CCINP Maths 2 PSI 2004

 

SESSION 2004 _ . PSIM207

CONCOURS (OMMUNS POlYÏICHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

' MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concisian de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

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Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes 
dans lesquels on retrouve
cette suite.

; On désigne par N l'ensemble des entiersnaturels, par N* l'ensemble N privé de 
0, par Z
l'ensemble des entiers relatifs et par R l'ensemble des nombres réels.

!

Pour n G N, on note [[O,n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 5 k 5 
n .

On note CMo... (Z) l'anneau des matrices carrées d'ordre n+l à coefficients 
dans Z. Pour

M ecMon+l(Z). on note M =(mM) où mm est l'élément de la ligne p et de la

(M)EURl°fll2

m m
colonne q.Par exemple M ecMa2 (Z) sera noté M =( °'° OJ).
mm mm

Pour M HM"... (Z), on note det(M ) le déterminant de M et com(M ) la comatrice 
de M .

R[X ] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour ne N , R,, 
[X ] désigne le

sous--espace de R[X ] des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles ; seule 
la suite étudiée dans la
' partie I apparaît dans une question de chacune de ces parties.

PARTIE I '

On définit la suite double de nombres réels (am) par :

(P-fl)eN2

(i) a..., =1

ii pourtout peN*, a :D
() .

Po
(iii) pourtout qèN*, ao,q=O
. (iv) pourtout (p,q)eN2, aP+WI=ap'q+(p+l)ap+l,q.

La considération d'un tableau, dans lequel les aM sont disposés avec p indice 
de ligne et q
indice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine.

1.1. Pour qu, calculer a....
1.2. Calculer az,l et "2,2-

I.3. Pour q 2 2, exprimer a2 G en fonction de a2 q_,. En déduire la valeur de 
a2_q.

' \ °/ / O , n * n
1.4. Pour p EUR N, on cons1dere la propnete J p . pour tout q EUR N , on a um G 
N .

53 est vraie.

Montrer que pour tout p e N, la pmpnete p

1.5. Pour p>q, calculer aM.
1.6. Pour peN, calculer aw.

1.7. Pour neN, on désigne par A,, la matrice carrée d'ordre n+l (c'est--à--dire 
à n+l lignes
et à n+l colonnes), dont le terme de la ligne p et de la colonne q est am , 
pour tout

(M)ëll°fllY-
Expliciter les matrices A2, A3, A4 et A5-

PARTIE 11

Dans cette partie, n désigne un entier naturel.
11.1. Soit M =(mP'q)ec/qu... (z).

11.1.]. Montrer que det(M ) EUR Z.
> 11.1.2. Montrer que com (M ) & cM»_... (Z).

11.1.3. On rappelle qu'une matrice M est inversible dans cMæ... (Z) si et 
seulement si M "

existe et appartient à cMo... (Z) .Montrer que M est inversible dans CM»... (Z) 
si et seulement si
det (M) : il .

11.2. On définit la suite (Bp)pOEN de polynômes de R[X ] par : BO =1 et pour 
peN*,

p--l

BP=H(X--j).

J'=0

11.2.1. Montrer que (B...B,,...,B ) est une base de l'espace vectoriel Rn [X ] 
; on notera

(fi) cette base. "

On note (96) la base canonique (l,X,...,X") de R" [X]

On note Pn la matrice de passage de la base (96) à la base ($) et Q la matrice 
de passage

dela base (fi) àla base (96).

11.2.2. On prend n=4, expliciter les matrices & et Q.

11.2.3. Montrer que l; est une matrice triangulaire supérieure à coefficients 
dans Z.

11.2.4. Calculer det(R,).

[1.2.5 Montrer que Q" est une matrice triangulaire supérieure à coefficients 
dans Z.

']
On note Q" : (flM) . Pour tout q el[0,n]l , on a donc X" : Z,Bp,qu.
. =0

(P»Q)EURlO--flf

11.2.6. En donnant à X des valeurs particulières, déterminer les coefficients

fl0,q ' fll,q1 fl2,q p0ur q EUR [[0' ":" ' .
" 11.2.7. Montrer que Q" = A" où A" est la matrice définie au 1.7.

PARTIE III

oo
On note F l'espace vectoriel réel des applications de classe EUR définies sur 
]O,+oe[ et à

valeurs dans R. On définit l'application & de F dans F par:

fi(f)=g où g(x)=xf'(x).
Pour qu*,on note çô" =çfioçô"" ;ainsi «52 =çboq) (par convention: çfi° =id,, ).

III.1. Vérifier que à est un endomorphisme de F . Est--il surjectif ? Est-il 
injectif ? Préciser le
noyau de qi.

III.2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de çfi.

III.3. Pour f e F , expliciter dz (f). Déterminer le noyau de ç152 et en donner 
une base.

III.4. Soit n e N *. Montrer qu'il existe des entiers dM tels que, pour tout q 
e[[l,n]] et tout
_ q _
f e F, on ait la relation : pour tout x dans ]O,+oe[ , ç$" (f)(x)= de_qx"f(p) 
(x) où f... est
p=l

la dérivée p-ième de f .
On admet que cette décomposition est unique.

1115. On convient que d0,0 =1 et que, pour p eN* et q eN*, dP_0 : do,q :O et 
dp_q =O si

P>CI--

2 \ , . .
Montrer que pour tout ( p,q) & [[l,n]] , on a dM : a ou les a p_ q sont les 
termes defims dans la

PJ! '

partie I.

PARTIE IV

IV.1 Soit @ la fonction définie sur R par w(t)=exp((expt)--l), où exp est la 
fonction

exponentielle.

[VI.]. Déterminer le développement limité de ça à l'ordre 4 en t= O.

-IV1.2. Pour n variant de 1 à 4, en déduire la valeur de la dérivée n-ième de 
ça en O.

Soit E un ensemble de cardinal n , n EUR N. On appelle partition de E , tout 
ensemble de parties
non vides de ' E , deux à deux disjointes, dont la réunion est E. Chaque partie 
de la partition
s'appelle une classe.

IV.2. Pour tout entier j EUR N* , on note Pj le nombre de partitions de E en j 
classes.
Par convention, on note 12,0 =1 et, pour tout n EUR N * et jEUR N* , R,° : PJ : 
O.
IV.2.1. Pour j> n, calculer Pnj .

IV.2.2. Calculer P,: et Pn" pour nEURN*.

IV.2.3. On suppose j 2 2 et n 21. Soit a EUR E .
En distinguant parmi les partitions de E en j classes, celles pour lesquelles 
le singleton {a}

est une classe de la partition, justifier l'égalité Pn} : Pn{'l' + ij_,.

IV.2.4. En déduire que pour tout . ( j,n) EUR N2 , on a R} = a les a M étant 
les termes

le '

définis dans la partie I.

IV.3. On note Pn le nombre de partitions de E . Par convention P0 =1.

IV.3.1. Pour n variant de 1à4, calculer Pn et comparer R. à ça(")(0) où ça est 
la
fonction définie en IV.l.

IV.3.2. Exprimer Pn à l'aide des P,]. Dans la suite, on admettra la formule _

(1) R... : ZCÀ'Iî où les C]: sont les coefficients du binôme.
k=0

IV.3.3 Montrer que pour tout n EUR N on a Pn s n!

+")
P , .
IV.4 Pour x EUR R , on note s(x) : ---"'x" lorsque la ser1e converge.
n. "
n=0

IV.4.1. Déduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la série est 
supérieur ou égal à l.

IV.4.2. Montrer à l'aide de (1) que pour |x| < 1, on a s'(x) : s(x) expx (on pourra développer en série entière exp x et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières). IV.4.3. En déduire s(x). IV.4.4. Montrer que pour tout n EUR N , on a R, : ça... (0). Fin de l'énoncé.