Mines Maths 1 PC 2000

00 MATH. I - PC

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÊRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
' DES TELECOMMUNICATTONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (F]LIÈRE TSI).

CONCOURDS D'ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE
FILIERE PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--BNP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première 
page de la copie :
MATHEMATIQUES I - PC.

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 5 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

Dans tout le problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 (n _>_ 2). 
Soit B = (e1,ez, ..., e,,)
la base canonique de l'espace vectoriel complexe C". A un vecteurX de l'espace 
vectoriel C", de
coordonnées x1, x;,..., x... est associée la matrice V(X) dont les éléments
V(X)M, 1 5 p 5 n, 1 5 q 5 n, sont définis parla relation:

V(X)P,q = (xp>q-l.

Le déterminant v(X) de la matrice V(X) est un déterminant de Van der Monde ; il 
est admis que sa
valeur est donnée par la relation suivante :

v(X) = det V(X) = n (x,, --x,,).
lSp_ 2).

a. Comparer pour tout vecteur X de l'espace vectoriel normé E ,, et tout nombre 
complexe ). les
deux expressions v(À.)O et v(X).

En particulier, étant donné un vecteur X de E ,,, soit Y un vecteur de E ,, de 
norme unité vérifiant la
relation : X = HX ]] . Y ; exprimer le nombre complexe v(X) en fonction de v(Y) 
et de MX ||.

b. Démontrer que l'application v de l'espace vectoriel normé E,1 dans C est 
continue. En déduire
que l'application continue X ---+ |V(X)l admet un maximum sur la sphère unité S,

5= {XëEn [ IIXH = 1},
atteint pour au moins un vecteur W. Soit p le maximum de cette fonction sur la 
sphère unité :

P =max IV(X)I-

VIH

0. Démontrer les deux relations :
i. pour tout vecteuere E... |v(X)l S p HX||"ÜHY2 ;
ii. il existe au moins un vecteur unitaire Wde E ,, tel que

IV(W)I = P-

2. Cas n = 2 :
Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S :

S={XeEz [ "X" =]}.

Déterminer le maximum p de la fonction X »--+ |v(X)I sur la sphère unité. 
Démontrer que les vecteurs
unitaires qui rendent maximum |v(X)] sont proportionnels à un même vecteur X 1 
dont la première
coordonnée est égale à 1. Les déterminer.

3. Cas n = 3 :
a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls t1, t2 et t3, (t; 2 O, 1 5 i 5 3) 
démontrer l'inégalité
suivante

1 3
t .t .! < -- t +t +t . 1 2 3 _ 27 ( 1 2 3) Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les trois réels t1 , t2, t3 sont égaux. b. Etant donnés trois nombres complexes x 1, xz et x3, soientA,B et C les trois fonctions des variables x1, x2 et x3 définies par les relations suivantes : -2/5- A : |x1 --x2|2 +P'2 --x312 +lX3 --x1|2 3 3 2 B = lek[2 ; C = Zxk k--=l k=1 Démontrer que A est une combinaison linéaire de B et de C. c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S : S={XeEs | HXII=1}-- (1. Calculer, pour un vecteurX quelconque de l'espace E 3, l'expression |v(X) |2. En déduire une valeur possible pour le réel p. Déterminer les équations que vérifient les coordonnées x; , xz et x3 d'un vecteur Wunitaire rendant |v(W)| maximum. Exhiber une solution à l'aide des racines cubiques de l'unité. En déduire le réel p. 4. Une minoration du réel p : Soit Q le vecteur unitaire dont les coordonnées w,,, 1 5 p 5 n, sont définies par la relation : wp : e2i(p--l)f£/n : exp(21(pn_l)n ) a V(Q) est la matrice définie à partir du vecteur Q ; V(Q) est la matrice complexe conjuguée. Démontrer que la matrice produit V(Q). V(Q) est une matrice proportionnelle à la matrice identité. b. En déduire la valeur du module |v(Q)i du déterminant de la matrice V(Q) et une minoration du réel p. 5. Une inégalité de Hadamard : Dans cette question il est admis que l'application de C" x C" dans C qui, à deux vecteurs X = (x,--)ISËH et Y = 0'î>15f5m fait correspondre le nombre complexe (X | D, 
défini par la relation
suivante

(X | Y) = 231%,
i=l

est un produit scalaire herrnitien. Soit F ,, l'espace préhilbertien (C ", (. | 
.)).
La norme déduite de ce produit scalaire est notée ||. || 2 ; elle est définie 
par la relation :

nqu = J 0) tel que sur l'intervalle ouvert 
]--R,R[ la fonction F W est
développable en série entière. Déterminer un minorant du réel R.

La fonction F W est donc dans l'intervalle ]--R,R[ la somme d'une série entière 
qui s'écrit :
FW(t) = sz tk.
k=0

e. Déterminer les coefficientsfi,k = O, 1,..., à l'aide des coordonnées du 
vecteur W. Quelle
conclusion en tirer sur les n -- 1 premiers coefficients fo, fl, ..., f,,-2 ?

f. Déduire des résultats précédents l'expression du polynôme P},,, polynôme 
dérivée du polynôme
PW. Déterminer le polynôme P w, puis les coordonnées x,,,1 S p 5 n du vecteur 
W. Calculer, à titre de
vérification, les normes de ce vecteur dans E" et dans F " c'est--à--dire ll W" 
et Il Will.

g. Combien y--a--t-il de vecteurs Wdont une au moins des coordonnées est égale 
à 1 ?

FIN DU PROBLÈME

--5/5-