CCINP Maths 1 PSI 2002

 

SESSION 2002 . PSIMIO4

CONCOURS (0MMUNS POlYÏECHNIOUIS

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision dela rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

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Cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants l'un de l'autre.

PROBLEME 1

Dans ce problème, on désigne par :

E la fonction partie entière,

I l'intervalle ]O,+oe[ ,

('A: l'ensemble des applications continues par morceaux de R+ dans R qui

vérifient la condition : pour tout t & R+ | f (t)| S t.

Si f & CA» et x E I : ]O,+oe[ ,on considère F(x) : Je_nf(t) dt.

R
Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de F .

Préliminaire -- Etude de deux fonctions :

nx nx

On considère pour x e R et n e N : un (x) = e_ et vn (x) : ne--

P.1/ Déterminer l'ensemble de convergence simple D de la série 2 un (x) (resp. 
D'
nZO

de la série Z vn (x) ).

n.>.l

+oo +00
On note désormais g(x) : 2 un (x) pour x E D et h(x) : Z vn (x) pour x e D'.
n=0 "=1

Tournez la page S.V.P.

P.2/ Expliciter g(x) pour x E D.

P.3/ Etablir (en la justifiant) une relation entre les fonctions g et h.
En déduire l'expression explicite de h(x) pour x e D'.

1/ Une étude de CA: .

1.1/ On considère la fonction fo définie sur R+ par fo (t) =t .

Montrer que si x e 1 alors l'application t l-----> e_xif0 (t) est intégrable 
sur R+ et
expliciter FO (x) = Je_fifO (t) dt.
R+

1.2/ Vérifier que si f & CA? et si x E I , alors la fonction çax : t |----> 
e_)" f (t) est

intégrable sur R+ .

Ainsi, lorsque f & CAO , la fonction F : x l--> e_fi f (t) dt est bien définie 
sur I et on
R+
note désormais F = î( f )

1.3/ Soit fecA» et F=Î(f).

1.3.1/ Déduire de ce qui précède que xF (x) admet une limite que l'on précisera
lorsque x tend vers + oo .

1.3.2/ On suppose de plus que f est continue sur R+ . Montrer que la fonction

F est de classe (61 sur l'intervalle ] .

2/ Exemple 1 : fonction partie entière.

On considère dans cette question la fonction fl définie sur R+ par fl (t) = E 
(t) (partie
entière de t) et soit F1 : Î(fl ).

2.1/ Vérifier que la fonction f1 appartient à l'ensemble dti».
2.2/ Montrer que la fonction F1 peut s'exprimer à l'aide de l'une des deux 
fonctions

g ou h , et expliciter F] (x) pour x e I .

3/ Un deuxième exemple.

On considère dans cette question la fonction f2 définie sur R+ par

fz(f) = ... +( --- E O ? ,

1.4.3/ On suppose que "1171 = 0 . Donner une condition nécessaire et suffisante 
portant

sur al et bl pour que la matrice A soit diagonalisable dans m2 (R).

I.5/ On considère deux matrices de EUR] :
0 0 t 4
K = (x à) L = (z 0) avec (x, y, z, t) EUR R

I.5.1/ Les deux matrices K et L sont-elles semblables dans m2 (R) lorsque
xy # zt ?

I.5.2/ On suppose que xy : zt # 0.
Les deux matrices K et L sont--elles semblables dans m2 (R) ?

PARTIE II

Etude de EUR "

(al,a2,...,an)EUR R" , b : (b],b2,...,bn)EUR R" ; dans le but de
le déterminant de la matrice A : An (a, b).

* .
Pour nEURN , s01t a

simplifier, on notera dn (a, b) ou simplement dn

II.1/' Calcul de dn.
II.1.1/ Calculer d2.
II.1.2/ Pour n 2 3 exprimer dn fonction de an,bn et dn_2.

11.1.3/ Quelle est la valeur de d2p pour p EUR N* ?

11.1.4/ Calculer d2p+1 pour p EUR N , en fonction des ai et des bi, i EUR 
[[l,2p + 1]].

II.2/ Liens entre în , On +1 et D

n+l '

Il.2.1 On suppose qu'il existe une matrice U EUR EUR" n On +1. Soit A EUR Dn+1 
, on pose

A...

UA ; vérifier que A EUR fin et que AtA EUR Dn+l°

II.2.2/ Soit A EUR î2P ; existe--t-il U EUR î2p (\ 02p+1 et A EUR D2p+1 telles 
que
A : UA '?

II.2.3/ Pour n = 3 ' on considère la matrice A : A3 (a, b) EUR 83 avec a : 
(1,3,5)

b : (2,4,6). Existe--t-il U EUR Î3 m 04 et A EUR D4 telles que A : A3 (a, b) : 
UA ?

Tournez la page S.V.P.

11.2.4/ Onsupposeque n=2p+l etque A=A2p+l(a,b)eî2p+l nOZP+2.

11.2.4.1/ Quelles sont les valeurs possibles pour a], bl , a2 , b2 ?

Il.2.4.2/ Préciser l'ensemble EUR 2p+1 n 02P+2 et son cardinal.

Il.2.4.3/ Soit A & î2 p +1 telle que AtA & D2P+2 et det A # 0. Montrer qu'il

existe UEî2p+lñ02p+2 et AeD2P+2 tellesque A=UA.

II.3/ Matrices symétriques de în .

On considère dans cette question la matrice A = An (a, a) pour a e R" .
11.3.1/ Justifier l'affirmation :

Pour tout a e R" la matrice A est diagonalisable dans mn +1(R).
n+l

Si  j , j e [[1, n + 1" désignent les valeurs propres de f A , préciser la 
valeur de 2 À j .
j=1

II.3.2/ Pour (x, y) & (Rn+l)z, onnote < x, y > le produit scalaire euclidien 
canonique
de x et y. On associe à A : An (a, a) la fonne bilinéaire ça A (notée 
simplement (p)_

définie par :
pour tout (x, y) & (RMI)2 ço(x, y) =< x, fA (y) >.

La forme bilinéaire ça définit-elle un produit scalaire sur R'"1 ? (on pourra 
considérer

ça(x, x) pour x vecteur propre de l'endomorphisme f A ).

II.4/ Comatrices et ensemble în .

11.4.1/ Montrer que pour toute matrice A = A] (al , bl) & EUR] la matrice A* 
est élément

de EUR].

Dans la suite on suppose que n 2 2.

11.4.2/ Si A EUR EUR A 0 la matrice A* appartient-elleà £ ?
n n+l n

II.4.3/ Existe--t-il un entier n 2 2 tel que pour toute matrice A & în la 
matrice A*

soit élément de EUR ,, ?

Fin de l'énoncé.