Centrale Maths 1 PSI 2010

- version du 18 fevrier 2010 10h20

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES I

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 M7 ( R )

Montrer que F est stable par c.

I.C.1)

Pourquoi 1 est-il valeur propre de  ?

Filière

PSI

I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes 
linéaires
f sur R7 qui appartiennent à S .

I.E.4) Pour f  S , calculer la matrice jacobienne de f  c2 en X = ( x1 , x2 , 
x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).
Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . 
. , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente.

I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7
vers R telles que f  c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f  cn = f pour tout entier n > 1.
I.E.3) Soit f  S . Calculer la matrice jacobienne de f  c en X = ( x1 , x2 , x3 
, x4 , x5 , x6 , x7 ).
En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . 
. . , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1
de R7 vers R qui vérifient la condition f  c = f , c'est-à-dire telles que
f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , 
x4 , x5 , x6 , x7 )
pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )  R7 .

Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers 
R, on
note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par 
rapport à
sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur 
de la dérivée
partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , 
xd )  U .

I.E - Étude d'une équation fonctionnelle

I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une
matrice diagonale semblable à C.

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre 
de
multiplicité des valeurs propres.

I.D - Étude du caractère diagonalisable de C

La matrice  est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ?

I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le
calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de .

I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de  que  est diagonalisable
dans M3 (C ) ?

Page 1/4

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de  sans calculer son
polynôme caractéristique.

I.C - Détermination sans calcul du spectre de 

I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la 
matrice  dans cette
base de l'endomorphisme  de F induit par c.

I.B.1)

On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers 
vecteurs
colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C.

I.B - Restriction de c

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de 
c.

I.A - Image et noyau de c

On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la 
matrice C.

On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c 
l'endomorphisme de R7
dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les 
matrices
colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 .

On considère la matrice à coefficients réels C

0 0 1 1
 0 1 0 0

 1 0 0 0

C=
 1 0 0 0
 1 0 0 0

 0 1 0 0
0 0 1 1

Partie I - Étude d'un « C » matriciel

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents 
domaines
des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 18 fevrier 2010 10h20

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES I

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 M7 ( R )

Montrer que F est stable par c.

I.C.1)

Pourquoi 1 est-il valeur propre de  ?

Filière

PSI

I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes 
linéaires
f sur R7 qui appartiennent à S .

I.E.4) Pour f  S , calculer la matrice jacobienne de f  c2 en X = ( x1 , x2 , 
x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).
Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . 
. , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente.

I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7
vers R telles que f  c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f  cn = f pour tout entier n > 1.
I.E.3) Soit f  S . Calculer la matrice jacobienne de f  c en X = ( x1 , x2 , x3 
, x4 , x5 , x6 , x7 ).
En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . 
. . , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1
de R7 vers R qui vérifient la condition f  c = f , c'est-à-dire telles que
f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , 
x4 , x5 , x6 , x7 )
pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )  R7 .

Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers 
R, on
note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par 
rapport à
sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur 
de la dérivée
partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , 
xd )  U .

I.E - Étude d'une équation fonctionnelle

I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une
matrice diagonale semblable à C.

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre 
de
multiplicité des valeurs propres.

I.D - Étude du caractère diagonalisable de C

La matrice  est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ?

I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le
calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de .

I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de  que  est diagonalisable
dans M3 (C ) ?

Page 1/4

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de  sans calculer son
polynôme caractéristique.

I.C - Détermination sans calcul du spectre de 

I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la 
matrice  dans cette
base de l'endomorphisme  de F induit par c.

I.B.1)

On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers 
vecteurs
colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C.

I.B - Restriction de c

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de 
c.

I.A - Image et noyau de c

On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la 
matrice C.

On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c 
l'endomorphisme de R7
dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les 
matrices
colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 .

On considère la matrice à coefficients réels C

0 0 1 1
 0 1 0 0

 1 0 0 0

C=
 1 0 0 0
 1 0 0 0

 0 1 0 0
0 0 1 1

Partie I - Étude d'un « C » matriciel

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents 
domaines
des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

Épreuve :

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Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES I

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 M7 ( R )

Montrer que F est stable par c.

I.C.1)

Pourquoi 1 est-il valeur propre de  ?

Filière

PSI

I.E.5) A PPLICATION : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes 
linéaires
f sur R7 qui appartiennent à S .

I.E.4) Pour f  S , calculer la matrice jacobienne de f  c2 en X = ( x1 , x2 , 
x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ).
Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . . 
. , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 obtenu à la question précédente.

I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble S des fonctions f de classe C1 de R7
vers R telles que f  c = f ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie f  cn = f pour tout entier n > 1.
I.E.3) Soit f  S . Calculer la matrice jacobienne de f  c en X = ( x1 , x2 , x3 
, x4 , x5 , x6 , x7 ).
En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles 1 f ( X ), . 
. . , 7 f ( X )
de f en un point X de R7 .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions f de classe C1
de R7 vers R qui vérifient la condition f  c = f , c'est-à-dire telles que
f ( x3 + x4 , x2 + x5 , x1 , x1 , x1 , x2 + x5 , x3 + x4 ) = f ( x1 , x2 , x3 , 
x4 , x5 , x6 , x7 )
pour tout ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )  R7 .

Notation : si f est une fonction de classe C1 d'un ouvert U de R d (d > 1) vers 
R, on
note, pour tout entier i tel que 1 6 i 6 d, i f la dérivée partielle de f par 
rapport à
sa i-ème variable. Ainsi, la notation i f ( x1 , . . . , xd ) désigne la valeur 
de la dérivée
partielle de f par rapport à sa i-ème variable évaluée au point ( x1 , . . . , 
xd )  U .

I.E - Étude d'une équation fonctionnelle

I.D.2) La matrice C est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? Si oui, indiquer une
matrice diagonale semblable à C.

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de C. On précisera l'ordre 
de
multiplicité des valeurs propres.

I.D - Étude du caractère diagonalisable de C

La matrice  est-elle diagonalisable dans M3 (R ) ?

I.C.3) Calculer 2 . À partir des informations complémentaires obtenues par le
calcul de la trace de 2 , déterminer le spectre de .

I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de  que  est diagonalisable
dans M3 (C ) ?

Page 1/4

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de  sans calculer son
polynôme caractéristique.

I.C - Détermination sans calcul du spectre de 

I.B.2) Montrer que ( f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de F, et calculer la 
matrice  dans cette
base de l'endomorphisme  de F induit par c.

I.B.1)

On note F le sous-espace vectoriel de R7 engendré par les trois premiers 
vecteurs
colonnes f 1 , f 2 et f 3 de C.

I.B - Restriction de c

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de c, ainsi que le rang de 
c.

I.A - Image et noyau de c

On note f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f 7 les vecteurs colonnes de la 
matrice C.

On note (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 ) la base canonique de R7 , et c 
l'endomorphisme de R7
dont la matrice dans la base canonique est C. Selon l'usage, on identifie les 
matrices
colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de R7 .

On considère la matrice à coefficients réels C

0 0 1 1
 0 1 0 0

 1 0 0 0

C=
 1 0 0 0
 1 0 0 0

 0 1 0 0
0 0 1 1

Partie I - Étude d'un « C » matriciel

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre « C » dans différents 
domaines
des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

( E)

Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E).

Préciser les propriétés topologiques suivantes de C .

et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe 
évoquet-elle ?
III.B.3) À partir de l'expression de (t), calculer tan  (t).
III.B.4)

 7
a) Représenter la fonction t 7 arctan(2 tan t) sur la partie de l'intervalle
,
4 4
sur laquelle cette fonction est définie.

Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de C , de la
forme

 7
z:
,
 C, t 7 (t)ei (t) ,
4 4

 7
où  et  sont deux fonctions continues de
vers R, la fonction  étant à
,
4 4
valeurs strictement positives.

 7
.
,
III.B.1) Calculer (t) pour tout t 
4 4
III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré

 7
G :
,
 C, t 7 (t)eit ,
4 4

III.B - Paramétrisation complexe de C
On rappelle que C a été définie dans la partie II comme l'image de l'application

 7
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
:
4 4

d) Un compact ?
e) Une partie convexe ?

b) Un fermé ?
c) Une partie bornée ?

a) Est-ce un ouvert de R2 ?

III.A.2)

Filière PSI

Partie III - Des courbes pour la lettre « C »
III.A - Topologie de C
III.A.1) Représenter C .

Page 2/4

II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est 
développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et 
préciser son
rayon de convergence.
II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions
maximales de ( E) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.

II.D - Développement en série entière d'une solution

II.C.4)

II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème
s'applique à ( E).
II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions
maximales de ( E) ?

II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales
II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions 
maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux 
conditions de
Cauchy.

II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale
m dont le graphe inclut celui de g.

II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus 
dans
 est une solution de ( E).

II.B - Le « C » solution
On
g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est
hnote
 i
, .

4
II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition  de g, ainsi qu'une expression de g.

Montrer que si f est une solution de ( E) sur un intervalle J, et si a est un 
réel non
x
nul, alors la fonction h définie par h( x ) = a f
est aussi une solution de ( E) sur
a
un intervalle que l'on précisera.

II.A - Transformation de solutions

y( x )y ( x ) = -4x.

Dans toute la suite du problème, on note C l'image dans R2 de l'application

 7
:
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
4 4
Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle

Partie II - Équation différentielle pour la lettre « C »

MATHÉMATIQUES I

( E)

Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( E).

Préciser les propriétés topologiques suivantes de C .

et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe 
évoquet-elle ?
III.B.3) À partir de l'expression de (t), calculer tan  (t).
III.B.4)

 7
a) Représenter la fonction t 7 arctan(2 tan t) sur la partie de l'intervalle
,
4 4
sur laquelle cette fonction est définie.

Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de C , de la
forme

 7
z:
,
 C, t 7 (t)ei (t) ,
4 4

 7
où  et  sont deux fonctions continues de
vers R, la fonction  étant à
,
4 4
valeurs strictement positives.

 7
.
,
III.B.1) Calculer (t) pour tout t 
4 4
III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré

 7
G :
,
 C, t 7 (t)eit ,
4 4

III.B - Paramétrisation complexe de C
On rappelle que C a été définie dans la partie II comme l'image de l'application

 7
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
:
4 4

d) Un compact ?
e) Une partie convexe ?

b) Un fermé ?
c) Une partie bornée ?

a) Est-ce un ouvert de R2 ?

III.A.2)

Filière PSI

Partie III - Des courbes pour la lettre « C »
III.A - Topologie de C
III.A.1) Représenter C .

Page 2/4

II.D.1) Montrer que la solution m déterminée à la question III.B.3) est 
développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et 
préciser son
rayon de convergence.
II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions
maximales de ( E) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.

II.D - Développement en série entière d'une solution

II.C.4)

II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème
s'applique à ( E).
II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions
maximales de ( E) ?

II.C - Le théorème de Cauchy-Lipschitz - Solutions maximales
II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions 
maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux 
conditions de
Cauchy.

II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale
m dont le graphe inclut celui de g.

II.B.2) Vérifier que la restriction de g au plus grand intervalle ouvert inclus 
dans
 est une solution de ( E).

II.B - Le « C » solution
On
g la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est
hnote
 i
, .

4
II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition  de g, ainsi qu'une expression de g.

Montrer que si f est une solution de ( E) sur un intervalle J, et si a est un 
réel non
x
nul, alors la fonction h définie par h( x ) = a f
est aussi une solution de ( E) sur
a
un intervalle que l'on précisera.

II.A - Transformation de solutions

y( x )y ( x ) = -4x.

Dans toute la suite du problème, on note C l'image dans R2 de l'application

 7
:
,
 R2 , t 7 (cos t, 2 sin t).
4 4
Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle

Partie II - Équation différentielle pour la lettre « C »

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue  cherchée.
On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe 
paramétrée z.
III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant 
d'obtenir ce tracé.
III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre « C »
Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle 
de la
question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre « C ».
Dans ce qui suit, la notation E( x ) désignera la partie entière du réel x.
On définit les applications :

2n
 7
 3

,
E
·:N ×
 R, (n, t) 7 +
4 4
4
2n
3

 7
2n
 R, (n, t) 7 cos2
,
t-
·  : N ×
4 4
3

t-
4

.
4

III.C.1) Étudier rapidement  et , puis représenter sur un même graphique les
deux fonctions t 7 (10, t) et t 7  (10, t).

 7
2
1

III.C.2) Représenter la fonction  :
,
.
t-
 R, t 7 sin
4 4
4
3
4
III.C.3) On définit la fonction :
w : N ×

 7
,
 C, (n, t) 7 (t) (1 + (t) (n, t)) ei ((n,t)) .
4 4

On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été 
mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel 
des quatre
graphiques représente la fonction t 7 w(40, t), et expliquer pourquoi.

III.C.4) Écrire une séquence d'inst
créer la séquence des 100 premières

III.D - Calcul d'aire
Dans cette question, on se propose d

nant tous les points w(n, t) lorsque n

est délimité par deux arcs paramétré

p
z : I  C, t 7 (t)ei (t) =

p
1
v : I  C, t 7 1 + 3 sin2 t 1 +
4

Page 3/4

MATHÉMATIQUES I

b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue  cherchée.
On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe 
paramétrée z.
III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant 
d'obtenir ce tracé.
III.C - Une famille de courbes paramétrées pour la lettre « C »
Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle 
de la
question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre « C ».
Dans ce qui suit, la notation E( x ) désignera la partie entière du réel x.
On définit les applications :

2n
 7
 3

,
E
·:N ×
 R, (n, t) 7 +
4 4
4
2n
3

 7
2n
 R, (n, t) 7 cos2
,
t-
·  : N ×
4 4
3

t-
4

.
4

III.C.1) Étudier rapidement  et , puis représenter sur un même graphique les
deux fonctions t 7 (10, t) et t 7  (10, t).

 7
2
1

III.C.2) Représenter la fonction  :
,
.
t-
 R, t 7 sin
4 4
4
3
4
III.C.3) On définit la fonction :
w : N ×

 7
,
 C, (n, t) 7 (t) (1 + (t) (n, t)) ei ((n,t)) .
4 4

On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque n = 40. Mais la courbe a été 
mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel 
des quatre
graphiques représente la fonction t 7 w(40, t), et expliquer pourquoi.

III.C.4) Écrire une séquence d'inst
créer la séquence des 100 premières

III.D - Calcul d'aire
Dans cette question, on se propose d

nant tous les points w(n, t) lorsque n

est délimité par deux arcs paramétré

p
z : I  C, t 7 (t)ei (t) =

p
1
v : I  C, t 7 1 + 3 sin2 t 1 +
4

Page 3/4

· · · FIN · · ·

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III.D.1) Rappeler l'énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment
ce théorème se traduit dans le cas d'un calcul d'aire.
III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres 
complexes. En déduire l'expression du produit scalaire hu  v(t), v (t)i, 
lorsque u et v
sont les applications u : C  C, z 7 iz et v : t 7 (t)eiµ(t) , où  et µ sont deux
fonctions définies sur un intervalle J de R, à valeurs réelles et de classe C1 .
1
III.D.3) Si d(t) = arctan(2 tan(t)), simplifier (1 + 3 sin2 t)d (t).
2
III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de A sous la forme
d'une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l'identité obtenue en 
III.D.3). Calculer enfin A .

Pour calculer cette aire, on va utiliser la formule de Green-Riemann. Le bord du
domaine étant donné par un arc paramétré complexe de la forme v : t 7 (t)eiµ(t) 
,
on va d'abord traduire ce théorème dans le cas particulier des domaines donnés
sous cette forme.

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI