X Maths PC 2003

ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 _ FILIÈRE PC

ï_\

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

\

Résonance paramétrique

Ce problème propose une première approche mathématique de la résonance 
paramétrique,
phénomène physique que l'on rencontre aussi bien dans les recherches sur le 
mouvement de la
lune que dans la manière de faire démarrer une escarpolette, ou dans l'étude 
des matériaux
semi--conducteurs.

, Soit q une fonction réelle de la variable réelle t, continue et périodique de 
période T > O,
VtEUR R, q(t+T) =q(t) .
Soit A un nombre complexe. On considère l'équation différentielle du second 
ordre
oe" + @ -- q>æ = o. ' (1)

où a: est une fonction complexe, de classe CZ,. de la variable réelle t.

Première partie ,

1. Soit 5 l'ensemble des solutions de l'équation (1). Montrer que 5 est un 
espace vectoriel
complexe; '

2. Soient :E1 et 5132 deux solutions de (1). On pose W(oe1,oe2) : oe1oe'2 -- 
oe'1æ2. Montrer que
W(oe1,oe2) est indépendant de t. '

3. Soit T l'opérateur de translation par T qui, à une fonction complexe f, 
associe la fonction
T ( f ) telle que .
We R, T(f)(t) =f(t+T) .

a) Montrer que, si f EUR 8, alors T(f) EUR 5.

b) On désigne par 7' la restriction de T à EUR . Est--ce un isomorphisme de 8 
sur 8 ?

4.a) Montrer qu'il existe une unique solution 5121 de (1) telle que

et une unique solution 5132 de (1) telle que
OE2(Û) = O, OEê(0) = 1 .

b) Montrer que 5131 et 332 forment une basede EUR . _

5. On désigne par M la matrice de l'endomorphisme 7' de 8 dans la base 
(331,132).
&) Évaluer les coefficients de M en fonction de an,-(T), æf,-(T) (i = 1, 2).

b) Évaluer Det(M )

1

On pose A = 2

TÉrM , où Tr désigne la, trace.

c) Évaluer A en fonction de a:,(T), oe;(T ) (z' = 1,2).

6. Montrer que les. valeurs propres de l'endomorphisme 7' de 5 sont racines du 
trinôme
P(p) = p2 -- 2Ap + 1.

Soit 93 EUR EUR . On dit que a: est stable si là:] est bornée sur R+. On dit 
que a: est fortement stable
si lim oe(t) = O.

t--++oo

7. On suppose A réel et |A| # 1.
a) Montrer que 5 est somme directe des sous-espaces propres de 7'.

b) Montrer que, si |A] < 1, toutes lesqsolutions de (1) sont stables. Les fonctions propres de T sont-elles fortement stables dans ce cas ? c) Montrer que, si |A| > 1, il existe une solution de (1) fortement stable. 
Est--elle unique?
Existe--t--il dans ce cas des solutions stables mais non fortement stables ?

8. On suppose que A = 5, où 5 = +1 ou 5 = --1.

EUR CL

' aest
0 ) ....

&) Montrer qu'il existe une base de EUR dans laquelle la matrice de 7' est (

un nombre complexe.

b) On suppose a # 0. Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) 
stable mais
non fortement stable. Existe--t--il des solutions fortement stables ?

Deuxième partie
Dans cette partie, on fixe T = 7r et l'on suppose À réel. Pour indiquer la 
dépendance par
"rapport au paramètre A et au choix de la fonction q, on note Aq(À) la quantité 
A définie à la
question 5.

9. Dans cette question, on choisit q identiquement nulle, q = 0.

a) Calculer Ag(À) en distinguant les cas suivant le signe de À. La fonction À 
l----> Ag(À)
est-- elle de classe Cl ?

b) Tracer le graphe de la fonction À +--+ AO(À), pour À EUR R.
c) Déterminer la matrice M lorsque q = 0 et À = 712, n E N.

On va maintenant montrer que Aq(À) est proche de Ag(À) lorsque À' tend vers 
+oo. On
suppose A > 0 et l'on pose w = \/Ï. On note Q le maximum sur R de la fonction 
|q|.

sin wt

On pose u0(t,w) = cos cat, v0(t,w) = et l'on définit par récurrence

w

un(t,w) = ]: ËËËl--S--Ù q(s) un_1(s,w) ds , n > 1,

vn(t,w)=/O1t s_11_1(c3_(£_--3_)) q(s) vn_1(s,w) ds , n > 1.

10. Montrer par récurrence sur 77. E N que

Vt E R, [un(t,w)| < w"n! 11. On pose * 1(t (,w)= z un(t, w) et oe2(t, w) =Î vn( (t ,ou). n=0 n=0 Le paramètre w étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions continues de la variable t E R. 12. On note uÇ...L et vÇL les dérivées par rapport à t de un et 'un. &) Calculer uâ(t,w) et vâ(t,w) sous forme d'intégrales contenant un_1 et vn_1 respecti-- vement. ' b) Montrer que, pour n > 1,

can--ln!

intln

w"n!

Vt & R, |ufn(t,w)l < et Ivî.(t,w)l < 0) En déduire que 331 et 5162 sont des fonctions de classe C1 de la variable t. 13. Montrer que 5131 et 5132 satisfont les équations æ1(t7w) = coswt + /t s_i_n_(w_(_t_:s_)) d 0 w Q(S) OE1(S,ü)) 37 æ2(t,w) ___ sinwt + [: sin(w(t -- s)) au - q(s) oe2(s,w) ds . Les fonctions 5131 et OE2 sont--elles toujours des fonctions de classe 600 de la variable t ? , 14.a) Montrer que 5131 et 1132 sont solutions de (l) pour À : «22. b) Montrer que, si À > 0, A = w2,

A. = %(OE1(mw) + æa(w,w)) .

15. Montrer que, pour /\ > O,

7TQ

|Aq(,\{)ÿ --. A0(À)l < exp (7Î) _ 1 . . 7T 16. Dans cette question, on suppose de plus que / q(t)dt : O. 0 , &) Montrer que u1(7r,w) + vî(7r,w) = 0 . b) En déduire que, pour À --> +00,

1
17. On appelle intervalle d'instabilité un intervalle de R+ sur lequel |Aq(À)| 
> 1. Montrer
que, pour tout a > 0, il existe À0 > 0 assez grand pour que tout intervalle 
d'instabilité contenu
dans [A... +oo[ soit contenu dans un intervalle [(n -- a)2, (n + a)2], pour un 
entier n. Que peut-on
dire de la position des intervalles d'instabilité quand A ----> +oo ?