Centrale Maths 1 PSI 2018

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cum:nuns EENTHHLE--SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Autour des matrices de Toeplitz

Dans tout le problème, [K désigne le corps [R ou C, n un entier naturel 
supérieur ou égal à 2, [Un l'ensemble
des racines n--ièmes de l'unité. Si a et b sont deux entiers relatifs tels que 
a < b, [[a,b]] désigne l'ensemble {a,a + 1, ...,b -- l,b}. [K[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans [K. L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans [K est noté M,,(IK). Si (tÿ,,+1,...,t0,...,tnÿl) EUR [K2n*1, on note T(tÿn+l, ...,t0, ...,tnÿ2,tnÿl) la matrice t0 tl f2 tn+1 L1 750 t, 5 L L -. -. : T(t+n+lv"'7t07'"7tn+27tn+1) : --2 ._'1 tl t2 . . tél 150 t, t+n+1 tÿ2 Ll 750 Une telle matrice est appelée matrice de Toeplitz d'ordre n. On nomme Toepfl([K) l'ensemble des matrices de Toeplitz d'ordre n à coefficients dans [K : Toepn(u<) = {M e M,,(IK) | E(tÿn+1,...,t0, ...,t,,ÿ,) e u<2"*1, M = T(tÿn+1,...,t0, ...,tnÎ2,tnÿl)} Une matrice N de M,,(D<) est dite nilpotente s'il existe p EUR D\l* tel que N ? = 0. On admettra qu'une telle matrice vérifie N " = 0. Pour toute matrice M de M,,([K), on note XM son polynôme caractéristique défini par x M(X ) : det(X I,1 -- M). Si P : ao + a1X + + (zpo (p E [N) est un polynôme de [K[X], P(M) désigne la matrice P(M) : aol" + a1M + + apMp Le but de ce problème est l'étude de certaines propriétés des matrices de Toeplitz. La partie I traite de généralités sur les matrices de Toeplitz et de quelques exemples. La partie Il, indépendante de la partie I, étudie un type particulier de matrices de Toeplitz -- les matrices circulantes -- en s'intéressant à leur structure et a leur diagonalisabifité. Enfin, la partie III, indépendante des précédentes, aborde l'étude des matrices cycliques et les relie aux matrices de Toeplitz. I Généralités et quelques exemples I.A -- Généralités Q 1. Montrer que Toepfi(C) est un sous--espace vectoriel de M,,(C). En donner une base et en préciser la dimension. Q 2. Montrer que si deux matrices A et B commutent (AB : BA) et si P et Q sont deux polynômes de C[X], alors P(A) et Q(B) commutent. I.B -- Cas de la dimension 2 Soit A : (É 2) une matrice de Toeplitz de taille 2 >< 2, où (a, b, c) sont des complexes. Q 3. Donner le polynôme caractéristique de A. Q 4. Discuter, en fonction des valeurs de (a, b, c), de la diagonalisabilité de A. Réduction d'une matrice sous forme de Toeplitz Q 5. Soit M : (î 2) une matrice de M2(C). Montrer que M est semblable a une matrice de type (% g) ou de type ((C; l)' où oz, ,6 et y sont des complexes avec oz # ,8. Q 6. En déduire que toute matrice de M2(C) est semblable à une matrice de Toeplitz. I.C' -- Un autre cas particulier : les matrices tridiagonales Une matrice tridiagonale est une matrice de Toeplitz de la forme T(O, ...,0,t11,t0,t1,0, ...,0), Le. une matrice de la forme a b (0) An(a, b, c) = c b (0) c et où (a, b, c) sont des complexes. On fixe (a, b, 0) trois nombres complexes tels que bc # 0. On se propose de chercher les éléments propres de An (a, b, c). 551 Soit A E C une valeur propre de An(a, b, c) et X = ( $ ) E C" un vecteur propre associé. as TL Q 7. Montrer que si l'on pose 950 = 0 et 3:n+1 : 0, alors (ssl, ..., oen) sont les termes de rang variant de 1 a n d'une suite (%.)ng vérifiant 330 = O, a:n+1 : 0 et Vk:EIN, boek+2+(a--À)xk+l+cxk=0 Q 8. Rappeler l'expression du terme général de la suite (æk)kEURN en fonction des solutions de l'équation boe2+(a--À)æ+c=0 (1.1) Q 9. À l'aide des conditions imposées à 500 et fin +1, montrer que (1.1) admet deux solutions distinctes T1 et T2- Q 10. Montrer que 73 et 73 sont non nuls et que r1/r2 appartient a (Un +1. Q 11. En utilisant l'équation (1.1) satisfaite par rl et @, déterminer 7373 et T1 + 73. En déduire qu'il existe un entier EUR EUR [[1, n]] et un nombre complexe p vérifiant p2 : bc tels que EUR7T À=a+2pcos(n+1) '" êk Q 12. En déduire qu'il existe oz E C tel que, pour tout 143 dans [[O,n + 1]], 33k = 2iaî--k sin ( +71). 71 Q 13. Conclure que An(a, b, c) est diagonalisable et donner ses valeurs propres. II Matrices circulantes Une matrice circulante est une matrice de Toeplitz T(tÿn +1, ...,t0, ...,tn12,tnÿl), pour laquelle V]{ÎEUR[[1,'ÏL-1Ïl, tk=tfn+k Elle est donc de la forme t(] tl ZÎnf2 tnf1 Z("nil t() tnf2 T(tlvt27 '7t07t17 "7tnf27tn--1)= tnf2 5 tl tl tnf2 2Înf1 t(] 0 l 0 0 0 0 '. È On pose Mn: ; 0 et wn=e2"/". () l 1 0 0 Q 14. Calculer Mâ, ..., Mg. Montrer que M" est inversible et donner un polynôme annulateur de Mn. Q 15. Justifier que Mn est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées a l'aide de Lun) et donner une base de vecteurs propres de M". Q 16. On pose (I)" : (w£lpfl'(q*1>)lgpngn EUR Mn(C). Justifier que (I)" est 
inversible et donner sans calcul la
valeur de la matrice ©;1MnOEn.

Q 17. Soit A une matrice circulante. Donner un polynôme P E C[X] tel que A : 
P(Mn).

Q 18. Réciproquement, si P E C[X], montrer, à l'aide d'une division euclidienne 
de Ppar un polynôme bien
choisi, que P(Mn) est une matrice circulante.

Q 19. Montrer que l'ensemble des matrices circulantes est un sous--espace 
vectoriel de Toepfl (C), stable par
produit et par transposition.

Q 20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses 
valeurs propres et une base de
vecteurs propres.

III Étude des matrices cycliques

III.A -- Endomorphismes et matrices cycliques

Pour toute matrice M de M,,(C), on note f M l'endomorphisme de @" canoniquement 
associé à M.
Q 21. Montrer que si M est dans M,,(C), alors les propositions suivantes sont 
équivalentes :

i. il existe % dans C" tel que (oe0,fM(xo), ..., 1'Ç[1(x0)) est une base de C" ;

ii. M est semblable à la matrice C(a0, ..., a,,ÿ1) définie par

0 0 () ao
1 5 al

C(a0,...,anÿl)= 0 $ '
È 0 :
0 0 1 @

où (a... ..., a,,ÿ1) sont des nombres complexes.
On dit alors que f M est un endomorphisme cyclique, que M est une matrice 
cyclique et que 330 est un vecteur
cyclique de f M.

III.A.1) Soit M dans M,,(C). On suppose que fM est diagonalisable. On note 
(Al,...,/\n) ses valeurs
propres (non nécessairement distinctes) et (el, ..., en) une base de vecteurs 
associée à ces valeurs propres. Soit
TL

u : u,e, un vecteur de @" où (ul, ..,un) sont n nombres complexes.

z'=1
Q 22. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur (ul, ..., un, 
À1, ..., À,,) pour que (u, fM(u), ..., Ï[1(u))
soit une base de C".

Q 23. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un 
endomorphisme diagonalisable soit cy--

clique. Caractériser alors ses vecteurs cycliques.
III.A.2) Soit ((L... ..., anÿl) E C". On s'intéresse aux éléments propres de la 
matrice C(a... ..., ann)-
Q 24. Soit /\ un nombre complexe. En discutant dans C" du système C(a... ..., 
anÿl)X : /\X , montrer que A

est une valeur propre de C(a... ..., anÿl) si et seulement si A est racine d'un 
polynôme de C[X] a préciser.

Q 25. Si A est racine de ce polynôme, déterminer le sous--espace propre de 
C(a... ..., anÿl) associé à la valeur
propre À et préciser sa dimension.

Q 26. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice 
cyclique soit diagonalisable.
III.A.3) Commutant d'un endomorphisme cyclique

Soient M une matrice cyclique et 330 un vecteur cyclique de f M. On cherche a 
montrer que l'ensemble

EUR(fM) = {9 EUR Æ(Cn) | fM°g=gofM}

est l'ensemble des polynômes en fM.

Q 27. Soit P E C[X]. Montrer que P(fM) EUR EUR(fM).
Q 28. Soit g E EUR(fM). Montrer qu'il existe (do, ..., anÿl) E C" tels que g = 
%]an + a1fM+ + anÿl x;l.

On pourra utiliser la base (oeo,fM(sco), ..., Ï/Î1(OEO)) et exprimer g(oe0) 
dans cette base.
Q 29. Oonclure.
() 0 0
1 0 =
III.A.4) Soit N = 0 '
0 0 1 0
Q 30. Donner les valeurs propres de N et les sous--espaces propres associés. 
Est--elle diagonalisable '?

Q 31. La matrice N est--elle cyclique '?

Q 32. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec N est l'ensemble 
des matrices de Toeplitz
triangulaires inférieures.

III.B -- Quelques résultats de calcul matriciel dans M,,(lR)

Dans toute la suite du problème, les matrices considérées sont & coejficients 
réels.

Si A : (aij)lgi,jgn est une matrice d'ordre n et k est un entier dans [[--n + 
1, n -- l]], on dit que le coefficient a,]--
de A est un coefficient diagonal d'ordre [0 si j --i = If.

On note A(k) = (aîÏ')1g,-7jgn la matrice définie par V(i,j) EUR [[l,n]]2, (1

(k) _ {aÜ Slj--i=lEUR

" _ 0 sinon

Tous les coefficients de cette matrice sont nuls sauf ses coefficients 
diagonaux d'ordre 10 qui sont égaux aux
coefficients diagonaux d'ordre [0 de A.

123 100 020 000
Ainsi,siA= 450,A<°>= 050,A...= 006,A...= 400.
789 009 000 080

On note Dk la matrice de M,,(lR) dont tous les coefficients sont nuls sauf les 
coefficients diagonaux d'ordre 10
qui valent 1. Pour tout entier relatif k, on définit l'espace vectoriel Ak par

et Ak : {0} sinon. Ainsi, A0 est l'ensemble des matrices diagonales, Al 
l'ensemble des matrices dont tous les
coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux d'ordre 
1, Ail l'ensemble des matrices dont
tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux 
d'ordre --1.

n+1
Pour tout k dans Z, on note H k l'espace vectoriel @ A,.
i=k

Q 33. Montrer que si i et j sont dans [[--n +1,71 --1]], si A EUR A, et B EUR 
Aj, alors AB EUR A,+j.
Q 34. En déduire que si A EUR H,- et B EUR Hj, alors AB EUR Hi+j

III.B.1)

Q 35. Soit C' une matrice nilpotente. Montrer que I,, + C' est inversible et que

(In + C)*1 : In -- C + CZ + + (_1)n+1Cnf1

On suppose que 10 2 0 et que C' est une matrice de Ak+1. On pose P = I,, + C.
n--l
Q 36. Monter que Pest inversible et que P*1 EUR @ Ap(k+l)'
p=0
On considère l'endomorphisme 
 P*1MP.

Q 37. Soient i EUR |ÏO, k]] et M EUR A,. Montrer qu'il existe M' dans Hk+1 tel 
que  = A(k> + NC -- ON

III.C -- L'opérateur de Sylvester
On définit les opérateurs

. M.OE)+fl@lb @, ÿ »MJ®--+MgOE>

"" X|-->NX--XN ZX|-->'NX--X'N

Q 40. Montrer que le noyau de 5 est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles 
triangulaires inférieures.
On admet que le noyau de 5* est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles 
triangulaires supérieures.

Q 41. Montrer que 5(Ak+1) C Ak et 5*(Ak) C Ak+1-

On munit M,,(lR) de son produit scalaire usuel défini par: V(M1,JV[2) EUR 
M,,(lR), (M1,M2> : tr('MlM2).
On note 5k+1 la restriction de 5 à Ak+1 et 52 la restriction de 5* a Ak.

Q 42. Vérifier que pour tous X dans Ak+1 et Ydans Ak,  : (X, SËY>. En 
déduire que ker(52)
et lm(5 k +1) sont supplémentaires orthogonaux dans Ak, c'est--à--dire que

AfiamaWHmam

Q 43. Soient T une matrice triangulaire supérieure, A = N + T et k 2 0. Montrer 
que A est semblable à une
matrice L dont tous les coefficients diagonaux d'ordre k sont égaux et 
vérifiant Vi EUR [[--1,k -- 1]], L... = A....
Q 44. En déduire que toute matrice cyclique est semblable a une matrice de 
Toeplitz.

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