Centrale Maths 1 PSI 2015

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EUNEHUHSEENTHHLE-SUPËLEE 4heures Calculatrices autorisées N

Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton--Watson qui permet entre 
autres de modéliser le déve-
loppement d'une population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou 
en physique nucléaire.

Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé (Q, ./l, P).

Si X est une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera G 
X, série entière de rayon de
convergence au moins 1, la fonction génératrice de X. On rappelle que la 
fonction génératrice de X est la
somme de la série entière :

Vt e [--1, 1] GX(t) = E(tX) = ÎP(X = n)t"
n=O

La fonction génératrice d'une variable aléatoire caractérise sa loi. Plus 
précisément, si X est une variable aléatoire
+00

à valeurs dans N et si (an) est une suite de réels positifs tels que, pour tout 
t EUR [O, 1[, G X (t) = Eafit", alors,
n=O

pour tout n EUR N, an = P(X = 71).
On admettra le théorème suivant (lemme de Cesaro) : si (an)nEURN est une suite 
de nombres réels convergente

vers l et si on pose, pour 71 EUR N*, b,, : Ë(a1 + + an), alors la suite 
(bn)n>1 converge vers l.

I Etude d'une suite récurrente

On considère une fonction f de classe 82 sur [O, 1] à valeurs dans [0,1] telles 
que f ' et f" soient à valeurs
positives. On suppose f(1) = 1, f'(O) < 1 et f"(1) > O.

On considère de plus la suite récurrente (un)nEURN définie par 110 = O et, pour 
tout 71 EUR N, un+1 : f (un)
On pose m = f'(1).

I.A --

I.A.1) Montrer que la suite (un)neN est croissante, puis qu'elle est 
convergente. On note 1 sa limite.

I.A.2) Montrer que l'équation f (a:) = x admet une plus petite solution. Dans 
toute la suite, on la notera xf.
I.A.3) Montrer que l : oef.

I.B -- On suppose m > 1. Montrer que xf EUR [O, 1[.
LG -- On suppose maintenant m < 1. Montrer que oef : 1 et que pour tout n EUR N, un = 1. I.D -- Dans cette question, on suppose m = 1. 1 1 " 1 I.D.1) On pose, pour n EUR N, en : 1 -- un. Montrer que lim ( -- --) = f ( ). n-->+oo 8n+1 en 2
2

I.D.2) En déduire que, quand n tend vers l'infini, 1 -- un N f"(1) .

71

On pourra utiliser le lemme de Cesaro admis en préambule.
I.E -- On suppose maintenant m < 1 et on pose encore, pour 71 EUR N, en = 1 -- un. I.E.1) Montrer que la série de terme général en est absolument convergente et en déduire la convergence de --(n+1) celle de terme général ln <...) . m""en I.E.2) En déduire qu'il existe 0 > 0 tel que, quand n tend vers l'infini, 1 -- 
un ... cm".

Il Formule de Wald

Soient (Xn)nEURN* une suite de variables aléatoires, mutuellement 
indépendantes, de même loi à valeurs dans N, et
T une variable aléatoire à valeurs dans N indépendante des précédentes. (T, 
Xn)nEURlN* est une famille de variables
aléatoires mutuellement indépendantes.

On note G X la fonction génératrice commune a toutes les Xn.

Pour n EUR N et w EUR Q, on pose Sn(w) : ZXk(w) et SO(w) : 0, puis, S(w) : 
ST(...)(W)-
k=1

2015-0224 10:23:51 Page 1/4 [_

II.A -- On souhaite démontrer l'égalité G S : GT 0 G X.
II.A.1) Montrer que, si X et Y sont deux variables aléatoires a valeur dans N 
indépendantes, alors G X +Y : G xGy.

II. A. 2) En admettant que, pour tout [EUR EUR N, Sk est indépendante de Xk+1, 
prouver que, pour tout k EUR N,
Gs= (Gx)k .

II.A.3) En admettant que, pour tout 71 EUR N, T et S,, sont indépendantes, 
montrer que

VtEUR[O,1[,VKGN t)=(=ÎPT k)( )((Gxt) )+â(k=zK+P( (T= k)P (S,, =n)t")

k0

II.A.4) Pour K EUR N et t EUR [O, 1[, on pose RK = 2 ( î: P(T : k)P(Sk = n)t").
n=0 k=K+1

1 00
Montrer que 0 < RK < -- î: P(T = k). II.A.5) Conclure. II.B -- En déduire que, si T et les X,, sont d'espérance finie, alors S aussi et E(S) : E(T)E(Xfl. II. C -- Lors d'une ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d'oeufs suivant la loi de Poisson de paramètre À > 0. Ensuite, la probabilité qu'un oeuf donné devienne un nouvel insecte est 
& EUR ]0,1[.

II.C.1) Rappeler la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant la 
loi de Poisson de paramètre À.

II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du 
nombre d'insectes issus de la
ponte.

III Processus de Galton--Watson

+oo

Soit 11 une loi de probabilité caractérisée par la suite (pk)keN de nombre 
réels entre 0 et 1 telle que Zpk = 1.
k=0

Dire qu'une variable aléatoire X sur (Q,.Â,P) suit la loi # signifie que X(Q) C 
N et, pour tout k EUR N,

P(X : k) =

On suppose que po + 191 < 1 (ce qui signifie qu'il existe au moins un entier k supérieur ou égal à 2 tel que Pk # 0)-- On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des variables aléatoires (X...,)...fiûewa indépendantes qui suivent toutes la loi ,a, on pose YO la variable certaine égale à 1 et, pournEURNetwEURQ, Yn+1(w) : 0 Si Yn ((U) = 0 Yn(w) Yn+1(w) : Xn,i (CU) Si Yn (CU) # 0 i=1 Yn représente le nombre d'individus a la génération n. S'il n'y a pas d'individu a la génération n, il n'y en a pas plus a la génération suivante et sinon, le nombre de fils du ième élément de la génération n est égal à X,... On dit qu'il y a extinction lorsqu'il existe un entier n tel que Y = O. TL On note f la fonction génératrice de la loi ,a (et donc de chacune des variables X,...) et, pour 71 EUR N, «,on la fonction génératrice de la variable aléatoire Y,,. On a donc en particulier, pour t EUR [O, 1], % (t) = t. On suppose que toute variable aléatoire suivant la loi ,a possède une espérance égale à m et une variance. III.A -- Probabilité d'eoetinction III.A.1) Montrer que, pour tout 71 EUR N, 'Pn+1 : 'Pn 0 f. III.A.2) Exprimer, pour 71 EUR N, l'espérance de Y,, en fonction de m et de n. III.A.3) (1) Vérifier que la probabilité d'extinction est égale à la limite de la suite (0.

b Vérifier qu'on peut appliquer les résultats de la partie I a la suite cp 0 .
n n20

III. A. 4) Si m< 1, montrer que la probabilité d'extinction est égale a 1. 2015-0224 10:23:51 Page 2/4 [_ On définit alors le temps T d'extinction par : T(w) : min{n EUR N | Y,,(w) = 0} s'il existe n EUR N tel que Y,,(w) : 0 w EUR Q . T(w) = --1 s1non On admettra que T est une variable aléatoire. III.B -- Cas sous-critique 771 < 1 On suppose dans cette question que m < 1. III.B.1) Vérifier que T admet une espérance. III.B.2) 0) Montrer que, pour tout entier n, P(Y,, > 1) < m". +oo b) Montrer que E(T) = ZP(T > n).
n=O

c ) En déduire une majoration de E(T).

III.C -- Étude de la lignée
Dans cette question, on suppose m < 1. n +oo On note, pour n EUR N*, Z,, : 1+ZY, et Z: 1+ZY,,. i=1 n=1 On admettra que Z est une variable aléatoire définie sur U {Yk : O}. keN III.C.1) Montrer que Z est définie sur un ensemble de probabilité 1. III.C.2) 0) Montrer que, pour tout k EUR N, (P(Z,, < k))nEURN* b) En déduire que, pour tout k EUR N, (P(Zn = k)) c) Montrer que, pour tout 3 EUR [O, 1[, tout 71 EUR N* et K EUR N, est une suite convergente. Déterminer sa limite. nEURN* converge vers P(Z = k). SK le,(8) --Gz(8)l < 2 IP(Zn = k) --P(Z = k)l + 1_S k=O d ) En déduire que la suite de fonctions (G Zn) converge simplement vers G 2 sur [O, 1]. III.C.3) a ) Exprimer G Z1 en fonction de f. b) On admet que, pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 2 et pour tout 3 EUR [O, 1], G Z... (3) = 3 f (G z,,_, (s)). En déduire que, pour tout 3 EUR [O, 1[, Gz(s) : sf(Gz(s)). c) Montrer que Z est d'espérance finie si et seulement si m < 1. Calculer l'espérance lorsque c'est le cas. IV Un exemple 1 On suppose dans cette partie que, pour tout [EUR EUR N, pk = @. I V.A -- Exprimer, pour t EUR [O, 1], f (t) et calculer m. IV.B -- Vérifier que, pour tout t EUR [O, 1[, (p,, (t) = 1. 1 On peut donc poser, (1 t) = --. "(  n.
La variable T admet-elle une espérance ?

IV.G -- Exprimer, pour 3 EUR [O, 1[, Gz(s) en fonction de s.
En déduire la loi de Z.

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V Cas surcritique
On suppose dans cette partie m > 1.

On étudie un problème légèrement différent : k étant un entier strictement 
positif fixé, on suppose qu'il y a k
individus à la génération 0 ; ensuite tout se passe comme précédemment.

On note Wn le nombre d'individus à la nième génération et on définit un la 
probabilité que la suite (Wn)nelN*
prenne la valeur k pour la première fois au rang n :

un = P ((m = k) 0 ("film % k>))
i=1

Pour n et ?" entiers naturels non nuls, on définit de même uÿ') comme la 
probabilité pour que la suite (Wn)neN*
prenne la valeur k pour la rième fois au rang n.

V.A -- Vérifier que les séries Zuns" et Euÿ's" convergent quand 3 EUR [--1,1].

n21 n21
+OED +OEl
On peut donc définir, pour 3 EUR [--1,1], U(s) : Zuns" et U,,(s) : Zuÿ's".
n=1 n=1

V.B --
V.B.1) Montrer que P(W1 > R) > O.

V.B.2) Montrer que la probabilité que la suite (Wn)nEURlN* ne prenne pas la 
valeur k est non nulle ; on note u
cette probabilité.

On pourra étudier séparément les cas po : 0 et po > O.

V.C --
V.C.1) Soit n E N* et 7° un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer la 
relation
n--1
US") = 2 Mug--21)
i=1

V.C.2) En déduire que, pour tout entier ?" strictement positif, UT : UT (UT 
désigne U >< U >< >< U 7" fois). V.D -- V.D.1) Montrer que la probabilité que la suite (Wn)neN* prenne la valeur k une infinité de fois est nulle. V.D.2) Montrer qu'il en est de même pour la suite (Yn)nEURlN*' V.E -- Soit (An)nEURlN une suite d'évènements tous de probabilité 1. Montrer que P (U A_n) = O. Qu'en déduit-on pour P (n An) ? nEURN nEURN V.F -- Soit oz la probabilité qu'il y ait extinction et fl la probabilité que la suite (Yu) diverge vers l'infini. Montrer que a + fl : 1. oooFlNooo 2015-0224 10:23:51 Page 4/4 [_