Mines Maths 1 PC 2020

A2020 --- MATH I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des R-espaces vectoriels de dimension finie. 
Soit
E un tel espace vectoriel et u un endomorphisme de E. On dit que u est nilpotent
lorsqu'il existe un entier p > 0 tel que uw? = 0; le plus petit de ces entiers 
est alors
noté v(u) et appelé nilindice de u, et l'on notera qu'alors u* -- 0 pour tout 
entier
k > v(u). On rappelle que u° = idg. L'ensemble des endomorphismes nilpotents
de E est noté N(E) : on prendra garde au fait qu'il ne s'agit à priori pas d'un
sous-espace vectoriel de L(E) !

Un sous-espace vectoriel V de £L(E) est dit nilpotent lorsque tous ses éléments
sont nilpotents, autrement dit lorsque V EUR W(E).

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses 
coefficients
diagonaux sont nuls. On note TT(R) l'ensemble des matrices triangulaires supé-
rieures strictes de M, (R). On admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de 
M, (R)),
de dimension RE).

Dans un sujet antérieur du concours (PSI Maths II 2016), le résultat suivant a
été établi :

Théorème A.
Soit Æ un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel

- . n(n--1
nilpotent de £L(E). Alors, dim V < nm). Le théorème A est ici considéré comme acquis. L'objectif du présent sujet est de déterminer les sous-espaces vectoriels nilpotents de £(E) dont la dimension est égale à RE). Plus précisément, on se propose d'établir le résultat suivant (Gerstenhaber, 1958) : Théorème B. Soit E£ un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et V un sous-espace vectoriel
nilpotent de £L(E) de dimension rm). Il existe alors une base de E dans laquelle

tout élément de V est représenté par une matrice triangulaire supérieure 
stricte.

Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des
autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes 
nilpotents.
Dans la partie IT, on met en évidence un mode de représentation des 
endomorphismes
de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie IIT, on établit deux résultats 
géné-
raux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces 
(lemme
C), et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent
non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme D). Dans l'ultime partie IV,
les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème B 
par
récurrence sur la dimension de l'espace E.
I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n > 0.
Soit u EUR N(E). On choisit une matrice carrée M représentant l'endomorphisme u.

1. Démontrer que M est semblable à une matrice complexe triangulaire supé-
rieure, établir que les coefficients diagonaux de cette dernière sont nuls, et 
en
déduire que tru* = 0 pour tout k EUR N*.

On fixe une base B -- (e1,...,e,) de E. On note VB l'ensemble des endomorphismes
de Æ dont la matrice dans B est triangulaire supérieure stricte.

1)

2. Justifier que VB est un sous-espace vectoriel de £L(E) de dimension GEI) et
mettre en évidence dans NB un élément nilpotent de nilindice n. On pourra
introduire l'endomorphisme u de E défini par u(e;) = e;-1 pour tout à EUR [2,nl,
et u(e1) = 0.

3. Soit u EUR L(E). On se donne deux vecteurs x et y de FE, ainsi que deux 
entiers
p > q > 1 tels que w(x) = u(y) = 0, w_l(x) £ 0 et u- (y) £ 0. Montrer
que la famille (æ,u(x),...,uP-1(x)) est libre, et que si (u?-{(x),u?-l(y)) est
libre alors (æx,u(x),...,uP-1(x),y,u(y),...,u?-l(y)) est libre.

4. Soit u EUR N(E), de nilindice p. Déduire de la question précédente que p < n et quesip>n--l1et p > 2 alors Imuw ! = ImuN Keru et Imu-{ est de
dimension l.

IT Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien (E, (-- | --)). Lorsque a 
désigne un
vecteur de Ë, on note
E --R
Pa :
x (alx).

5. Calculer la dimension de £(E,R) en fonction de celle de Æ. Montrer que
a + Ya définit un isomorphisme de E sur £L(E,R).

Étant donné ae Eetxe E, on notera désormais a ® x l'application de E dans
lui-même définie par :
VzEURE, (a@x)(z) = (a|2).x
6. On fixe x EUR E \ {0}. Montrer que l'application a EUR E + a @ x est 
linéaire et
constitue une bijection de E sur {u EUR L(E) : Imu C Vect(x)}.

7. SoitaecEetxeE\{0}. Montrer que tr(a x) = (a | x).

IIT Deux lemmes

On considère ici un espace euclidien (Æ,(-- | --)) de dimension n > 0. On
rappelle que l'on à démontré à la question 4 que le nilindice d'un élément de 
W(E)
est toujours inférieur ou égal à n. Soit V un sous-espace vectoriel nilpotent 
de £(ÆE)
contenant un élément non nul. On note

pi mag vu)

appelé nilindice générique de V. On a donc p > 2.

On introduit le sous-ensemble V° de E formé des vecteurs appartenant à au
moins un des ensembles Im uw?! pour u dans V : on introduit de plus le 
sous-espace
vectoriel engendré

K(V) := Vect(V"°).

Enfin, étant donné x EUR E, on pose
Vx := {u(x) |vE V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme C. Soit u et v dans V. Alors tr(u*v) -- 0 pour tout entier naturel K.

Lemme D. Soit x dans V° \ {0}. Si K(V) EUR Vect(x) + Vx, alors v(x) = 0 pour 
tout
v dans V.

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires u et v de Y.

8. Soit k EUR N*. Montrer qu'il existe une unique famille (A. . JE )) d'endo-
morphismes de Æ telle que

VER, (u+ tu) Xi ®,

. . k k ; _1--;
Montrer en particulier que f! ) uk et f! ) Survur lt,
Pour l'unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.
p--1

9. À l'aide de la question précédente, montrer que DuvuP 1 -- 0,
i=0

10. Étant donné & EUR N, donner une expression simplifiée de tr( fi)

déduire la validité du lemme C.

, et en
11. Soit y EUR E. En considérant, pour un a EUR K(V)+ quelconque, la fonction
tER + (al (u+tv)?-!(y)), démontrer que F0 D (y) EUR K(V). À l'aide d'une
relation entre u(f PV (y) et v(u?--1(y)), en déduire que v(x) EUR u(K(V)) pour

tout x EUR Imuw? 1.

12. Soit x EUR V° \ {0} tel que K(V) EUR Vect(x) + Vx. On choisit u EUR V tel 
que
x ElmuPr"t
Étant donné y EUR K(V), montrer que pour tout k EUR N il existe y, EUR K(V) et
X EUR R tels que y = Àg x + u*(yr). En déduire que K(V) EUR Vect(x) puis que
v(x) = 0 pour tout v EUR V.

IV Démonstration du théorème B

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème B par récurrence sur
l'entier n. Le cas n = 1 est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On 
se
donne donc un entier naturel n > 2 et on suppose que pour tout espace vectoriel
réel E" de dimension n -- 1 et tout sous-espace vectoriel nilpotent V' de 
£L(E), de
dimension (DE?) il existe une base de E" dans laquelle tout élément de V' est
représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

On fixe un espace vectoriel réel Æ de dimension n, ainsi qu'un sous-espace vec-
toriel nilpotent V de £(E), de dimension RG). On munit E d'un produit scalaire
(-- | --), ce qui en fait un espace euclidien.

On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire x de E \ {0}. On

pose
H := Vect(x)*, Vr:={u(x)|veY} et W:={veV: v(xr) =0}.

On note x la projection orthogonale de E sur H. Pour u EUR W, on note u 
l'endomor-
phisme de H défini par
Vz EUR H, u(z) = r(u(z)).

On considère enfin les ensembles

V:=falueW} et Z:={ueW:a--=0t.

13. Montrer que Vx, W, V et Z sont des sous-espaces vectoriels respectifs de E,

V, £L(H) et y.

14. Montrer que
dim V = dim(Vx) + dim Z + dim Y.

15. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel L de E tel que
Z={a@xrlaeL} et dimL=dimZ,

et montrer qu'alors x EUR L--.
16.

17.

18.

19.

20.

En considérant u et (a @ x) pour u EUR V et a EUR L, déduire du lemme © que
Vx C L+., et que plus généralement u*(x) EUR L+ pour tout k EUR N et tout u EUR 
Y.

Justifier que Àx & Vx pour tout À EUR R*, et déduire alors des deux questions
précédentes que
dim Vx + dimL n -- 1 d'après la question 20.

21.

22.

23.

Soit v EUR V tel que v(x) £ 0. Montrer que Imw?-! EUR Vect(x) © Vx. On pourra
utiliser les résultats des questions Z et 19.

On suppose qu'il existe vo dans V tel que vo(x) # 0. Soit vu EUR V. En 
considérant
v + tvo pour t réel, montrer que Im uw?! EUR Vect(x) ® Vzx.

On pourra s'inspirer de la méthode de la question 11.

Conclure.

FIN DU PROBLÈME