CCINP Maths PSI 2019

SESSION 2019 © PSIMA02

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril : 14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur dénoncé, il le

signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

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PROBLÈME 1

Objectifs

Dans la partie I, on considère deux exemples de fonctions indéfiniment 
dérivables sur R et on s'inter-
roge sur l'existence d'un développement en série entière dans un voisinage de 0 
pour ces fonctions.
Dans la partie IT, indépendante de la partie I, on démontre le théorème de 
Borel en construisant,
pour toute suite réelle (b,),en, une fonction f indéfiniment dérivable sur R 
telle que pour tout p EUR N,

fP(0) = b,.
Partie I - Deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables

On considère la fonction f définie sur R par :
+00 |
Vx ER, f(x) = [ ed ir.
0

Q1. Montrer que la fonction f est bien définie sur R.
+00
Pour tout p EUR N, on note [', = [ te 'dt.
0

Q2. Pour tout p EUR N, justifier l'existence de [", et déterminer une relation 
entre [',;, et F',.
Q3. En déduire, pour tout p EUR N, la valeur de F';.
Q4. Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R et déterminer, pour tout x 
EUR R et tout p EUR N,

fo.

x?

)(O

Q5. En déduire le rayon de convergence de la série entière > J
p>0 P

La fonction f est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

On considère la fonction g définie sur R par :

+00

Vre R, g(x) _ > e RAR)
k=0

Q6. Montrer que g est indéfiniment dérivable sur R et déterminer, pour tout x 
EUR R et tout p EUR N,
g(( x).
Q7. Montrer que pour tout p EUR N, \gP) (0) > per.

x? .

@)(O
QS. En déduire le rayon de convergence de la série entière > $ )
p>0 P
La fonction g est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

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Partie II - Le théorème de Borel

Q9. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que pour tout x EUR KR :

I a b
5 = + =.
1 + x X--i X+I

1
Q10. On considère la fonction y définie sur R par : Vx EUR KR, Y(x) = --.
x--i

Montrer par récurrence que pour tout p EUR N et tout x EUR R :

C1) p'
(x _ j)P+l

W'P(x) =

Q11. Déterminer, pour tout p EUR N, la dérivée p-1ème de la fonction &, définie 
sur R par :

l
1 +x2

VxeR, (x) =

Q12. Montrer que pour tout pe Nettoutxe R, |(x + Pl (x y] < 2(1 + x). En déduire que pour tout p EUR Net tout x EUR R", on a: (x) < DT Q13. Pour tout réel &, notons 4, la fonction définie sur R par : I VxER, @,(x) = --. Pa(x) 1 + a2x2 Montrer que pour tout p EUR Net tout x EUR R°: | |) P: ak O< or On considère une suite réelle (a,),-n et on lui associe la suite de fonctions (4,),-n définie sur R par : anX" VxEeR, U,(X) -- inox: 3/8 Q14. Q15. Q16. Q17. Q18. Q19. Pour tout n EUR N, on note a, = Vnl!la,. Montrer que pour tout entier p > 0, 
tout entier n > p et
tout réel x, on a :
l |
D) = ÿ P\ UT n-k, (p-D
uP'(x) = a X X).

En déduire que pour tout entier n > 0 et tout entier p EUR [0,n -- 1], u°?/(0) 
= 0 et déterminer
(n)
u, (0).

Montrer que pour tout entier n EUR N°, tout entier p EUR [0, n -- 1] et tout 
réel x, on a :
xl p-1
juP) (x) < A p'2". Vn! +00 En déduire que la fonction U = > u, est bien définie et indéfiniment dérivable 
sur R.
n=0

p-1
Montrer que U(0) = a) et pour tout entier p > 1, U()(0) = uP)(0) + pla,.
n=0

Déduire de ce qui précède que pour toute suite réelle (b,),ew, 1l existe une 
fonction f indéfini-
ment dérivable sur R telle que pour tout p EUR N, f(0) = D.

Ce résultat est appelé théorème de Borel. Il à été démontré par Peano et Borel 
à la fin du
xIx° siècle.

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PROBLÈME 2

Notations et définitions

- Soient n EUR N° et (p, q) EUR (N*)'.

- R[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans KR. S1 P EUR R[X], 
on notera encore
P la fonction polynomiale associée.

- M,(R) et M,(C) désignent respectivement les ensembles des matrices carrées de 
taille p à
coefficients dans R et dans C. M,,(R) et M,,(C) désignent respectivement les 
ensembles des
matrices à p lignes et g colonnes à coefficients dans R et dans C.

- On note 7, la matrice identité de M,(C) et O, la matrice de M,(C) ne 
comportant que des 0.

- On note y4 le polynôme caractéristique d'une matrice À EUR M,(C), 
c'est-à-dire le polynôme
det(XJ, -- A).

- Étant donnée une matrice M EUR M,(C), on note Sp(M) l'ensemble des valeurs 
propres com-
plexes de M.

Objectifs

Dans la partie I, on détermine les valeurs propres d'une matrice tridiagonale 
symétrique réelle parti-
culière. On utilise les résultats démontrés dans la partie I pour résoudre, 
dans la partie IE, un système
différentiel.

Partie I- Éléments propres d'une matrice

L.1 - Localisation des valeurs propres

On considère une matrice À = (a; j)1<, jen EUR M,(C). Soient une valeur propre 1 EUR C de À et un vecteur X] propre associé x = | : [EUR M, (EUR) \ {Ou, co}. Àn n Q20. Montrer que pour tout i EUR [1,n], on a : Ax; = > di, jXj.
j=1

Q21. Soit à EUR [1,n] tel quex;| = max |x;|. Montrer que : [A| < > ai. jl.

JEl 1, j=1
En déduire que :
[A] < max la; le. LE 1. n D ' Soient & et 5 deux nombres réels. On considère la matrice À,(&,B) EUR M,(R) définie par : a B O0 :.. 0) Bb « Pb A,(@,B) =10 '+. ':. '-. oO. Bb « bp (O 0 5 a) 5/8 Q22. Justifier que les valeurs propres de A,(«, 5) sont réelles. Q23. Soit 1 EUR R une valeur propre de A,(@, B). Montrer que : A] < |a| + 216]. 1.2 - Calcul des valeurs propres de AÀ,(&, B) Q24. En utilisant la question Q23, montrer que pour toute valeur propre À de A,(0, 1), 1l existe 0 EUR [0, x] tel que À = 2 cos 6. On note U, le polynôme y A,(0 122 Q25. Etablir, pour n > 3, une relation entre XA (0. 1y XA, (0. 1) LXA (0. 1)

En déduire, pour n > 3, une relation entre U,, U,_ ; et U, 5.

Q26. Montrer par récurrence sur nr que pour tout 4 EUR]0, x :

sin((n + 1)6)

U,(cos 0) = sin@)

Q27. Déduire de la question précédente que l'ensemble des valeurs propres de 
A,(0,1) est

2 cos | -- | ,j EUR [1, nl} Déterminer la multiplicité des valeurs propres et 
la dimension des
n

espaces propres associés.

Considérons j EUR [1,n] et posons 6; = 7.
n+l
À]
Q28. Montrer que pour tout vecteur propre x = | : | EUR M, ,(R) de A,(0, 1) 
associé à la valeur propre
Xn

2 cos(6;), on a :
-- 2COSs(0;)x1 + x2 = 0
XE-1 -- 2 cos(6;)xz + Xi] -- 0, Vke [2,7 -- 1] .

Xn-1 -- 2 COS(0;)xy = 0
Soit E l'ensemble des suites réelles (uz);en vérifiant la relation de 
récurrence :
Vk EUR N°, uy-1 -- 2cC0s(6;) ux + ux+1 = 0.
Q29. Montrer que E est un espace vectoriel sur R dont on précisera la dimension.
Q30. Déterminer l'ensemble E des suites (uz)xen EUR E telles que uo = uy:1 = 0.

Q31. En déduire l'espace propre de A,(0, 1) associé à la valeur propre 2 
cos(6;).

Q32. En déduire, pour tout (a, B) EUR R°, l'ensemble des valeurs propres de 
À,(&, 5) et les espaces
P
propres associés. On distinguera le cas 6 Æ 0 du cas 5 = 0.

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Partie II - Système différentiel

IL.1 - Matrices par blocs

On considère À, B,C et D des matrices de M,(C) telles que C et D commutent.

A B\[D O0,
Q33. Calculer c n [ c }

L'objectif des trois prochaines questions est de démontrer la relation :
À B
det ( c p) = det(AD -- BC). (1)

Q34. Montrer l'égalité (1) dans le cas où D est inversible.
Q35. On ne suppose plus D inversible. Montrer qu'il existe po EUR N° tel que 
pour tout entier p > po,

D + --1I, est inversible.
D

Q36. En déduire que l'égalité (1) est également vraie dans le cas où D n'est 
pas inversible.

Considérons une matrice M EUR M,(C) et formons la matrice :
O0, L,
N={ÿ 6)

Q37. Montrer que Sp(N) = {ue C; u° EUR Sp(M)}.
X1
Q38. Soient u e Sp(N) et x = | : | e M,,(C) un vecteur propre de M associé à la 
valeur propre y".

Àn

X SPON
Montrer que le vecteur L | EUR M;,1(C) est vecteur propre de N associé à la 
valeur propre 4.

Q39. Montrer que si M est diagonalisable et inversible, alors N est également 
diagonalisable et
inversible.

IL.2 - Application à un système différentiel dans le cas où nr = 2

On considère le système différentiel :

MOT DR @)
2 -- 1 2
Q40. Déterminer («, B) EUR R° tel que le système (2) soit équivalent au système 
différentiel du premier
X1
ordre X' = BX.où X=l"?leg=l %  ?|cMR
ff (m@B) 0)
x
Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des 
solutions de ce

système ?

Q41. En utilisant la question Q37, déterminer les valeurs propres de B et en 
déduire que B est
diagonalisable.

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On considère la matrice :

iV3 0 0 0
p=-l 9 iv3 0 0!
0 O0 --i 0
0 0 O0 à

Q42. En utilisant la question Q38, déterminer une matrice inversible P EUR 
M,(C) dont la première
ligne ne comporte que des 1 et telle que B = PDP".

V1

Y2

»3 |

YA

Q44. Déterminer la solution du système  diflérentiel (2) avec conditions  
intiales
(x1(0), x2(0), x: (0), x,(0)) = (1,0, 0, 0).

Q43. Déterminer l'ensemble des solutions du système différentiel Y" = DY, avec 
Y =

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE - 191154 - D'après documents fournis