3 (R) = d D, O3 (R) .

· d W, O3 (R) = d V, O3 (R)

· dim(W) = dim(V)

III.A.2) En deduire que si V est un sous-espace vectoriel de M3 (R), il existe W
sous-espace vectoriel de M3 (R) verifiant :

Soient A  M3 (R) et U  O3 (R). Demontrer que kU Ak = kAU k = kAk.
En deduire que, pour tout A  M3 (R), il existe une matrice D diagonale a 
coefficients positifs telle que :

d A, O3 (R) = d D, O3 (R) .

III.A III.A.1)

Partie III - Distance a O3 (R)

MATHÉMATIQUES II

2
2

= kI3 - Dk + 2t2 hI3 - D, Ci + t2 2 (t)

· · · FIN · · ·

IV.J - Demontrer que d(V, O3 (R)) 6 1.

Page 3/3

Justifier que E  F est un cercle dont on determinera le rayon.
Quel est le diametre de E  G (c'est-a-dire la distance maximum entre deux de ses
points) ?

IV.I - Identifier geometriquement les ensembles suivants :

x2 + y 2 + z 2 = x + y + z ,
· E = (x, y, z)  R3

x+y =2 ,
· F = (x, y, z)  R3

3
· G = (x, y, z)  R
x+y >2 .

IV.H - Demontrer que x2 + y 2 + z 2 = x + y + z.

IV.G - Demontrer que l'un au moins des trois reels 2 - x - y, 2 - y - z, 2 - x 
- z
est negatif ou nul.
On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que 2 - x - y 6 0.

t0

avec 2 (t) -- 0. Qu'en deduire sur hI3 - D, Ci ?

I3 + t2 B + C + (t) - D

IV.F - Etablir que :

MATHÉMATIQUES II

Filière PSI