CCINP Maths 1 PSI 2011

SESSION 2011 PSIM102

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 6 pages.

Notations

On note : |z| le module du nombre complexe z ,

] un intervalle de [O,--Fool ,

f une fonction définie sur ] à valeurs dans R ou (C ,
g une fonction définie sur [O,+oo[ à valeurs dans R ou C .

Sous réserve de son existence on note : Îg (x) = f f (t) g(xt)dt pour x EUR 
]O,+oo[.
]

Chaque fois qu'aucune confusion ne sera possible, on notera Î (x) au lieu de À 
(x) .

Objectifs

Pour différentes hypothèses sur la fonction f, sur l'intervalle J et pour deux 
choix de la fonction g,
on se propose de déterminer la limite de À (x) lorsque le nombre réel x tend 
vers +oo .

Dans la partie 1, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs 
de sommes de séries.
Dans la partie II, on considère une fonction f définie sur [O,+oo[ à valeurs 
réelles et l'objectif est

d'obtenir la limite en +00 de Îg(x) lorsque g(t)= \sin(t) ,lorsque f est de 
classe C ' ou lorsque f

est continue par morceaux.

PARTIE I

Une étude de séries

1.1. Étude de la fonction L

k +oo k
, , . .. 1 x 1 x
Pour tout x reel tel que la serre entiere 5 (--1)" [? converge, on note L(x) : 
ê (-- 1)k 1Î sa
[(à] k=l

somme .

1.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la 
fonction L est
définie sur l'intervalle ]-- 1,1] et expliciter L(x) pour x appartenant à ]-- 
1,1[ .

1.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction L est continue sur l'intervalle 
[0,1] . En déduire que

L(l) : ln(2) (où ln désigne la fonction logarithme népérien).

I ..2 Étude de la sérieZ% cos [ 2--k7T]
[(>] 3

On considère la suite (ak ) keN. définie par :

Pourtout EN*'a =--£ et ourtout EURN'd -- ] eta -- 1
p -- 3p p P ' 3p+l 3p+1 3[7+2 3p+2'

3P

1.2.1. Montrer que : 3zpak= Ë%= _Î_h
k=l

k=p+lk ph=11+_
p

1.2.2. Déterminer la limite de la somme Zak lorsque [9 tend vers +oo (on pourra
k=l

1
considérer la fonction qui à t associe -- sur un intervalle convenable). En 
déduire la

1 + t
convergence de la série Ê ak et préciser sa somme.
k21

1.2..3 En déduire que la série 2% cos

[<>]

2k7r
3

--] converge et montrer que sa somme est égale à

11%]-

1.3. Étude des séries 2

cos(ka) sin(ka)
k et z k

kZl k21

Pour te ]0,277[et n E N* , on note: g0(t) = .1 et S (t) = Ze"" .

en _ 1 "

On désigne par a un nombre réel fixé dans l'intervalle ]0,27r[. Pour simplifier 
l'écriture des

démonstrations, on supposera que W 5 a < 27r . Dans cette partie, on désigne par f une fonction continue par morceaux sur l'intervalle [0,+oo[ a 1.3.1. Montrer que S" (t) = 90 (t)[e"""" -- e"] . 1.3.2. Montrer que la fonction ça est de classe C1 sur le segment [7r,a] . (1 1.3.3. Montrer que l'intégrale ] Ve"""" 0, il existe un réel positif A tel que f | f (t)| dt 5 5 .
A

[xr

A
11.2.2. Le nombre réel A étant fixé, montrer que l'intégrale f f (t)e dt tend 
vers zéro
0

lorsque le nombre réel x tend vers +oo (on pourra utiliser une intégration par 
parties).

+00

1123. En déduire la limite de Îg(x)= f (t)e'" dt lorsque le nombre réel x tend
0

vers +oo .

Dans toute la suite du problème, on suppose que g(t) : |sin(t)l et on note 
simplement :

f(x) = L+xf(t)lsin(xt)ldt .

11.3. Étude pour une fonction f particulière

On suppose (dans cet exemple) que f désigne la fonction E définie par E (t) = 
e*' pour t E [O,+oo[

+00

et donc Ë(x)=f eÎ'|sin(xt)|dt pour xEUR]0,+oo[.

0

7l'

11.3.1. Pour 7 E R , calculer l'intégrale ()(fy) : f e" sin (y)dy .

0

II.3.2. Montrer que pour x E ]O,+oo[ :

... 1 +00 Îï
E(x)=--f e X sin(u)ldu.
x ()

(k+l)7r ÎË

II.3.3. Exprimer pour tout k EUR Net pour toutxEUR R* , l'intégrale f e x

k7r

sin (u)ldu en

J'l

fonction de e *" et de 9(7) pour un 7 convenable.

km"
1134. Justifier, pour x E l0,+oo[ ,la convergence de la série Ze " ;
k20

+oc -- kl
préciser sa somme E e -* .
k=0

11.3.5. Expliciter Ë(x) pour xEUR]0,+oo[. Déterminer la limite de Ë(x) lorsque 
x tend

vers +oo .

11.4. Étude générale

On désigne de nouveau par f une fonction quelconque continue par morceaux sur 
l'intervalle

+oo
[O,--Fool telle que l'intégrale généralisée f | f (t)ldt converge et on note :
0

Î(x)= fo+oef(t)lsin(xt)ldt pour xEUR}0,+oo[.

Il.4.1. Lemme préliminaire

cos(2kt) +°° cos(2kt)
--conver e,on ose h t = _

[(=]

Pour tout tréel tel que la série Z . Montrer

k21

que la fonction il est définie et continue sur R . Justifier l'égalité :

Vt @ R, sin(t)l = Ê--Îh(r) .

7T 7l'

Il.4.2. Limite de f (x) dans le cas C1

On suppose de plus que fest une fonction de classe C ' sur l'intervalle 
[0,+oo[. En utilisant

les résultats obtenus en 112 et Il.4.l , déterminer la limite de Î (x) lorsque 
le réel x tend

vers +oo . Le résultat est--il conforme avec celui obtenu pour la fonction E ?

11.4 .3. Cas d'une fonction continue par morceaux

II.4.3.1. Une limite

Étant donnés deux nombres réels fiet 6tels que 0 S 5 < 6, on considère l'intégrale 5 '.r F(x) : [ lsin(xt)|dt pour x E l0,+oo[ . Montrer que F(x) : if!) sin(u)l du . /3 _X x . ... x . ... 6x 7r On pose p la partie ent1ere de --et 61 la partie ent1ere de -- . Pourx >

7r W 5--5

, donner

un encadrement de F (x) en fonction de p, q et x.

2
En déduire que F (x) tend vers--(ô -- 5) lorsque le nombre réel x tend vers +oo 
.

71"

11.432. Limite de f (x) dans le cas d'une fonction continue par morceaux

Si J est un intervalle de [O,+oo[ et si f est une fonction continue par 
morceaux sur J

à valeurs réelles et telle que l'intégrale ] \ f (t)l dt existe, on note 
toujours :
]

Î (x) = f f(t)lsin(xt)l dt .
J

Quelle est la limite de Î (x) lorsque le réel x tend vers +oo :

-- lorsque ] est un segment de [O,+oo[ et f une fonction en escalier ?
-- lorsque ] est un segment de [O,+oo[ et f une fonction continue par morceaux ?

-- lorsque ] : [0,+oo[ et f est une fonction continue par morceaux ?

Fin de l'énoncé