X Maths PC 2009

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur certaines matrices à déterminant positif et sur les matrices orthogonales
Pour n un entier > 1, on note Mn l'espace vectoriel des matrices carrées n × n 
à coefficients
dans R. On note t M la matrice transposée d'une matrice M  Mn . On note In la 
matrice
identité et Dn l'ensemble des matrices diagonales n × n à coefficients 
diagonaux dans l'ensemble
{-1, 1}. On identifiera un vecteur de Rn avec la matrice colonne à n lignes 
correspondante, et
une matrice M  Mn avec l'application linéaire Rn  Rn , X 7 M X.
Soit M = (mij ) une matrice de Mn . Soit  un sous-ensemble de 1, n . On note M 
() la
sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de M pour 
tout i  .
Par convention, M () = M . On note M+
n l'ensemble des matrices M dans Mn telles que, pour
toutes les parties  de 1, n , les déterminants des matrices M () sont 
strictement positifs.

Soient X = t (x1 , . . . , xn ), Y = t (y1 , . . . , yn )  Rn . On note X  Y 
(resp., X  Y ) si pour
tout i  1, n , xi > yi (resp., xi > yi ).

Première partie
t
+
1.a) Montrer que si M  M+
n , alors M  Mn .

1.b) Montrer que pour toute matrice M  Mn , pour toute matrice diagonale D  Dn 
et pour
tout sous-ensemble  de 1, n , M () D() = (M D)() .

+
1.c) Montrer que pour tout M  M+
n et pour toute matrice diagonale D  Dn , DM D  Mn .

2. Montrer que, pour tout X  Rn , il existe D  Dn tel que DX  0.

1

Ç

3. Soit M =

å

a b
c d

 M+
2.

3.a) Soit X = t (x1 , x2 )  R2 tel que 0  M X. Montrer que si X  0 alors b 6 0 
et c 6 0.
3.b) Montrer que X  0 et 0  M X impliquent X = 0.
3.c) Montrer qu'il existe X  R2 , X  0, tel que M X  0. [On pourra distinguer 
les cas b > 0
et b < 0.] Deuxième partie Soit k > 1 un entier. On considère la série de fonctions d'une variable 
complexe z,

X

1
z kn+1 .
kn
+
1
n=0
4. Montrer que cette série converge pour tout z  O, où O est le disque ouvert 
de centre 0 et de
rayon 1 dans C. Soit f (z) sa somme.
On identifie C à R2 en posant z = x1 + i x2 et f (z) = u(x1 , x2 ) + i v(x1 , 
x2 ), où u = Re(f )
et v = Im(f ). On considère l'application F : O  R2 , définie par
Ç

X=

x1
x2

å

Ç

7 F (X) =

å

u(x1 , x2 )
.
v(x1 , x2 )

5.a) Montrer que l'application F est de classe C 1 et préciser ses dérivées 
partielles que l'on pourra
exprimer en fonction du nombre complexe  = (x1 + i x2 )k .
5.b) Soit JF la matrice jacobienne de F . Montrer que, pour tout X  O, JF (X)  
M+
2.

Troisième partie
On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Qn ) 
suivante :
n
Si P  M+
n et X  R sont tels que X  0 et 0  P X, alors X = 0.

On fixe n > 2 et l'on suppose que la propriété (Qn-1 ) est satisfaite. Soit P  
M+
n et
t
n
X = (x1 , . . . , xn )  R tels que X  0 et 0  P X.
à

6.a) On considère l'équation linéaire P

u1
u2
..
.

í

à í

=

1
0
..
.
0

un
2

. Montrer que u1 > 0.

6.b) Soit C = t (c1 , . . . , cn ) la première colonne de P -1 . Montrer que c1 
> 0 et que
ß

xi
m = inf
| ci > 0, i  1, n
ci
existe et est positif ou nul. On note j un entier tel que m =

TM

xj
.
cj

6.c) On pose Y = X - mC. Montrer que Y  0 et que 0  P Y .
< = P ({j})  Mn-1 et soit Y <  Rn-1 le vecteur obtenu à partir de Y en supprimant 6.d) Soit P < = 0 et en déduire que Y = 0. la j-ème ligne. Montrer que Y 6.e) En déduire que P X  0. 6.f ) Conclure. Quatrième partie On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Pn ) 
suivante :
Pour toute matrice orthogonale M  O(n), il existe X  0 dans Rn et une matrice 
diagonale
D  Dn tels que M X = DX.
Un tel couple (D, X) sera appelé une solution pour M .
7. Étudier (Pn ) pour n = 1 et pour n = 2. [Pour n = 2, on pourra supposer 
d'abord que
2
M est laÇmatrice
å d'une rotation d'angle , 0 6  < 2, et chercher un vecteur X  R de cos la forme .] sin 8. Soient X1 et X2  Rn tels que X1  0 et X2  0. Montrer que si D  Dn satisfait t X DX = t X X , alors D = I . En déduire que si (D , X ) et (D , X ) sont deux solutions 1 2 1 2 n 1 1 2 2 pour M  O(n), alors D1 = D2 . On fixe n > 2 et l'on suppose que laÇpropriété
å (Pn-1 ) est satisfaite. On fixe une matrice
W U
où W  Mn-1 , U, V  Rn-1 et   R.
orthogonale M  Mn que l'on écrit M = t
V 
9.a) Écrire les relations entre W , U , V et  qui expriment que M est une 
matrice orthogonale.
Montrer que || 6 1.
9.b) Lorsque || = 1, montrer que W est orthogonale et construire une solution 
pour M à partir
d'une solution pour W .
On suppose désormais que || < 1 et l'on pose M1 = W + 10. Démontrer que M1 et M2 sont orthogonales. 3 1 1- U t V et M2 = W - 1 1+ U tV . 11. Soit (D1 , X1 ) (resp., (D2 , X2 )) une solution pour M1 (resp., M2 ). 11.a) Montrer que t X2 D2 D1 X1 = t X2 X1 -  (t V X1 )(t V X2 ) , où  est une constante positive que l'on déterminera en fonction de . 11.b) On suppose que D1 6= D2 . Montrer que les réels t V X1 et t V X2 sont non nuls et de même signe. Montrer que l'on Ç å peut Ç construire å une solution (D, X) pour M telle que X est l'un des X2 X1 ou . vecteurs 1 t 1 t - V X 1 1- 1+ V X2 11.c) On suppose que D1 = D2 . Montrer que l'un des réels t V X1 ou t V X2 est nul. En déduire qu'il existe une matrice D  Dn et un vecteur X  0 tel que xi > 0 pour i  1, n-1 
satisfaisant
M X = DX.

11.d) On suppose encore que D1 = D2 . Montrer qu'il existe une matrice D   Dn 
et un vecteur
X   0 tel que xi > 0 pour i  2, n satisfaisant M X  = D X  .

12.a) Construire une solution pour M . [On pourra considérer l'égalité M (X + X 
 ) = DX + D X 
et utiliser le fait que M est orthogonale pour montrer que l'on peut se ramener 
au cas où D = D  .]
12.b) Conclure.
13. Soit N  Mn (R) une matrice antisymétrique.
13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de N parmi toutes les 
valeur propres
complexes. En déduire que In + N est inversible.
13.b) On pose M = (In + N )-1 (In - N ). Montrer que M est orthogonale.
13.c) Soit (D, X) une solution pour M . Montrer que Y = X + DX satisfait Y  0, 
N Y  0 et
Y + N Y  0.
14. Soit P une matrice de Mn . En considérant une matrice antisymétrique de M2n 
adaptée,
montrer qu'une des propriétés suivantes est vraie :
- soit les inégalités larges 0  t P Y et Y  0 ont une solution non nulle dans 
Rn ,
- soit les inégalités strictes P X  0 et X  0 ont une solution dans Rn .
15. Soit P une matrice de M+
n . Montrer que les inégalités strictes P X  0 et X  0 ont une
solution dans Rn .

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