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Notations, définitions et rappels
Si n & IN, soit Cn[X ] l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou
égal à n. Pour P dans C[X ] , soit T(P) le polynôme P(X + 1). L'application T
ainsi définie est clairement un endomorphisme de C[X ]. De plus, si n e ]N,
EUR [X] est stable par T et on note Tn l'endomorphisme de Cn[X ] induit par T .
n
Soit (Hi).
L E ... la suite des polynômes de Hilbert, définie par :
i--1
. * _l
HO=1etVLEIN >Hi --Lf-!H (X--k).
k=()
Si Re ]Rî,soientz
DR : {ze C,lzl E(--l)hJ Ci uj : O.
j=0
Partie II - Quelques propriétés des séries entières
Dans toute cette partie, on fixe : R dans ]Rî U {+oo} , f dans E R, 00 dans D R
et
r dans ]loel, RI . Pour 2 dans D R on écrit donc :
+c>o +<>o
f(z) : 2 anz" , où la série entière 2 anzn
n = () n = 0
a un rayon de convergence supérieur ou égal à R .
Pour le EUR IN * on note f(k) la fonction définie pour 2 EUR D R par :
+c>o
f(k)(z) = 2 n(n--l)...(n --k + l)anzn_k
n = k
(on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série
entière
initiale).
II.A - Représentation intégrale de f (ou) à partir des valeurs de f sur C,.
II.A.1) Si p EUR lN,prouver:
Tt . _.
]- f(re")e Lptdt : 2naprp.
--7t
II.A.2) Montrer :
it
Ï'
f=j" ; f+OO, bj : O(--%).
r +°° .
II.C.3) Montrer que le rayon de convergence de la série entière 2 b sz est
supérieur ou égal à R . Pour 2 e D R , on pose : j = ()
+oo
g(z) : 2 !)sz
j = 0
Vérifier: VZ EUR DR , (z -- oe)g(z) : f(z) --f(oe) .
II.D - Minoration de M f(r) à l'aide des zéros de ;"
On suppose que pe IN*, que f s'annule en p points distincts 21,...,2p de
1Î,\{0}.
II.D.1) Montrer qu'il existe F dans E R telle que :
p p
Vze DR, F(z)>< H(z--zj) = f(z)>< H(r2--ij). j=1 j=1 II.D.2) Si je {I, ...,p} et ze Cr\{zj} que vaut 2 r_. ZJZ 2--2]-- '? II.D.3) En appliquant H.B.8 à F au point (» = 0 , montrer : p Mf(r)>< sz Zlf(0)lrp. j=l II.D.4) On suppose f(0) : : f(k--l)(0) : 0 où le 5 IN* . Prouver: p (le) Mf(r)>< sz Z'f k!(0)' rp+k. j=l ILE - Étude asymptotique d'une fonction entière nulle sur IN On suppose que R : +oo, (: e |O,el, f est nulle sur IN et que lorsque reco, Mf(r) = O(cr). Montrer que f = O. Indication: on supposera par l'absurde in, on appliquera II.D.4 avec k : Min{ie ]N,f"RO)#O}, r : p,21= ], ...,zp : p,et on feratendrep vers +oo. Partie III - Théorème de Pôlya Soit f dans Eco. III.A - Majoration de n 2 <--l>k Cî f(k)
k=0
Soient n dans lN* et r un réel tel que r> n.
III.A.1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
F _ n!
" _ X(X-l)...(X--n)°
III.A.2) À l'aide de II.A.2, prouver :
J" n! f (reit) dt
"" (felt--l)...(reit--n) 275 k
III.A.8) Montrer :
2 <--l>"'k Cîf+oo, Mf(r) : o(2--].
J;
On va démontrer que f est polynomiale (théorème de Pôlya).
N.B. L'exemple de f (2) = 22 montre que la condition asymptotique (b) n'est pas
loin d'être optimale.
III.B.1) En appliquant lll.A.3 à r : 2n + 1 , prouver qu'il existe N dans ]N tel
que
VnZN, 2 (-1)""" ci f(k) : 0.
k=O
III.B.2) À l'aide de 1D) et ILE), prouver le résultat désiré.
ooo FIN ooo
