e3a Maths 1 PC 2022

SESSION 2022 (> PC8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

- Ne pas utiliser de correcteur.

-_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/5
EXERCICE 1

Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1, 2, ... ,n, 
...
Il ne peut tenter de passer la hauteur n + 1 que s'il a réussi les sauts aux 
hauteurs 1,2, ,n.
En supposant que le sauteur a réussi tous les sauts précédents, la probabilité 
de succès au n-ième saut

est : p, = --. Ainsi, le premier saut est toujours réussi.
n

Pour tout k EUR N°, on note S, l'évènement : « le sauteur a réussi son k-ième 
saut » et on note X la variable
aléatoire réelle égale au numéro du dernier saut réussi.

. Rappeler sans démonstration la formule des probabilités composées.

. Rappeler sans démonstration le développement en série entière au voisinage de 
0 de la fonction

exponentielle.

Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

Déterminer P([X = 11).

Justifier que [X =2]=S, NS;NS;.En déduire P([X = 2]).

Pour tout entier n > 2, exprimer l'évènement [X = n]| en fonction d'évènements 
du type S 4.
Déterminer la loi de X.

+00
Vérifier par le calcul que : > P([X = n]) = 1.

n=]

. Montrer que X possède une espérance et la calculer.

EXERCICE 2

Les théorèmes utilisés seront cités avec précision en s'assurant que toutes 
leurs hypothèses sont bien
vérifiées.

7/2
Pour tout n e N, on pose u, = (---1)" [ cos" (f) df.
0

L.

Étude de la convergence de la série de terme général u,
1.1. Vérifier que la suite (|u,|) est décroissante.

1.2. Montrer que la suite (|u,|) tend vers 0.
1.3. Prouver que la série > Un CONVErge.
n>0

Calcul de la somme de cette série

| À Lu [
2.1. Soit f un réel. Linéariser cos" 5)

1
----df.
1 + cos(f)
2.3. Intégration terme à terme ?

7/2
2.2. En déduire 7 -- [
0

2.3.1. Déterminer une relation de récurrence entre |u,.2| et [u,l.

2/5
Ï
2.3.2. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n que l'on a: Vne N, [u,| 
> il
n
2.3.3. Peut-on utiliser un théorème d'intégration terme à terme pour les séries 
de fonctions pour

calculer la somme de la série > U,? On justifiera rigoureusement la réponse.

n>0

2.4. On pose, pour tout f EUR . =. ettoutn e N, v,(r) = (-1)" cos" (fr) et V, 
(f) -- > V4 (6).
k=0
En appliquant le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (V,), 
ex,

+ OO

calculer la valeur de > Un.
n=0

EXERCICE 3

Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
On note E, = R" muni de sa structure euclidienne canonique et Z = (e;1,...,e,) 
sa base canonique.

On considère les endomorphismes f et g de FE, définis par :

n

fe)= Y aetVjel2nlfe)=etre,;| et (g=f-idr,).

i=1
1. Donner, dans la base Z, F et G les matrices respectives des endomorphismes f 
et g.

2. Justifier que f et g sont diagonalisables.

3. Diagonalisation de f et de £g dans une même base

3.1. Déterminer une base Z, de Im(g), le rang de g et une base Z, de Ker(g).

3.2. Montrer que Im(g) et Ker(g) sont supplémentaires orthogonaux dans E,.

3.3. Démontrer que le spectre de l'endomorphisme g est : Sp(g) = {0, 4;, 2} où 
les deux réels 1;
et À sont non nuls et vérifient la relation À, + À = 0. On choisira À, > 0.

3.4. On se propose de déterminer 1, et À par deux méthodes :

3.4.1. Méthode 1
(1) Démontrer que Im(g) et Ker(g) sont stables par g.

(ii) Déterminer la matrice H dans la base , de l'endomorphisme h de Im(g) induit
par g.

(ii) Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres associés de h.

(iv) En déduire, en le justifiant soigneusement, les valeurs de 1; et 4.
3.4.2. Méthode 2

(i) Montrer que le spectre de g° = gogest: Sp(g") = {0, 4°, #}
(ii) Déterminer la matrice de l'endomorphisme g" dans la base Z.

(iii) En déduire, en fonction de n, la valeur de À + 4.

3/5
(iv) Retrouver alors les valeurs de 1; et À, obtenues par la méthode 1.

1 x  ... *
3.5. Déterminer une matrice P EUR GL,(R) sous la forme P =
1 x  ... *

telle que P'GP- diag(Z;, d,0,.,0). On ne demande pas de déterminer P'\.

3.6. Justifier que la matrice P"' F P est diagonale.

4, Résoudre, pour t réel, le système différentiel : X'(r) = F X(r) +1 U où U 
est la première colonne de

la matrice P.

EXERCICE 4

Sin(f)

+ 00 2
On pose pour tout réel x, lorsque cela est possible, f(x) = [ | e *'df.
0

1. Continuité de f

1.1. Montrer que l'on peut prolonger par continuité sur R, la fonction définie 
sur R' par :
po |
> .
l

2
| df est convergente.

Sin(f)

+00
1.2. Montrer que l'intégrale [
1

sin(f
1.3. En déduire que la fonction f [ee est intégrable sur R° .
1.4. En déduire que la fonction f est définie et continue sur R, .

2. Régularité de f
2.1. Soient a et b deux réels strictement positifs tels que O0 < a < b. On considère x EUR [a, b]. 2.1.1. Montrer que : Yf > 0, 0 < |sin(f)| < f. . 2 [ 2.1.2. Montrer que : Vf > 0,0 < sin () e '' 0,0 < sin-(ne *' O0, ete") = e *",

4/5
3.2. En déduire que : VO ER, YVx > 0, lim sai | = (),

[-- +00
3.3. Démontrer alors que : Vxe KR', f(x) = 5 -- ET
et ... el!
On pourra utiliser la formule d'Euler : Sin(f) = 5:

4, Une autre expression de f

4.1. Démontrer que lim f(x) = 0.
X-- +00

4.2. Démontrer que lim f(x) = 0.
X-- +00

[
4.3. Calculer la dérivée de la fonction G définie sur R par : G(f) = fin (? + 
4) -- 21 + 4 arctan 5)

4.4. Déterminer alors, pour tout réel x strictement positif, une expression de 
f(x) à l'aide de fonc-
tions usuelles.

+ f in(r\?
5. Calculer alors la valeur de l'intégrale [ F" , df.
0

FIN

5/5