CCINP Maths PSI 2018

Thème de l'épreuve Équation différentielle et loi forte des grands nombres
Principaux outils utilisés algèbre linéaire en dimension finie, équations différentielles linéaires, séries entières, probabilités
Mots clefs équation de Bessel, loi forte des grands nombres
probabilitis

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SESSION 2018

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PSIMA02

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.
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PROBLÈME 1
Ce problème comporte 3 parties indépendantes.
Notations et définitions
- N désigne l'ensemble des entiers naturels, N désigne l'ensemble des entiers 
naturels non nuls.
- R désigne l'ensemble des nombres réels.
- R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, 
pour tout entier n  N,
on note Rn [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de 
degré inférieur ou égal
à n.
- Si n1 et n2 sont deux entiers naturels, on note n1 , n2  l'ensemble des 
entiers naturels compris
(au sens large) entre n1 et n2 .
Objectifs
On s'intéresse dans ce problème à l'équation différentielle x2 y + axy + by = 
0. La partie I est une
partie d'algèbre linéaire qui traite des solutions polynomiales de cette 
équation lorsque a et b sont des
constantes réelles. Dans la partie II, on détermine l'ensemble des solutions de 
l'équation lorsque a
et b sont des constantes réelles. La partie III traite des solutions de cette 
équation lorsque a = 1 et b
est la fonction carrée.

Partie I - Endomorphismes
Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul et a et b des 
constantes réelles.
Q1. On note  l'endomorphisme de R[X] défini par :
P  R[X], (P) = XP.
Calculer, pour tout k  0, n, (X k ).
Q2. Montrer que pour tout P  R[X], X 2 P =   ( - Id) (P), où Id désigne 
l'endomorphisme
identité sur R[X].
Q3. Montrer que si P  Rn [X], (P)  Rn [X].
On notera n l'endomorphisme de Rn [X] induit par .
Q4. Déterminer la matrice de n dans la base canonique (1, X, · · · , X n ) de 
Rn [X].
Q5. On définit l'application  par :
P  R[X], (P) = X 2 P + aXP .
Montrer que  = 2 + (a - 1) et en déduire que  définit un endomorphisme de R[X].
Q6. Montrer que  induit un endomorphisme n de Rn [X].
Q7. Montrer que n est diagonalisable.
On considère l'endomorphisme  de R[X] défini par :
P  R[X], (P) = X 2 P + aXP + bP.
2/8

Q8. Montrer que  induit un endomorphisme de Rn [X], endomorphisme que l'on 
notera n .
Exprimer n en fonction de n .
Q9. Exprimer la matrice de n dans la base canonique de Rn [X].
On considère l'équation :
s2 + (a - 1)s + b = 0.

(1)

Q10. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet deux racines 
entières m1 , m2  0, n.
Q11. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet une unique racine 
entière m  0, n.
Q12. Déterminer le noyau de . En déduire qu'il est de dimension finie et 
déterminer sa dimension.

Partie II - Une équation différentielle
On considère dans cette partie l'équation différentielle
x2 y + axy + by = 0,

(2)

où a et b sont des constantes réelles.
Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des 
solutions de
l'équation (2) sur I =]0, +[ ? Et sur J =] - , 0[ ?
Q14. Montrer que si y est une solution de (2) sur I, alors g = y  exp est une 
solution sur R de
l'équation différentielle linéaire à coefficients constants :
u + (a - 1)u + bu = 0.

(3)

Q15. Réciproquement, soit t  g(t) une solution de (3) sur R. Montrer que la 
fonction g  ln est
solution de (2) sur I.
Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l'équation (3) dans le cas où a 
= 3 et b = 1 et dans
le cas où a = 1 et b = 4. En déduire, dans chacun des cas, les solutions à 
valeurs réelles de
l'équation (2) sur l'intervalle I.
On suppose dans les deux questions suivantes uniquement que a = 1 et b = - 4.
Q17. Montrer que si y est solution de (2) sur J, alors h = y  (- exp) est 
solution de (3) sur R.
Q18. Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de (2) de classe C 2 
sur R.

Partie III - Une équation de Bessel
On se propose dans cette partie d'étudier l'équation différentielle :
x2 y + xy + x2 y = 0.
Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.

3/8

(4)

Série entière dont la somme est solution de (4)

ck xk , avec c0 = 1, de rayon de convergence R > 0 et dont
On suppose qu'il existe une série entière
k0

la fonction somme J0 est solution de (4) sur ] - R, R[.
Q20. Montrer que, pour tout k  N, on a :

= 0
c

 2k+1
(-1)k .

c
=
 2k
4k (k!)2
Q21. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière obtenue :

ck xk .

k0

Q22. Soit r > 0 et soit f une autre solution de (4) sur ]0, r[. Montrer que si 
(J0 , f ) est liée dans
l'espace vectoriel des fonctions de classe C 2 sur ]0, r[, alors f est bornée 
au voisinage de 0.
Inverse d'une série entière non nulle en 0

k xk une série entière de rayon de convergence R > 0 telle que 0 = 1. 
L'objectif de ce
Soit
k0

k xk de rayon de convergence
paragraphe est de montrer l'existence et l'unicité d'une série entière
k0

R > 0 telle que pour tout x appartenant aux domaines de convergence des deux 
séries :

  +
 +

k
k
 k x   k x  = 1.
k=0

k=0

Q23. Montrer que si

k xk est solution, alors la suite (k )kN satisfait aux relations suivantes :

k0

0
= 1

n

.

k n-k = 0

 n  N

(5)

k=0

Soit r un réel tel que 0 < r < R . Q24. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout k  N :
|k | 

M
.
rk

Q25. Montrer que (5) admet une unique solution (k )kN et que, pour tout k  N :
|k | 

M(M + 1)k-1
.
rk

On pourra raisonner par récurrence.
Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence R de la série entière

k0

4/8

k xk ?

Ensemble des solutions de (4)
Q27. Soit r > 0 et soit  une fonction de classe C 2 sur ]0, r[.
Montrer que la fonction y : x  (x)J0 (x) est solution de (4) sur ]0, r[ si et 
seulement si la
fonction x  xJ02 (x) (x) est de dérivée nulle sur ]0, r[.
Q28. Montrer que J02 est somme d'une série entière dont on donnera le rayon de 
convergence. Que
vaut J02 (0) ?
Q29. En déduire l'existence d'une fonction  somme d'une série entière de rayon 
de convergence
R > 0 telle que
x  (x) + J0 (x) ln(x)
soit solution de (4) sur un intervalle ]0, R [.
Q30. En déduire l'ensemble des solutions de (4) sur ]0, R [.

5/8

PROBLÈME 2

Notations et définitions
- N désigne l'ensemble des entiers naturels, R désigne celui des nombres réels.
- Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, on note E(X) son 
espérance.
Soit (, A, P) un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire discrète sur 
(, A, P), à valeurs
dans [-1, 1]. On considère dans ce problème une suite (Xi )iN de variables 
aléatoires discrètes sur
(, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi que X. Pour tout n  N , on 
note :
Sn =

X1 + · · · + Xn
.
n

Objectif
Montrer que si la variable aléatoire X est centrée (E(X) = 0), alors la suite 
(S n )n1 converge presquesûrement vers la constante 0. Il s'agit d'un cas 
particulier de la loi forte des grands nombres.
Q31. On ne suppose pas X centrée dans cette question. Montrer que X admet une 
espérance.
On suppose désormais que X est centrée.
Q32. Énoncer et démontrer l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire 
finie Y sur (, A, P).
Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque Y est une variable aléatoire 
discrète non nécessairement finie.
Q33. En déduire que pour tout  > 0 :
P (|X|  ) 

E (|X|)
.

Q34. Montrer que pour tout t > 0, pour tout  > 0 et pour tout n  N , on a :
  n

E etX
tnS n
tn
P (S n  ) = P e

.
e
etn

6/8

Majoration de E e t X
Q35. Soit a > 1. On considère la fonction ga définie par :
x  R, ga (x) =

1 - x -1 1 + x
a +
a - ax .
2
2

Montrer que la fonction ga est dérivable sur R et que la fonction ga est 
décroissante sur R.
En déduire, en remarquant que ga (-1) = ga (1) = 0, que pour tout x  [-1, 1], 
ga (x)  0.
Q36. En déduire que pour tout t > 0 et pour tout x  [-1, 1] on a :
etx 

1 - x -t 1 + x t
e +
e.
2
2

Q37. En déduire que pour tout t > 0 :
 
E etX  ch(t).
Q38. Montrer que pour tout entier k  N et tout t  R, on a :
 k
t2k
1 t2
.

(2k)! k! 2
En déduire que pour tout t > 0, on a :
 
t2
E etX  e 2 .
Majoration de P (|S n|  )
Dans ce paragraphe, on considère un entier n  N et un réel  > 0.
Q39. Montrer que la fonction
t2

t  R  e-nt+n 2
atteint un minimum en un point que l'on précisera.
2

Q40. En déduire que P (S n  )  e-n 2 , puis que :
2

P (|S n |  )  2e-n 2 .

7/8

Conclusion
Q41. Montrer que pour tout réel  > 0, la série de terme général P (|S n | > ) 
converge.
Q42. On fixe un réel  > 0. On note, pour tout n  N :

Bn =
{   ; |S m ()| > } .
mn

Montrer que pour tout n  N , Bn est un événement et que :

Bn  = 0.
P 
nN

Q43. Posons, pour tout k  N :

1

k =    ; n  N , m  n, |S m ()| 
.
k
Montrer que pour tout k  N , k est un événement.

Écrire l'ensemble A =    ; lim S n () = 0 à l'aide des événements k , k  N .
n+
En déduire que A est un événement.

Q44. Déduire des questions précédentes que :
P(A) = 1.

8/8

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 18 1062 ­ D'après documents fournis

FIN