Centrale Maths 1 PSI 2019

Mathématiques 1 O)
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4 heures Calculatrices autorisées ON

Analyse combinatoire de différents modèles d'urne

En 1923, le mathématicien George Pélya introduit une expérience d'urne 
aléatoire pour modéliser la propagation
d'épidémies. Ce modèle, à base de tirages de boules colorées dans une urne, et 
ses généralisations ont donné
naissance à un grand nombre d'études qui ont conduit à des applications 
variées, notamment en économie et en
finance.

Au milieu des années 2000, le chercheur français Philippe Flajolet propose une 
nouvelle approche de ces modèles,

à base de combinatoire et de séries génératrices. Sa méthode s'applique à la 
totalité des modèles d'urne dite

« équilibrée », là où les techniques de résolution antérieures étaient 
spécifiques de chaque protocole de tirage.

Cette épreuve est organisée en cinq parties dans une large mesure indépendantes 
:

-- dans la partie I, il est demandé de démontrer un résultat du cours qui est 
utilisé dans la partie IV ; le résultat
de la question 6 sert dans la partie V ;

-- la partie IT traite un cas particulier qui est généralisé dans la partie IV ;

-- la partie IIT introduit la méthode de Philippe Flajolet ;

-- les parties IV et V étudient deux protocoles différents de tirage ; la 
partie V permet également d'établir un
lien avec certaines permutations d'un ensemble fini.

Notations

Dans tout le problème, on définit la famille de polynômes (L;)ren par

Lo=1
LR DR D Vk EUR N*

On appelle fonction polynomiale de deux variables réelles u et v, toute 
combinaison linéaire d'applications de
la forme (u,v) -- ufu/ où (i,j) EUR N?.

I Résultats préliminaires

IA - Soit à un réel. On note f,:xH (1--x) *.
Q 1. Préciser le domaine de définition D de f,. Justifier que f, est de classe 
C1 sur D et donner une
équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par f, sur D.

Q 2. Énoncer le théorème de Cauchy pour une équation différentielle scalaire 
linéaire du premier ordre et
démontrer que, pour tout x EUR |-1,1|,

+00 x"
n=0
Q 3. Rappeler la définition du produit de Cauchy de deux séries entières et 
énoncer le théorème qui s'y
rapporte.
Q 4. En déduire que, pour tout entier n et tous réels a et B,
fn
k=0
I.B -
+00
Q 5. Pour x EUR |---1,1/, donner la valeur de la somme de la série entière ÿ x? 
ainsi que celle de sa dérivée.
p=l
Q 6. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n EUR N*, il existe un 
unique polynôme R, EUR R,[X] tel

que, pour tout x EUR |---1,1|,

+00
R, (x)
np -- n
22? ä (x

2019-02-15 09:54:50 Page 1/5 (©) sY-Nc-sA
IT Un modèle particulier d'urne de Pôlya

On dispose d'un stock infini de boules noires et blanches. Une urne contient 
initialement une boule noire et une
boule blanche. On effectue une suite de tirages selon le protocole suivant :

-- on tire au hasard une boule de l'urne :
-- on replace dans l'urne la boule tirée ;
-- on ajoute dans l'urne une boule de la même couleur que la boule tirée.

On définit la suite (X,,),en de variables aléatoires par X, = 1 et, pour tout 
entier n > 1, X,, donne le nombre
de boules blanches dans l'urne après n tirages. On note g, la fonction 
génératrice de la variable X,. On rappelle

+00
que 9,(0) = D PIX, = R)U
k=0

Q 7. Déterminer les lois de X,, À, et X, puis les fonctions g,, go et g3.
Q 8. Soient n et k deux entiers supérieurs ou égaux à L. Établir que
k-- 1 n+l--k
P(X, = k) = PIX, =k-1 -- PIX, =k).
( n ) n+l ( n--1 ) + n+l ( n--1 )
Q 9. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 et tout réel #,
ES
Intt) = n+I 9 _1(t) + ÿn-1():
Q 10.  Démontrer que, pour tout entier n EUR N° et tout réel #,
1 n+1l
t) = ff.
Q 11. Identifier la loi de X,, et donner son espérance.

IIT Modèle général d'urne équilibrée
Dans cette partie, on généralise le modèle de la partie précédente.

Soient &p, Up, @, b, cet d six entiers naturels. On dispose à nouveau d'un 
stock infini de boules noires et blanches,
mais celles-ci sont cette fois numérotées, à partir de zéro, de manière à 
pouvoir les différencier. L'urne contient
initialement a, boules blanches et d, boules noires. On effectue une suite de 
tirages selon le protocole suivant :

-- on tire au hasard une boule dans l'urne ;

-- on replace cette boule dans l'urne ;

-- si la boule tirée est blanche, on ajoute dans l'urne a boules blanches et db 
boules noires ;

-- si la boule tirée est noire, on ajoute dans l'urne c boules blanches et d 
boules noires.

On suppose que a + b = c + d, on dit alors que l'urne est équilibrée et on note 
s=a+b=c+d.

Pour n > 1, une issue résultant de n tirages successifs est modélisée par le 
n-uple indiquant la couleur et le
numéro des boules successivement obtenues. On note (,, l'ensemble des issues 
possibles de ces n tirages.

La figure 1 donne deux exemples de 3 tirages (n = 3), pour ay = by = 1, a = d = 
1 et b = c = 0 (modèle de la
partie précédente). La boule au dessus de chaque flèche représente celle qui a 
été tirée.

©.) ©.k)e
OL: (1 Q

(@
Figure 1 Deux exemples de 3 tirages
La première suite de trois tirages est modélisée par l'issue w, = (B,,B,,N,) 
EUR (2 : la deuxième suite est

modélisée par l'issue w = (Bo, No, B;,) EUR 3. On note que ces deux issues 
différentes aboutissent à la même
composition de l'urne.

2019-02-15 09:54:50 (Cc)EATET:

Page 2/5
Pour w EUR (,, on note b(w) (respectivement n(w)), le nombre de boules blanches 
(respectivement noires) présentes
dans l'urne à la fin des n tirages modélisés par w.

Pour tous réels u et v, on pose P,(u, vu) = uv et P,(u,v) -- > ab) pre),

WE},
Pour n > 1, on note à nouveau À,, le nombre de boules blanches présentes dans 
l'urne après n tirages et g, sa
fonction génératrice.

Dans les deux questions suivantes, on suppose ay = 1, db =0,a=d--=0etb=c-- TI. 
En d'autres termes, l'urne
contient, au départ, une boule blanche et, à chaque tirage, on ajoute une boule 
de la couleur opposée à celle qui
a été tirée.

Q 12. En dressant la liste de toutes les issues possibles, donner la loi de X,.

Q 13. Vérifier que P,(u, v) = uv° + Auv° + u°v.

On revient désormais au cas général d'une urne équilibrée.

Q 14. En examinant le nombre de boules dans l'urne juste avant chaque tirage, 
justifier que, pour n > 1.

card(Q,,) = (ag + bo) X + X ((ao + bo + sfn --1)) = 8"LZ, (un)

Q 15. Montrer que, pour tout n EUR N° ct tout k EUR N.

_ card({w EUR Q,,;b(w) = kÿ)

P(X, = k) =
An = À) card Q,,
Q 16.  Justifier les égalités
(= PE D):
BRUT card(Q,) "7°
1 OP

EX) = os Ge 1)

Q 17.  Démontrer que, pour tout entier n.

OP OP
P,itu,v) = uv (u, v) + utvtti So (u, v). (IIL.1)

Pour tous réel x, u et v, on pose, sous réserve d'existence,

+00 n
H(x,u,v) = D _P,(u,v) --.
n!
n=Û0

Soit p > 0. On pose D, = ]-p,p| x ]0,2[ = {(x,u,u) E R° ; [x] < p, 0  0 tel 
que D, EUR U et, pour tout
(æ,u,v) EUR D,,

où Q,, est une fonction polynomiale de deux variables à préciser.

Q 23. Justifier que G admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à x sur 
le domaine D,, obtenue par
dérivation terme à terme par rapport à x de l'expression de A.

Q 24.  Démontrer que G admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à u 
sur le domaine D,, obtenue
par dérivation terme à terme par rapport à w de l'expression de A.

On admet qu'il en est de même pour la variable vw.

Q 25. En déduire que, pour tout entier n, P, = Q,, puis que A et G coïncident 
sur D,, où H et (P,, )nen ont
été définis dans la partie III.

Q 26.  Conclure que, pour tout entier n et pour tout k EUR [0, nl,

P(X, = ap + ka) = (.) On

Q 27. À l'aide du résultat précédent, retrouver celui de la question 10.

Q 28. À l'aide des résultats des questions 16 et 19, déterminer l'espérance de 
X,.

V Urne de Friedman et montées de permutations
Dans cette partie, on suppose que & = l, db =0,a=d=0,b=c= TI, ce qui correspond 
au protocole utilisé
dans les questions 12 et 13 (modèle introduit par Friedman en 1945).

V.A -

On conserve toutes les notations de la partie IIT (tous les résultats de cette 
partie peuvent être admis). On a
donc en particulier card(Q,,) = n!. On admet, pour 0 < u < v et |x| assez petit, l'égalité H(x,u, 0) D Sr ua (À) . Q 29. À l'aide de la question 6, justifier que, pour tout entier n et tous u et v tels que 0 < u < v, la somme Dre us (2) est une fonction polynomiale de u et v. On a donc, d'après la question 16, pour tout entier n et tout t EUR |0,1|, FR Drva- y, Dans toute la suite, on fixe un entier n > 2.
+00

Q 30. Montrer que > pit = Of),

p=n<1 t--0T Q 31. En utilisant ce qui précède et en développant (1 -- t)"*!, déterminer le développement limité de g,, à l'ordre n en 0. Q 32. En déduire que, pour tout m dans [|1,n}, 2. 2019-02-15 09:54:50 Page 4/5 (Cc)EATET: V.B - Montées d'une permutation Soit n EUR N* et u = (up....,u,) une suite finie d'entiers, deux à deux distincts. Une montée (respectivement descente) de u est un indice à EUR [0,n -- 1] tel que u, < u,,, (respectivement u, > u,,:).

Q 33. Soit k un entier supérieur ou égal à 1, (up, ...,u,) une suite finie 
d'entiers, et a un entier tel que a > ü
pour tout p EUR [0,k]. On insère la valeur a dans cette suite juste après u,, 
avec à EUR [0,k -- 1], de manière à
obtenir la suite (up, ...,u;,a,u;,,,...,u,). Comparer le nombre de montées et 
de descentes de la nouvelle suite
par rapport à l'ancienne. On distinguera deux cas.

On note S,, l'ensemble des permutations de ]1,n{], c'est-à-dire des fonctions 
bijectives de [1,n] dans lui-même.
On représente un élément © de $,, par la suite finie (o(1),o(2),.....,o(n)) et 
on appelle montée (respectivement
descente) de o une montée de cette suite. Par exemple, avec n = 4, la 
permutation o représentée par la liste
(a(1),o(2),a(3),a(4)) = (4,1,3,2) admet une montée et deux descentes. Pour tout 
entier m, on note 4,,, le
nombre d'éléments de 5, avec m montées.

Q 34. Déterminer les éléments de 5, et calculer parmi eux le nombre de 
permutations avec m montées
pour tout entier m. Comparer les valeurs obtenues avec les coefficients de 
P,(X,1) où P; a été exprimé à la
question 13.

Q 35. Soit n > 2. Déterminer À

L'objectif de ces dernières questions est de déterminer À,,,, pour tous entiers 
n 2 2 et m < n -- 1 en établissant un lien entre ces valeurs et le modèle d'urne étudié dans cette partie. 0 Ann-1 © Aym POUT M Zn. On étudie un algorithme permettant de construire une permutation de $,, à partir d'une issue correspondant à n tirages. -- On démarre la construction à la suite du premier tirage : on a nécessairement tiré la boule blanche et l'urne contient maintenant une boule de chaque couleur. On considère la suite (0,1,0) qui comporte exactement une montée et une descente. -- Si on tire la boule blanche (respectivement noire) lors du deuxième tirage, on insère la valeur 2 au mi- lieu de la première et unique montée (respectivement descente) de la suite pour obtenir la suite (0,2,1,0) (respectivement (0,1,2,0)). -- Plus généralement, pour tout k EUR [2,n], si au k-ième tirage on tire une boule blanche (respectivement noire) numérotée p, on insère la valeur k dans la suite au milieu de la (p+1)-ième montée (respectivement descente). -- À Ja fin de la construction, on supprime les deux 0 de la liste (qui sont nécessairement restés en début et fin de liste). La liste obtenue contient les entiers de 1 à n et représente un élément © de $,,. Si w désigne la suite des tirages, on note o(w) la permutation obtenue. À titre d'exemple, construisons o((B,, No, B)). -- Tirage 1: B, On démarre avec la suite (0, 1,0). -- Tirage 2: N, insère au milieu de la première (p = 0) descente (la boule est noire) pour donner la L'entier 2 (k = 2)s 1,2,0) nouvelle suite (0, 1, -- Tirage 3: B, L'entier 3 s'insère au milieu de la deuxième montée pour donner (0,1,3,2,0). On obtient ainsi o((B,, No. B,)) = (1,3,2). Q 36. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, construire la permutation de 5: associée à l'issue (B,, B,,N,,N,,B). Q 37.  Réciproquement, soit o l'élément de S; représenté par la suite (7,1,3,6,5,4,2). Déterminer une issue w comportant 7 tirages telle que o,, = a. Q 38. À l'aide de la question 33, comparer, pour une issue quelconque, le nombre de boules blanches dans la composition finale de l'urne au nombre de montées de la permutation qui lui est associée par l'algorithme ci-dessus. On admet que l'application w H o{w) est bijective de Q,, dans $,, et qu'elle induit une bijection entre l'évènement (X,, = m) et l'ensemble des permutations de $, ayant m -- 1 montées. Q 39. Soit m EUR ]1,n]. Déterminer, pour tout entier n > 2 et tout m EUR [0,n 
-- 1] le nombre 4,,, de
permutations de $, ayant m montées.

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2019-02-15 09:54:50 Page 5/5 (Cc)EATET: