CCINP Maths PSI 2020

SESSION 2020 C PSI1M

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

1/8
PROBLÈME 1
Autour de la fonction sinus cardinal

Objectifs

Dans ce problème, on détermine dans la Partie I la valeur de la transformée de 
Laplace de la fonction
sinus cardinal. On utilise ensuite dans la Partie IT une variante de la formule 
de Viète pour exprimer
la transformée de Laplace de la Partie I comme limite d'une suite d'intégrales.

Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal

Pour x > 0, on note :

Q1.
Q2.
Q3.

Q4.
Q5.

Q6.

Q7.

Q8.

+00 ,: t +00 +00
F(x) = [ De" dt, GX) = [ e" sin(n) dt et H(x) = [ e" cos(f) df.
0 0 0

Montrer que : VER", |sin(#)| < fr. Montrer que les fonctions F, G et H sont bien définies sur ]0, +col. Montrer que lim F(x) = 0. X-- +00 Montrer que F est de classe C! sur 10, +col et exprimer F" à l'aide de la fonction G. Trouver une expression simple pour G et pour A. On pourra calculer H(x) + iG(x). +00 En déduire, pour & EUR 10, +, la valeur de [ e"* cos(@f) df. 0 En déduire une expression simple pour F. Que vaut F(1)? Partie II - Autour de la formule de Viète Montrer que pour tout f > 0 et pour tout n EUR N° :

E t | sin(f)
COS -- | = ----
1 _ 2k 2" sin(t/2")
Montrer que pour tout f > 0 et pour tout n EUR N° :

n on]
i Ï 2k---1
[Jeos(5)= 55 De)

k=1 k=1

On pourra raisonner par récurrence et utiliser l'identité :

cos(a) cos(b) = "| cos(a + b) + cos(a -- b)).

2/8
Q9. En déduire que pour tout f > 0:

21-
Sin(s) b = .:

Q10. Montrer que pour tout x > 0:

--1X
FO) = lim > > I s( "}e dé.

On pourra introduire, pour tout n EUR N", la fonction f, : ]0,+coe[-- R définie 
par :

27
V1 E]0, +, D = De E- ) e".

Q11. En déduire que :

T I
_ -- li pn+i |
4 note 2 (2k = 1)2 + 22

L'objet des trois questions suivantes est de redémontrer le résultat précédent 
de façon plus élémentaire.

Q12. Déterminer :
on-1

Ï
im 2 5
n--+00 4k2 + 227
k=0
en écrivant cette quantité à l'aide une somme de Riemann.

Q13. Soit n e N°. Montrer que pour tout k EUR [0,27] :

4x2" 141 I
< ----------""  -- X -------- . 1+27 Ak? + 221 1 1 qe +22 (2k---1ÿ +22 Q14. En déduire que : on 1 li pn+i A -- () te 2 Fe +27 QI) +27 et retrouver le résultat de la question Q11. 3/8 PROBLÈME 2 Les matrices de Kac Notations - Pour n EUR N°, M,(R) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels et M, (C) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients complexes. - Dans tout ce problème, les vecteurs de R" seront notés en colonnes. - La lettre i désigne le nombre complexe usuel vérifiant = --1. On s'interdira d'utiliser cette lettre pour tout autre usage ! Objectifs Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés spectrales de deux matrices À, EUR M,,,(R) et BP, EUR M,:1(R) introduites par Mark Kac au milieu du XX° siècle. Ces liens ont été mis en évidence par Alan Edelman et Eric Kostlan au début des années 2 000. Ce problème est divisé en quatre parties largement indépendantes. La Partie I introduit les matrices de Kac en taille 3 et met en évidence les propriétés qui seront démontrées en taille quelconque dans les Parties IT et LIT. La Partie IV est une utilisation probabiliste d'une des deux matrices de Kac. Partie I - La dimension 3 On considère les matrices : 0 1 0 O --I 0 A=12 O0 2[etB=12 0 --2 0 1 0 O0 1 0 Q15. Déterminer le polynôme caractéristique x1 = det(X7; -- A) de À et le décomposer en facteurs irréductibles dans R[X|. Q16. En déduire que la matrice À est diagonalisable sur KR. Donner la liste des valeurs propres de À et la dimension des espaces propres correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de À dans cette question. Q17. Déterminer le polynôme caractéristique y, de B et le décomposer en facteurs irréductibles dans R[X], puis dans C[X]. Vérifier que y4(X) = iyg(iX). Q18. La matrice B est-elle diagonalisable sur R? Est-elle diagonalisable sur C? Donner la liste des valeurs propres réelles puis complexes de B et la dimension des espaces propres sur R et C correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de B dans cette question. On considère : I O O0 D=10 5 0O|eM;(C). 0 O -I Q19. Exprimer D''AD à l'aide de la matrice B. 4/8 1 0 O0 Soit A=|0 V2 01e MR). 0 O0 1 Q20. Calculer A "AA. En déduire à nouveau que la matrice À est diagonalisable sur R. Partie II - Étude d'un endomorphisme Objectifs Dans cette partie, on introduit la matrice B, et on en étudie ses propriétés spectrales à l'aide d'un endomorphisme de dérivation. Soit n EUR N° un entier naturel fixé. Pour k EUR [0, n], on note f; : R -- C la fonction définie par : VxeR, f(x) = cos"(x) sin"""(x). On note V, le C-espace vectoriel défini par : V, -- Vectc( fo, fi; ... În) -- D A fr | (2, ... An) EUR ci . k=0 Q21. Montrer que la famille (fo,...,/,) est libre. En déduire la dimension de l'espace vectoriel complexe V,. Q22. Pour k EUR [0,n], montrer que f; EUR V,. En déduire que : On : Vn -- V, J > Pn(T) -- f
définit un endomorphisme de V, et que sa matrice B, dans la base (fo, f1,..., 
fn) est la matrice :
(O  ---1 DO ..... ..... 0)
n Ô --2
=" 0 eM,u(R)
. 0
.. 2 0 -n
O ... ... 0 1 0)

Pour k EUR [0, n], on note g, : R -- C la fonction définie par : VxeR, gk(x) = 
ex,

Q23. Montrer que : Vxe KR, g4,(x) = (cos x +isin x) (cos x -- i sin x)".
Q24. En déduire, à l'aide de la formule du binôme de Newton, que : Yk EUR 
[0,n], gx EUR Vs.

Q25. Pour k EUR |0,n], calculer g,. En déduire que w, est diagonalisable. 
Donner la liste des valeurs
propres complexes de vw, et décrire les espaces propres correspondants.

Q26. Pour quelles valeurs de n l'endomorphisme v, est-1l un automorphisme de V, 
?

5/8
Q27. Écrire la décomposition de g, dans la base (fo, ...

qi
Ker(B, -in1,,:,) = Vect

où pour tout k EUR [0, n], on note q; = rfi)

., fr) et en déduire que :

go

n

Partie III - Les matrices de Kac de taille » + 1

Objectifs

Dans cette partie, on introduit la matrice À,. On utilise les résultats de la 
Partie IT pour étudier les

propriétés spectrales de la matrice À,,.

Soit n EUR N° un entier naturel fixé. On note À, la matrice tridiagonale 
suivante :

(0 l 0
n 0 2

À, = ° n--1 O0 3
... 2
O :.. +. 0

Le terme général a;, de la matrice À, vérifie donc :
- dx =KSI